MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  drngid2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem drngid2 18744
Description: Properties showing that an element 𝐼 is the identity element of a division ring. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Oct-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
drngid2.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
drngid2.t · = (.r𝑅)
drngid2.o 0 = (0g𝑅)
drngid2.u 1 = (1r𝑅)
Assertion
Ref Expression
drngid2 (𝑅 ∈ DivRing → ((𝐼𝐵𝐼0 ∧ (𝐼 · 𝐼) = 𝐼) ↔ 1 = 𝐼))

Proof of Theorem drngid2
StepHypRef Expression
1 df-3an 1038 . . . 4 ((𝐼𝐵𝐼0 ∧ (𝐼 · 𝐼) = 𝐼) ↔ ((𝐼𝐵𝐼0 ) ∧ (𝐼 · 𝐼) = 𝐼))
2 eldifsn 4308 . . . . 5 (𝐼 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ↔ (𝐼𝐵𝐼0 ))
32anbi1i 730 . . . 4 ((𝐼 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ (𝐼 · 𝐼) = 𝐼) ↔ ((𝐼𝐵𝐼0 ) ∧ (𝐼 · 𝐼) = 𝐼))
41, 3bitr4i 267 . . 3 ((𝐼𝐵𝐼0 ∧ (𝐼 · 𝐼) = 𝐼) ↔ (𝐼 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ (𝐼 · 𝐼) = 𝐼))
5 drngid2.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑅)
6 drngid2.o . . . . 5 0 = (0g𝑅)
7 eqid 2620 . . . . 5 ((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })) = ((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 }))
85, 6, 7drngmgp 18740 . . . 4 (𝑅 ∈ DivRing → ((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })) ∈ Grp)
9 difss 3729 . . . . . 6 (𝐵 ∖ { 0 }) ⊆ 𝐵
10 eqid 2620 . . . . . . . 8 (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
1110, 5mgpbas 18476 . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
127, 11ressbas2 15912 . . . . . 6 ((𝐵 ∖ { 0 }) ⊆ 𝐵 → (𝐵 ∖ { 0 }) = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 }))))
139, 12ax-mp 5 . . . . 5 (𝐵 ∖ { 0 }) = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })))
14 fvex 6188 . . . . . . 7 (Base‘𝑅) ∈ V
155, 14eqeltri 2695 . . . . . 6 𝐵 ∈ V
16 difexg 4799 . . . . . 6 (𝐵 ∈ V → (𝐵 ∖ { 0 }) ∈ V)
17 drngid2.t . . . . . . . 8 · = (.r𝑅)
1810, 17mgpplusg 18474 . . . . . . 7 · = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
197, 18ressplusg 15974 . . . . . 6 ((𝐵 ∖ { 0 }) ∈ V → · = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 }))))
2015, 16, 19mp2b 10 . . . . 5 · = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })))
21 eqid 2620 . . . . 5 (0g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 }))) = (0g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })))
2213, 20, 21isgrpid2 17439 . . . 4 (((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })) ∈ Grp → ((𝐼 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ (𝐼 · 𝐼) = 𝐼) ↔ (0g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 }))) = 𝐼))
238, 22syl 17 . . 3 (𝑅 ∈ DivRing → ((𝐼 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ (𝐼 · 𝐼) = 𝐼) ↔ (0g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 }))) = 𝐼))
244, 23syl5bb 272 . 2 (𝑅 ∈ DivRing → ((𝐼𝐵𝐼0 ∧ (𝐼 · 𝐼) = 𝐼) ↔ (0g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 }))) = 𝐼))
25 drngid2.u . . . 4 1 = (1r𝑅)
265, 6, 25, 7drngid 18742 . . 3 (𝑅 ∈ DivRing → 1 = (0g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 }))))
2726eqeq1d 2622 . 2 (𝑅 ∈ DivRing → ( 1 = 𝐼 ↔ (0g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 }))) = 𝐼))
2824, 27bitr4d 271 1 (𝑅 ∈ DivRing → ((𝐼𝐵𝐼0 ∧ (𝐼 · 𝐼) = 𝐼) ↔ 1 = 𝐼))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384  w3a 1036   = wceq 1481  wcel 1988  wne 2791  Vcvv 3195  cdif 3564  wss 3567  {csn 4168  cfv 5876  (class class class)co 6635  Basecbs 15838  s cress 15839  +gcplusg 15922  .rcmulr 15923  0gc0g 16081  Grpcgrp 17403  mulGrpcmgp 18470  1rcur 18482  DivRingcdr 18728
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-rep 4762  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934  ax-cnex 9977  ax-resscn 9978  ax-1cn 9979  ax-icn 9980  ax-addcl 9981  ax-addrcl 9982  ax-mulcl 9983  ax-mulrcl 9984  ax-mulcom 9985  ax-addass 9986  ax-mulass 9987  ax-distr 9988  ax-i2m1 9989  ax-1ne0 9990  ax-1rid 9991  ax-rnegex 9992  ax-rrecex 9993  ax-cnre 9994  ax-pre-lttri 9995  ax-pre-lttrn 9996  ax-pre-ltadd 9997  ax-pre-mulgt0 9998
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-nel 2895  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rmo 2917  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-pss 3583  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-tp 4173  df-op 4175  df-uni 4428  df-iun 4513  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-tr 4744  df-id 5014  df-eprel 5019  df-po 5025  df-so 5026  df-fr 5063  df-we 5065  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-pred 5668  df-ord 5714  df-on 5715  df-lim 5716  df-suc 5717  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-riota 6596  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-mpt2 6640  df-om 7051  df-1st 7153  df-2nd 7154  df-tpos 7337  df-wrecs 7392  df-recs 7453  df-rdg 7491  df-er 7727  df-en 7941  df-dom 7942  df-sdom 7943  df-pnf 10061  df-mnf 10062  df-xr 10063  df-ltxr 10064  df-le 10065  df-sub 10253  df-neg 10254  df-nn 11006  df-2 11064  df-3 11065  df-ndx 15841  df-slot 15842  df-base 15844  df-sets 15845  df-ress 15846  df-plusg 15935  df-mulr 15936  df-0g 16083  df-mgm 17223  df-sgrp 17265  df-mnd 17276  df-grp 17406  df-minusg 17407  df-mgp 18471  df-ur 18483  df-ring 18530  df-oppr 18604  df-dvdsr 18622  df-unit 18623  df-invr 18653  df-dvr 18664  df-drng 18730
This theorem is referenced by:  erng1r  36102  dvalveclem  36133
  Copyright terms: Public domain W3C validator