Theorem dvalveclem 38163

Description: Lemma for dvalvec 38164. (Contributed by NM, 11-Oct-2013.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 22-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvalvec.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dvalvec.v	⊢ 𝑈 = ((DVecA‘𝐾)‘𝑊)
dvalveclem.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
dvalveclem.a	⊢ + = (+g‘𝑈)
dvalveclem.e	⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
dvalveclem.d	⊢ 𝐷 = (Scalar‘𝑈)
dvalveclem.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
dvalveclem.p	⊢ ⨣ = (+g‘𝐷)
dvalveclem.m	⊢ × = (.r‘𝐷)
dvalveclem.s	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
dvalveclem	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑈 ∈ LVec)

Proof of Theorem dvalveclem

Dummy variables 𝑡 𝑓 𝑎 𝑏 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvalvec.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		dvalveclem.t	. . . . 5 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
3		dvalvec.v	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = ((DVecA‘𝐾)‘𝑊)
4		eqid 2823	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
5	1, 2, 3, 4	dvavbase 38151	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (Base‘𝑈) = 𝑇)
6	5	eqcomd 2829	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑇 = (Base‘𝑈))
7		dvalveclem.a	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝑈)
8	7	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → + = (+g‘𝑈))
9		dvalveclem.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (Scalar‘𝑈)
10	9	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝐷 = (Scalar‘𝑈))
11		dvalveclem.s	. . . 4 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑈)
12	11	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → · = ( ·𝑠 ‘𝑈))
13		dvalveclem.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
14		eqid 2823	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐷) = (Base‘𝐷)
15	1, 13, 3, 9, 14	dvabase 38145	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (Base‘𝐷) = 𝐸)
16	15	eqcomd 2829	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝐸 = (Base‘𝐷))
17		dvalveclem.p	. . . 4 ⊢ ⨣ = (+g‘𝐷)
18	17	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ⨣ = (+g‘𝐷))
19		dvalveclem.m	. . . 4 ⊢ × = (.r‘𝐷)
20	19	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → × = (.r‘𝐷))
21	1, 2, 13	tendoidcl 37907	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ( I ↾ 𝑇) ∈ 𝐸)
22	21, 16	eleqtrd 2917	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ( I ↾ 𝑇) ∈ (Base‘𝐷))
23		dvalveclem.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
24		eqid 2823	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵)) = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
25	23, 1, 2, 13, 24	tendo1ne0 37966	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ( I ↾ 𝑇) ≠ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵)))
26		eqid 2823	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((EDRing‘𝐾)‘𝑊) = ((EDRing‘𝐾)‘𝑊)
27	1, 26, 3, 9	dvasca 38144	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝐷 = ((EDRing‘𝐾)‘𝑊))
28	27	fveq2d 6676	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (0g‘𝐷) = (0g‘((EDRing‘𝐾)‘𝑊)))
29		eqid 2823	. . . . . . . . 9 ⊢ (0g‘((EDRing‘𝐾)‘𝑊)) = (0g‘((EDRing‘𝐾)‘𝑊))
30	23, 1, 2, 26, 24, 29	erng0g 38132	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (0g‘((EDRing‘𝐾)‘𝑊)) = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵)))
31	28, 30	eqtrd 2858	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (0g‘𝐷) = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵)))
32	25, 31	neeqtrrd 3092	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ( I ↾ 𝑇) ≠ (0g‘𝐷))
33	21, 21	jca 514	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (( I ↾ 𝑇) ∈ 𝐸 ∧ ( I ↾ 𝑇) ∈ 𝐸))
34	1, 2, 13, 3, 9, 19	dvamulr 38150	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (( I ↾ 𝑇) ∈ 𝐸 ∧ ( I ↾ 𝑇) ∈ 𝐸)) → (( I ↾ 𝑇) × ( I ↾ 𝑇)) = (( I ↾ 𝑇) ∘ ( I ↾ 𝑇)))
35	33, 34	mpdan 685	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (( I ↾ 𝑇) × ( I ↾ 𝑇)) = (( I ↾ 𝑇) ∘ ( I ↾ 𝑇)))
36		f1oi 6654	. . . . . . . 8 ⊢ ( I ↾ 𝑇):𝑇–1-1-onto→𝑇
37		f1of 6617	. . . . . . . 8 ⊢ (( I ↾ 𝑇):𝑇–1-1-onto→𝑇 → ( I ↾ 𝑇):𝑇⟶𝑇)
38		fcoi2 6555	. . . . . . . 8 ⊢ (( I ↾ 𝑇):𝑇⟶𝑇 → (( I ↾ 𝑇) ∘ ( I ↾ 𝑇)) = ( I ↾ 𝑇))
39	36, 37, 38	mp2b 10	. . . . . . 7 ⊢ (( I ↾ 𝑇) ∘ ( I ↾ 𝑇)) = ( I ↾ 𝑇)
40	35, 39	syl6eq 2874	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (( I ↾ 𝑇) × ( I ↾ 𝑇)) = ( I ↾ 𝑇))
41	22, 32, 40	3jca 1124	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (( I ↾ 𝑇) ∈ (Base‘𝐷) ∧ ( I ↾ 𝑇) ≠ (0g‘𝐷) ∧ (( I ↾ 𝑇) × ( I ↾ 𝑇)) = ( I ↾ 𝑇)))
42	1, 26	erngdv 38131	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ((EDRing‘𝐾)‘𝑊) ∈ DivRing)
43	27, 42	eqeltrd 2915	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝐷 ∈ DivRing)
44		eqid 2823	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝐷) = (0g‘𝐷)
45		eqid 2823	. . . . . . 7 ⊢ (1r‘𝐷) = (1r‘𝐷)
46	14, 19, 44, 45	drngid2 19520	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ DivRing → ((( I ↾ 𝑇) ∈ (Base‘𝐷) ∧ ( I ↾ 𝑇) ≠ (0g‘𝐷) ∧ (( I ↾ 𝑇) × ( I ↾ 𝑇)) = ( I ↾ 𝑇)) ↔ (1r‘𝐷) = ( I ↾ 𝑇)))
47	43, 46	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ((( I ↾ 𝑇) ∈ (Base‘𝐷) ∧ ( I ↾ 𝑇) ≠ (0g‘𝐷) ∧ (( I ↾ 𝑇) × ( I ↾ 𝑇)) = ( I ↾ 𝑇)) ↔ (1r‘𝐷) = ( I ↾ 𝑇)))
48	41, 47	mpbid 234	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (1r‘𝐷) = ( I ↾ 𝑇))
49	48	eqcomd 2829	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ( I ↾ 𝑇) = (1r‘𝐷))
50		drngring 19511	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ DivRing → 𝐷 ∈ Ring)
51	43, 50	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝐷 ∈ Ring)
52	1, 3	dvaabl 38162	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑈 ∈ Abel)
53		ablgrp 18913	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ Abel → 𝑈 ∈ Grp)
54	52, 53	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑈 ∈ Grp)
55	1, 2, 13, 3, 11	dvavsca 38155	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇)) → (𝑠 · 𝑡) = (𝑠‘𝑡))
56	55	3impb 1111	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (𝑠 · 𝑡) = (𝑠‘𝑡))
57	1, 2, 13	tendocl 37905	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (𝑠‘𝑡) ∈ 𝑇)
58	56, 57	eqeltrd 2915	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (𝑠 · 𝑡) ∈ 𝑇)
59	1, 2, 13	tendospdi1 38158	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) → (𝑠‘(𝑡 ∘ 𝑓)) = ((𝑠‘𝑡) ∘ (𝑠‘𝑓)))
60		simpr1 1190	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) → 𝑠 ∈ 𝐸)
61	1, 2	ltrnco 37857	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) → (𝑡 ∘ 𝑓) ∈ 𝑇)
62	61	3adant3r1 1178	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) → (𝑡 ∘ 𝑓) ∈ 𝑇)
63	60, 62	jca 514	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) → (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ (𝑡 ∘ 𝑓) ∈ 𝑇))
64	1, 2, 13, 3, 11	dvavsca 38155	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ (𝑡 ∘ 𝑓) ∈ 𝑇)) → (𝑠 · (𝑡 ∘ 𝑓)) = (𝑠‘(𝑡 ∘ 𝑓)))
65	63, 64	syldan 593	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) → (𝑠 · (𝑡 ∘ 𝑓)) = (𝑠‘(𝑡 ∘ 𝑓)))
66	57	3adant3r3 1180	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) → (𝑠‘𝑡) ∈ 𝑇)
67	1, 2, 13	tendocl 37905	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) → (𝑠‘𝑓) ∈ 𝑇)
68	67	3adant3r2 1179	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) → (𝑠‘𝑓) ∈ 𝑇)
69	66, 68	jca 514	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) → ((𝑠‘𝑡) ∈ 𝑇 ∧ (𝑠‘𝑓) ∈ 𝑇))
70	1, 2, 3, 7	dvavadd 38153	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝑠‘𝑡) ∈ 𝑇 ∧ (𝑠‘𝑓) ∈ 𝑇)) → ((𝑠‘𝑡) + (𝑠‘𝑓)) = ((𝑠‘𝑡) ∘ (𝑠‘𝑓)))
71	69, 70	syldan 593	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) → ((𝑠‘𝑡) + (𝑠‘𝑓)) = ((𝑠‘𝑡) ∘ (𝑠‘𝑓)))
72	59, 65, 71	3eqtr4d 2868	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) → (𝑠 · (𝑡 ∘ 𝑓)) = ((𝑠‘𝑡) + (𝑠‘𝑓)))
73	1, 2, 3, 7	dvavadd 38153	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑡 ∈ 𝑇 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) → (𝑡 + 𝑓) = (𝑡 ∘ 𝑓))
74	73	3adantr1 1165	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) → (𝑡 + 𝑓) = (𝑡 ∘ 𝑓))
75	74	oveq2d 7174	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) → (𝑠 · (𝑡 + 𝑓)) = (𝑠 · (𝑡 ∘ 𝑓)))
76	55	3adantr3 1167	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) → (𝑠 · 𝑡) = (𝑠‘𝑡))
77	1, 2, 13, 3, 11	dvavsca 38155	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) → (𝑠 · 𝑓) = (𝑠‘𝑓))
78	77	3adantr2 1166	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) → (𝑠 · 𝑓) = (𝑠‘𝑓))
79	76, 78	oveq12d 7176	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) → ((𝑠 · 𝑡) + (𝑠 · 𝑓)) = ((𝑠‘𝑡) + (𝑠‘𝑓)))
80	72, 75, 79	3eqtr4d 2868	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) → (𝑠 · (𝑡 + 𝑓)) = ((𝑠 · 𝑡) + (𝑠 · 𝑓)))
81	1, 2, 13, 3, 9, 17	dvaplusgv 38148	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) → ((𝑠 ⨣ 𝑡)‘𝑓) = ((𝑠‘𝑓) ∘ (𝑡‘𝑓)))
82	1, 2, 13, 3, 9, 17	dvafplusg 38146	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ⨣ = (𝑎 ∈ 𝐸, 𝑏 ∈ 𝐸 ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑎‘𝑓) ∘ (𝑏‘𝑓)))))
83	82	3ad2ant1 1129	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸) → ⨣ = (𝑎 ∈ 𝐸, 𝑏 ∈ 𝐸 ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑎‘𝑓) ∘ (𝑏‘𝑓)))))
84	83	oveqd 7175	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸) → (𝑠 ⨣ 𝑡) = (𝑠(𝑎 ∈ 𝐸, 𝑏 ∈ 𝐸 ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑎‘𝑓) ∘ (𝑏‘𝑓))))𝑡))
85		eqid 2823	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 ∈ 𝐸, 𝑏 ∈ 𝐸 ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑎‘𝑓) ∘ (𝑏‘𝑓)))) = (𝑎 ∈ 𝐸, 𝑏 ∈ 𝐸 ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑎‘𝑓) ∘ (𝑏‘𝑓))))
86	1, 2, 13, 85	tendoplcl 37919	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸) → (𝑠(𝑎 ∈ 𝐸, 𝑏 ∈ 𝐸 ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑎‘𝑓) ∘ (𝑏‘𝑓))))𝑡) ∈ 𝐸)
87	84, 86	eqeltrd 2915	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸) → (𝑠 ⨣ 𝑡) ∈ 𝐸)
88	87	3adant3r3 1180	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) → (𝑠 ⨣ 𝑡) ∈ 𝐸)
89		simpr3 1192	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) → 𝑓 ∈ 𝑇)
90	88, 89	jca 514	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) → ((𝑠 ⨣ 𝑡) ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇))
91	1, 2, 13, 3, 11	dvavsca 38155	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝑠 ⨣ 𝑡) ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) → ((𝑠 ⨣ 𝑡) · 𝑓) = ((𝑠 ⨣ 𝑡)‘𝑓))
92	90, 91	syldan 593	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) → ((𝑠 ⨣ 𝑡) · 𝑓) = ((𝑠 ⨣ 𝑡)‘𝑓))
93	77	3adantr2 1166	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) → (𝑠 · 𝑓) = (𝑠‘𝑓))
94	1, 2, 13, 3, 11	dvavsca 38155	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) → (𝑡 · 𝑓) = (𝑡‘𝑓))
95	94	3adantr1 1165	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) → (𝑡 · 𝑓) = (𝑡‘𝑓))
96	93, 95	oveq12d 7176	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) → ((𝑠 · 𝑓) + (𝑡 · 𝑓)) = ((𝑠‘𝑓) + (𝑡‘𝑓)))
97	67	3adant3r2 1179	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) → (𝑠‘𝑓) ∈ 𝑇)
98	1, 2, 13	tendospcl 38156	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) → (𝑡‘𝑓) ∈ 𝑇)
99	98	3adant3r1 1178	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) → (𝑡‘𝑓) ∈ 𝑇)
100	97, 99	jca 514	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) → ((𝑠‘𝑓) ∈ 𝑇 ∧ (𝑡‘𝑓) ∈ 𝑇))
101	1, 2, 3, 7	dvavadd 38153	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝑠‘𝑓) ∈ 𝑇 ∧ (𝑡‘𝑓) ∈ 𝑇)) → ((𝑠‘𝑓) + (𝑡‘𝑓)) = ((𝑠‘𝑓) ∘ (𝑡‘𝑓)))
102	100, 101	syldan 593	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) → ((𝑠‘𝑓) + (𝑡‘𝑓)) = ((𝑠‘𝑓) ∘ (𝑡‘𝑓)))
103	96, 102	eqtrd 2858	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) → ((𝑠 · 𝑓) + (𝑡 · 𝑓)) = ((𝑠‘𝑓) ∘ (𝑡‘𝑓)))
104	81, 92, 103	3eqtr4d 2868	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) → ((𝑠 ⨣ 𝑡) · 𝑓) = ((𝑠 · 𝑓) + (𝑡 · 𝑓)))
105	1, 2, 13	tendospass 38157	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) → ((𝑠 ∘ 𝑡)‘𝑓) = (𝑠‘(𝑡‘𝑓)))
106	1, 13	tendococl 37910	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸) → (𝑠 ∘ 𝑡) ∈ 𝐸)
107	106	3adant3r3 1180	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) → (𝑠 ∘ 𝑡) ∈ 𝐸)
108	107, 89	jca 514	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) → ((𝑠 ∘ 𝑡) ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇))
109	1, 2, 13, 3, 11	dvavsca 38155	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝑠 ∘ 𝑡) ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) → ((𝑠 ∘ 𝑡) · 𝑓) = ((𝑠 ∘ 𝑡)‘𝑓))
110	108, 109	syldan 593	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) → ((𝑠 ∘ 𝑡) · 𝑓) = ((𝑠 ∘ 𝑡)‘𝑓))
111		simpr1 1190	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) → 𝑠 ∈ 𝐸)
112	111, 99	jca 514	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) → (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ (𝑡‘𝑓) ∈ 𝑇))
113	1, 2, 13, 3, 11	dvavsca 38155	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ (𝑡‘𝑓) ∈ 𝑇)) → (𝑠 · (𝑡‘𝑓)) = (𝑠‘(𝑡‘𝑓)))
114	112, 113	syldan 593	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) → (𝑠 · (𝑡‘𝑓)) = (𝑠‘(𝑡‘𝑓)))
115	105, 110, 114	3eqtr4d 2868	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) → ((𝑠 ∘ 𝑡) · 𝑓) = (𝑠 · (𝑡‘𝑓)))
116	1, 2, 13, 3, 9, 19	dvamulr 38150	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸)) → (𝑠 × 𝑡) = (𝑠 ∘ 𝑡))
117	116	3adantr3 1167	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) → (𝑠 × 𝑡) = (𝑠 ∘ 𝑡))
118	117	oveq1d 7173	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) → ((𝑠 × 𝑡) · 𝑓) = ((𝑠 ∘ 𝑡) · 𝑓))
119	95	oveq2d 7174	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) → (𝑠 · (𝑡 · 𝑓)) = (𝑠 · (𝑡‘𝑓)))
120	115, 118, 119	3eqtr4d 2868	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) → ((𝑠 × 𝑡) · 𝑓) = (𝑠 · (𝑡 · 𝑓)))
121	21	anim1i 616	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) → (( I ↾ 𝑇) ∈ 𝐸 ∧ 𝑠 ∈ 𝑇))
122	1, 2, 13, 3, 11	dvavsca 38155	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (( I ↾ 𝑇) ∈ 𝐸 ∧ 𝑠 ∈ 𝑇)) → (( I ↾ 𝑇) · 𝑠) = (( I ↾ 𝑇)‘𝑠))
123	121, 122	syldan 593	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) → (( I ↾ 𝑇) · 𝑠) = (( I ↾ 𝑇)‘𝑠))
124		fvresi 6937	. . . . 5 ⊢ (𝑠 ∈ 𝑇 → (( I ↾ 𝑇)‘𝑠) = 𝑠)
125	124	adantl 484	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) → (( I ↾ 𝑇)‘𝑠) = 𝑠)
126	123, 125	eqtrd 2858	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) → (( I ↾ 𝑇) · 𝑠) = 𝑠)
127	6, 8, 10, 12, 16, 18, 20, 49, 51, 54, 58, 80, 104, 120, 126	islmodd 19642	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑈 ∈ LMod)
128	9	islvec 19878	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ LVec ↔ (𝑈 ∈ LMod ∧ 𝐷 ∈ DivRing))
129	127, 43, 128	sylanbrc 585	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑈 ∈ LVec)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   ≠ wne 3018   ↦ cmpt 5148   I cid 5461   ↾ cres 5559   ∘ ccom 5561  ⟶wf 6353  –1-1-onto→wf1o 6356  ‘cfv 6357  (class class class)co 7158   ∈ cmpo 7160  Basecbs 16485  +_gcplusg 16567  ._rcmulr 16568  Scalarcsca 16570   ·_𝑠 cvsca 16571  0_gc0g 16715  Grpcgrp 18105  Abelcabl 18909  1_rcur 19253  Ringcrg 19299  DivRingcdr 19504  LModclmod 19636  LVecclvec 19876  HLchlt 36488  LHypclh 37122  LTrncltrn 37239  TEndoctendo 37890  EDRingcedring 37891  DVecAcdveca 38140

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-rep 5192  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-cnex 10595  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615  ax-pre-mulgt0 10616  ax-riotaBAD 36091

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rmo 3148  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-int 4879  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-pred 6150  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-om 7583  df-1st 7691  df-2nd 7692  df-tpos 7894  df-undef 7941  df-wrecs 7949  df-recs 8010  df-rdg 8048  df-1o 8104  df-oadd 8108  df-er 8291  df-map 8410  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-fin 8515  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-sub 10874  df-neg 10875  df-nn 11641  df-2 11703  df-3 11704  df-4 11705  df-5 11706  df-6 11707  df-n0 11901  df-z 11985  df-uz 12247  df-fz 12896  df-struct 16487  df-ndx 16488  df-slot 16489  df-base 16491  df-sets 16492  df-ress 16493  df-plusg 16580  df-mulr 16581  df-sca 16583  df-vsca 16584  df-0g 16717  df-proset 17540  df-poset 17558  df-plt 17570  df-lub 17586  df-glb 17587  df-join 17588  df-meet 17589  df-p0 17651  df-p1 17652  df-lat 17658  df-clat 17720  df-mgm 17854  df-sgrp 17903  df-mnd 17914  df-grp 18108  df-minusg 18109  df-cmn 18910  df-abl 18911  df-mgp 19242  df-ur 19254  df-ring 19301  df-oppr 19375  df-dvdsr 19393  df-unit 19394  df-invr 19424  df-dvr 19435  df-drng 19506  df-lmod 19638  df-lvec 19877  df-oposet 36314  df-ol 36316  df-oml 36317  df-covers 36404  df-ats 36405  df-atl 36436  df-cvlat 36460  df-hlat 36489  df-llines 36636  df-lplanes 36637  df-lvols 36638  df-lines 36639  df-psubsp 36641  df-pmap 36642  df-padd 36934  df-lhyp 37126  df-laut 37127  df-ldil 37242  df-ltrn 37243  df-trl 37297  df-tgrp 37881  df-tendo 37893  df-edring 37895  df-dveca 38141

This theorem is referenced by:  dvalvec  38164