Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cntnevol Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cntnevol 29424
Description: Counting and Lebesgue measures are different. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Jan-2017.)
Assertion
Ref Expression
cntnevol (# ↾ 𝒫 𝑂) ≠ vol

Proof of Theorem cntnevol
StepHypRef Expression
1 ax-1ne0 9861 . . . . 5 1 ≠ 0
21a1i 11 . . . 4 (1 ∈ 𝑂 → 1 ≠ 0)
3 snelpwi 4834 . . . . . 6 (1 ∈ 𝑂 → {1} ∈ 𝒫 𝑂)
4 fvres 6102 . . . . . 6 ({1} ∈ 𝒫 𝑂 → ((# ↾ 𝒫 𝑂)‘{1}) = (#‘{1}))
53, 4syl 17 . . . . 5 (1 ∈ 𝑂 → ((# ↾ 𝒫 𝑂)‘{1}) = (#‘{1}))
6 1re 9895 . . . . . 6 1 ∈ ℝ
7 hashsng 12972 . . . . . 6 (1 ∈ ℝ → (#‘{1}) = 1)
86, 7ax-mp 5 . . . . 5 (#‘{1}) = 1
95, 8syl6eq 2659 . . . 4 (1 ∈ 𝑂 → ((# ↾ 𝒫 𝑂)‘{1}) = 1)
10 snssi 4279 . . . . . . 7 (1 ∈ ℝ → {1} ⊆ ℝ)
11 ovolsn 22987 . . . . . . 7 (1 ∈ ℝ → (vol*‘{1}) = 0)
12 nulmbl 23027 . . . . . . 7 (({1} ⊆ ℝ ∧ (vol*‘{1}) = 0) → {1} ∈ dom vol)
1310, 11, 12syl2anc 690 . . . . . 6 (1 ∈ ℝ → {1} ∈ dom vol)
14 mblvol 23022 . . . . . . 7 ({1} ∈ dom vol → (vol‘{1}) = (vol*‘{1}))
156, 11ax-mp 5 . . . . . . 7 (vol*‘{1}) = 0
1614, 15syl6eq 2659 . . . . . 6 ({1} ∈ dom vol → (vol‘{1}) = 0)
176, 13, 16mp2b 10 . . . . 5 (vol‘{1}) = 0
1817a1i 11 . . . 4 (1 ∈ 𝑂 → (vol‘{1}) = 0)
192, 9, 183netr4d 2858 . . 3 (1 ∈ 𝑂 → ((# ↾ 𝒫 𝑂)‘{1}) ≠ (vol‘{1}))
20 fveq1 6087 . . . 4 ((# ↾ 𝒫 𝑂) = vol → ((# ↾ 𝒫 𝑂)‘{1}) = (vol‘{1}))
2120necon3i 2813 . . 3 (((# ↾ 𝒫 𝑂)‘{1}) ≠ (vol‘{1}) → (# ↾ 𝒫 𝑂) ≠ vol)
2219, 21syl 17 . 2 (1 ∈ 𝑂 → (# ↾ 𝒫 𝑂) ≠ vol)
236, 13ax-mp 5 . . . . . . 7 {1} ∈ dom vol
2423biantrur 525 . . . . . 6 (¬ {1} ∈ dom (# ↾ 𝒫 𝑂) ↔ ({1} ∈ dom vol ∧ ¬ {1} ∈ dom (# ↾ 𝒫 𝑂)))
25 snex 4830 . . . . . . . . 9 {1} ∈ V
2625elpw 4113 . . . . . . . 8 ({1} ∈ 𝒫 𝑂 ↔ {1} ⊆ 𝑂)
27 dmhashres 12943 . . . . . . . . 9 dom (# ↾ 𝒫 𝑂) = 𝒫 𝑂
2827eleq2i 2679 . . . . . . . 8 ({1} ∈ dom (# ↾ 𝒫 𝑂) ↔ {1} ∈ 𝒫 𝑂)
29 1ex 9891 . . . . . . . . 9 1 ∈ V
3029snss 4258 . . . . . . . 8 (1 ∈ 𝑂 ↔ {1} ⊆ 𝑂)
3126, 28, 303bitr4i 290 . . . . . . 7 ({1} ∈ dom (# ↾ 𝒫 𝑂) ↔ 1 ∈ 𝑂)
3231notbii 308 . . . . . 6 (¬ {1} ∈ dom (# ↾ 𝒫 𝑂) ↔ ¬ 1 ∈ 𝑂)
3324, 32bitr3i 264 . . . . 5 (({1} ∈ dom vol ∧ ¬ {1} ∈ dom (# ↾ 𝒫 𝑂)) ↔ ¬ 1 ∈ 𝑂)
34 nelne1 2877 . . . . 5 (({1} ∈ dom vol ∧ ¬ {1} ∈ dom (# ↾ 𝒫 𝑂)) → dom vol ≠ dom (# ↾ 𝒫 𝑂))
3533, 34sylbir 223 . . . 4 (¬ 1 ∈ 𝑂 → dom vol ≠ dom (# ↾ 𝒫 𝑂))
3635necomd 2836 . . 3 (¬ 1 ∈ 𝑂 → dom (# ↾ 𝒫 𝑂) ≠ dom vol)
37 dmeq 5233 . . . 4 ((# ↾ 𝒫 𝑂) = vol → dom (# ↾ 𝒫 𝑂) = dom vol)
3837necon3i 2813 . . 3 (dom (# ↾ 𝒫 𝑂) ≠ dom vol → (# ↾ 𝒫 𝑂) ≠ vol)
3936, 38syl 17 . 2 (¬ 1 ∈ 𝑂 → (# ↾ 𝒫 𝑂) ≠ vol)
4022, 39pm2.61i 174 1 (# ↾ 𝒫 𝑂) ≠ vol
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wa 382   = wceq 1474  wcel 1976  wne 2779  wss 3539  𝒫 cpw 4107  {csn 4124  dom cdm 5028  cres 5030  cfv 5790  cr 9791  0cc0 9792  1c1 9793  #chash 12934  vol*covol 22955  volcvol 22956
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-inf2 8398  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869  ax-pre-sup 9870
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-fal 1480  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-se 4988  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-isom 5799  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-of 6772  df-om 6935  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-1o 7424  df-2o 7425  df-oadd 7428  df-er 7606  df-map 7723  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-fin 7822  df-sup 8208  df-inf 8209  df-oi 8275  df-card 8625  df-cda 8850  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-div 10534  df-nn 10868  df-2 10926  df-3 10927  df-n0 11140  df-z 11211  df-uz 11520  df-q 11621  df-rp 11665  df-xadd 11779  df-ioo 12006  df-ico 12008  df-icc 12009  df-fz 12153  df-fzo 12290  df-fl 12410  df-seq 12619  df-exp 12678  df-hash 12935  df-cj 13633  df-re 13634  df-im 13635  df-sqrt 13769  df-abs 13770  df-clim 14013  df-sum 14211  df-xmet 19506  df-met 19507  df-ovol 22957  df-vol 22958
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator