MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  drngnidl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem drngnidl 19427
Description: A division ring has only the two trivial ideals. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Jan-2015.) (Revised by Wolf Lammen, 6-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
drngnidl.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
drngnidl.z 0 = (0g𝑅)
drngnidl.u 𝑈 = (LIdeal‘𝑅)
Assertion
Ref Expression
drngnidl (𝑅 ∈ DivRing → 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵})

Proof of Theorem drngnidl
Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 479 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑎𝑈) ∧ 𝑎 = { 0 }) → 𝑎 = { 0 })
21orcd 406 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑎𝑈) ∧ 𝑎 = { 0 }) → (𝑎 = { 0 } ∨ 𝑎 = 𝐵))
3 drngring 18952 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ DivRing → 𝑅 ∈ Ring)
43ad2antrr 764 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑎𝑈) ∧ 𝑎 ≠ { 0 }) → 𝑅 ∈ Ring)
5 simplr 809 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑎𝑈) ∧ 𝑎 ≠ { 0 }) → 𝑎𝑈)
6 simpr 479 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑎𝑈) ∧ 𝑎 ≠ { 0 }) → 𝑎 ≠ { 0 })
7 drngnidl.u . . . . . . . . . . 11 𝑈 = (LIdeal‘𝑅)
8 drngnidl.z . . . . . . . . . . 11 0 = (0g𝑅)
97, 8lidlnz 19426 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑎𝑈𝑎 ≠ { 0 }) → ∃𝑏𝑎 𝑏0 )
104, 5, 6, 9syl3anc 1477 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑎𝑈) ∧ 𝑎 ≠ { 0 }) → ∃𝑏𝑎 𝑏0 )
11 simpll 807 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑎𝑈) ∧ (𝑏𝑎𝑏0 )) → 𝑅 ∈ DivRing)
12 drngnidl.b . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝐵 = (Base‘𝑅)
1312, 7lidlss 19408 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑎𝑈𝑎𝐵)
1413adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑎𝑈) → 𝑎𝐵)
1514sselda 3740 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑎𝑈) ∧ 𝑏𝑎) → 𝑏𝐵)
1615adantrr 755 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑎𝑈) ∧ (𝑏𝑎𝑏0 )) → 𝑏𝐵)
17 simprr 813 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑎𝑈) ∧ (𝑏𝑎𝑏0 )) → 𝑏0 )
18 eqid 2756 . . . . . . . . . . . . . 14 (.r𝑅) = (.r𝑅)
19 eqid 2756 . . . . . . . . . . . . . 14 (1r𝑅) = (1r𝑅)
20 eqid 2756 . . . . . . . . . . . . . 14 (invr𝑅) = (invr𝑅)
2112, 8, 18, 19, 20drnginvrl 18964 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑏𝐵𝑏0 ) → (((invr𝑅)‘𝑏)(.r𝑅)𝑏) = (1r𝑅))
2211, 16, 17, 21syl3anc 1477 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑎𝑈) ∧ (𝑏𝑎𝑏0 )) → (((invr𝑅)‘𝑏)(.r𝑅)𝑏) = (1r𝑅))
233ad2antrr 764 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑎𝑈) ∧ (𝑏𝑎𝑏0 )) → 𝑅 ∈ Ring)
24 simplr 809 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑎𝑈) ∧ (𝑏𝑎𝑏0 )) → 𝑎𝑈)
2512, 8, 20drnginvrcl 18962 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑏𝐵𝑏0 ) → ((invr𝑅)‘𝑏) ∈ 𝐵)
2611, 16, 17, 25syl3anc 1477 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑎𝑈) ∧ (𝑏𝑎𝑏0 )) → ((invr𝑅)‘𝑏) ∈ 𝐵)
27 simprl 811 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑎𝑈) ∧ (𝑏𝑎𝑏0 )) → 𝑏𝑎)
287, 12, 18lidlmcl 19415 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑎𝑈) ∧ (((invr𝑅)‘𝑏) ∈ 𝐵𝑏𝑎)) → (((invr𝑅)‘𝑏)(.r𝑅)𝑏) ∈ 𝑎)
2923, 24, 26, 27, 28syl22anc 1478 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑎𝑈) ∧ (𝑏𝑎𝑏0 )) → (((invr𝑅)‘𝑏)(.r𝑅)𝑏) ∈ 𝑎)
3022, 29eqeltrrd 2836 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑎𝑈) ∧ (𝑏𝑎𝑏0 )) → (1r𝑅) ∈ 𝑎)
3130rexlimdvaa 3166 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑎𝑈) → (∃𝑏𝑎 𝑏0 → (1r𝑅) ∈ 𝑎))
3231imp 444 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑎𝑈) ∧ ∃𝑏𝑎 𝑏0 ) → (1r𝑅) ∈ 𝑎)
3310, 32syldan 488 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑎𝑈) ∧ 𝑎 ≠ { 0 }) → (1r𝑅) ∈ 𝑎)
347, 12, 19lidl1el 19416 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑎𝑈) → ((1r𝑅) ∈ 𝑎𝑎 = 𝐵))
353, 34sylan 489 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑎𝑈) → ((1r𝑅) ∈ 𝑎𝑎 = 𝐵))
3635adantr 472 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑎𝑈) ∧ 𝑎 ≠ { 0 }) → ((1r𝑅) ∈ 𝑎𝑎 = 𝐵))
3733, 36mpbid 222 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑎𝑈) ∧ 𝑎 ≠ { 0 }) → 𝑎 = 𝐵)
3837olcd 407 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑎𝑈) ∧ 𝑎 ≠ { 0 }) → (𝑎 = { 0 } ∨ 𝑎 = 𝐵))
392, 38pm2.61dane 3015 . . . . 5 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑎𝑈) → (𝑎 = { 0 } ∨ 𝑎 = 𝐵))
40 vex 3339 . . . . . 6 𝑎 ∈ V
4140elpr 4339 . . . . 5 (𝑎 ∈ {{ 0 }, 𝐵} ↔ (𝑎 = { 0 } ∨ 𝑎 = 𝐵))
4239, 41sylibr 224 . . . 4 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑎𝑈) → 𝑎 ∈ {{ 0 }, 𝐵})
4342ex 449 . . 3 (𝑅 ∈ DivRing → (𝑎𝑈𝑎 ∈ {{ 0 }, 𝐵}))
4443ssrdv 3746 . 2 (𝑅 ∈ DivRing → 𝑈 ⊆ {{ 0 }, 𝐵})
457, 8lidl0 19417 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → { 0 } ∈ 𝑈)
467, 12lidl1 19418 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → 𝐵𝑈)
47 snex 5053 . . . . . 6 { 0 } ∈ V
48 fvex 6358 . . . . . . 7 (Base‘𝑅) ∈ V
4912, 48eqeltri 2831 . . . . . 6 𝐵 ∈ V
5047, 49prss 4492 . . . . 5 (({ 0 } ∈ 𝑈𝐵𝑈) ↔ {{ 0 }, 𝐵} ⊆ 𝑈)
5150bicomi 214 . . . 4 ({{ 0 }, 𝐵} ⊆ 𝑈 ↔ ({ 0 } ∈ 𝑈𝐵𝑈))
5245, 46, 51sylanbrc 701 . . 3 (𝑅 ∈ Ring → {{ 0 }, 𝐵} ⊆ 𝑈)
533, 52syl 17 . 2 (𝑅 ∈ DivRing → {{ 0 }, 𝐵} ⊆ 𝑈)
5444, 53eqssd 3757 1 (𝑅 ∈ DivRing → 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wo 382  wa 383   = wceq 1628  wcel 2135  wne 2928  wrex 3047  Vcvv 3336  wss 3711  {csn 4317  {cpr 4319  cfv 6045  (class class class)co 6809  Basecbs 16055  .rcmulr 16140  0gc0g 16298  1rcur 18697  Ringcrg 18743  invrcinvr 18867  DivRingcdr 18945  LIdealclidl 19368
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1867  ax-4 1882  ax-5 1984  ax-6 2050  ax-7 2086  ax-8 2137  ax-9 2144  ax-10 2164  ax-11 2179  ax-12 2192  ax-13 2387  ax-ext 2736  ax-rep 4919  ax-sep 4929  ax-nul 4937  ax-pow 4988  ax-pr 5051  ax-un 7110  ax-cnex 10180  ax-resscn 10181  ax-1cn 10182  ax-icn 10183  ax-addcl 10184  ax-addrcl 10185  ax-mulcl 10186  ax-mulrcl 10187  ax-mulcom 10188  ax-addass 10189  ax-mulass 10190  ax-distr 10191  ax-i2m1 10192  ax-1ne0 10193  ax-1rid 10194  ax-rnegex 10195  ax-rrecex 10196  ax-cnre 10197  ax-pre-lttri 10198  ax-pre-lttrn 10199  ax-pre-ltadd 10200  ax-pre-mulgt0 10201
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1631  df-ex 1850  df-nf 1855  df-sb 2043  df-eu 2607  df-mo 2608  df-clab 2743  df-cleq 2749  df-clel 2752  df-nfc 2887  df-ne 2929  df-nel 3032  df-ral 3051  df-rex 3052  df-reu 3053  df-rmo 3054  df-rab 3055  df-v 3338  df-sbc 3573  df-csb 3671  df-dif 3714  df-un 3716  df-in 3718  df-ss 3725  df-pss 3727  df-nul 4055  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4585  df-iun 4670  df-br 4801  df-opab 4861  df-mpt 4878  df-tr 4901  df-id 5170  df-eprel 5175  df-po 5183  df-so 5184  df-fr 5221  df-we 5223  df-xp 5268  df-rel 5269  df-cnv 5270  df-co 5271  df-dm 5272  df-rn 5273  df-res 5274  df-ima 5275  df-pred 5837  df-ord 5883  df-on 5884  df-lim 5885  df-suc 5886  df-iota 6008  df-fun 6047  df-fn 6048  df-f 6049  df-f1 6050  df-fo 6051  df-f1o 6052  df-fv 6053  df-riota 6770  df-ov 6812  df-oprab 6813  df-mpt2 6814  df-om 7227  df-1st 7329  df-2nd 7330  df-tpos 7517  df-wrecs 7572  df-recs 7633  df-rdg 7671  df-er 7907  df-en 8118  df-dom 8119  df-sdom 8120  df-pnf 10264  df-mnf 10265  df-xr 10266  df-ltxr 10267  df-le 10268  df-sub 10456  df-neg 10457  df-nn 11209  df-2 11267  df-3 11268  df-4 11269  df-5 11270  df-6 11271  df-7 11272  df-8 11273  df-ndx 16058  df-slot 16059  df-base 16061  df-sets 16062  df-ress 16063  df-plusg 16152  df-mulr 16153  df-sca 16155  df-vsca 16156  df-ip 16157  df-0g 16300  df-mgm 17439  df-sgrp 17481  df-mnd 17492  df-grp 17622  df-minusg 17623  df-sbg 17624  df-subg 17788  df-mgp 18686  df-ur 18698  df-ring 18745  df-oppr 18819  df-dvdsr 18837  df-unit 18838  df-invr 18868  df-drng 18947  df-subrg 18976  df-lmod 19063  df-lss 19131  df-sra 19370  df-rgmod 19371  df-lidl 19372
This theorem is referenced by:  drnglpir  19451
  Copyright terms: Public domain W3C validator