Theorem dya2iocnei 31540

Description: For any point of an open set of the usual topology on (ℝ × ℝ) there is a closed-below open-above dyadic rational square which contains that point and is entirely in the open set. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Sep-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
sxbrsiga.0	⊢ 𝐽 = (topGen‘ran (,))
dya2ioc.1	⊢ 𝐼 = (𝑥 ∈ ℤ, 𝑛 ∈ ℤ ↦ ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛))))
dya2ioc.2	⊢ 𝑅 = (𝑢 ∈ ran 𝐼, 𝑣 ∈ ran 𝐼 ↦ (𝑢 × 𝑣))

Assertion

Ref	Expression
dya2iocnei	⊢ ((𝐴 ∈ (𝐽 ×t 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → ∃𝑏 ∈ ran 𝑅(𝑋 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑛   𝑥,𝐼   𝑣,𝑢,𝐼,𝑥   𝑢,𝑏,𝑣,𝑥   𝐴,𝑏   𝑅,𝑏   𝑋,𝑏,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑣,𝑢,𝑛)   𝑅(𝑥,𝑣,𝑢,𝑛)   𝐼(𝑛,𝑏)   𝐽(𝑥,𝑣,𝑢,𝑛,𝑏)   𝑋(𝑣,𝑢,𝑛)

Proof of Theorem dya2iocnei

Dummy variables 𝑒 𝑓 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elunii 4843	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ (𝐽 ×t 𝐽)) → 𝑋 ∈ ∪ (𝐽 ×t 𝐽))
2	1	ancoms 461	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐽 ×t 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ ∪ (𝐽 ×t 𝐽))
3		sxbrsiga.0	. . . 4 ⊢ 𝐽 = (topGen‘ran (,))
4	3	tpr2uni 31148	. . 3 ⊢ ∪ (𝐽 ×t 𝐽) = (ℝ × ℝ)
5	2, 4	eleqtrdi 2923	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐽 ×t 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ (ℝ × ℝ))
6		eqid 2821	. . 3 ⊢ (𝑢 ∈ ℝ, 𝑣 ∈ ℝ ↦ (𝑢 + (i · 𝑣))) = (𝑢 ∈ ℝ, 𝑣 ∈ ℝ ↦ (𝑢 + (i · 𝑣)))
7		eqid 2821	. . 3 ⊢ ran (𝑒 ∈ ran (,), 𝑓 ∈ ran (,) ↦ (𝑒 × 𝑓)) = ran (𝑒 ∈ ran (,), 𝑓 ∈ ran (,) ↦ (𝑒 × 𝑓))
8	3, 6, 7	tpr2rico 31155	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐽 ×t 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → ∃𝑟 ∈ ran (𝑒 ∈ ran (,), 𝑓 ∈ ran (,) ↦ (𝑒 × 𝑓))(𝑋 ∈ 𝑟 ∧ 𝑟 ⊆ 𝐴))
9		anass 471	. . . . 5 ⊢ (((𝑟 ∈ ran (𝑒 ∈ ran (,), 𝑓 ∈ ran (,) ↦ (𝑒 × 𝑓)) ∧ 𝑋 ∈ 𝑟) ∧ 𝑟 ⊆ 𝐴) ↔ (𝑟 ∈ ran (𝑒 ∈ ran (,), 𝑓 ∈ ran (,) ↦ (𝑒 × 𝑓)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑟 ∧ 𝑟 ⊆ 𝐴)))
10		dya2ioc.1	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐼 = (𝑥 ∈ ℤ, 𝑛 ∈ ℤ ↦ ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛))))
11		dya2ioc.2	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑅 = (𝑢 ∈ ran 𝐼, 𝑣 ∈ ran 𝐼 ↦ (𝑢 × 𝑣))
12	3, 10, 11, 7	dya2iocnrect 31539	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ran (𝑒 ∈ ran (,), 𝑓 ∈ ran (,) ↦ (𝑒 × 𝑓)) ∧ 𝑋 ∈ 𝑟) → ∃𝑏 ∈ ran 𝑅(𝑋 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝑟))
13	12	3expb 1116	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ran (𝑒 ∈ ran (,), 𝑓 ∈ ran (,) ↦ (𝑒 × 𝑓)) ∧ 𝑋 ∈ 𝑟)) → ∃𝑏 ∈ ran 𝑅(𝑋 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝑟))
14	13	anim1i 616	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ran (𝑒 ∈ ran (,), 𝑓 ∈ ran (,) ↦ (𝑒 × 𝑓)) ∧ 𝑋 ∈ 𝑟)) ∧ 𝑟 ⊆ 𝐴) → (∃𝑏 ∈ ran 𝑅(𝑋 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝑟) ∧ 𝑟 ⊆ 𝐴))
15	14	anasss 469	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ran (𝑒 ∈ ran (,), 𝑓 ∈ ran (,) ↦ (𝑒 × 𝑓)) ∧ 𝑋 ∈ 𝑟) ∧ 𝑟 ⊆ 𝐴)) → (∃𝑏 ∈ ran 𝑅(𝑋 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝑟) ∧ 𝑟 ⊆ 𝐴))
16	9, 15	sylan2br 596	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ran (𝑒 ∈ ran (,), 𝑓 ∈ ran (,) ↦ (𝑒 × 𝑓)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑟 ∧ 𝑟 ⊆ 𝐴))) → (∃𝑏 ∈ ran 𝑅(𝑋 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝑟) ∧ 𝑟 ⊆ 𝐴))
17		r19.41v 3347	. . . . 5 ⊢ (∃𝑏 ∈ ran 𝑅((𝑋 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝑟) ∧ 𝑟 ⊆ 𝐴) ↔ (∃𝑏 ∈ ran 𝑅(𝑋 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝑟) ∧ 𝑟 ⊆ 𝐴))
18		simpll 765	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝑟) ∧ 𝑟 ⊆ 𝐴) → 𝑋 ∈ 𝑏)
19		simplr 767	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝑟) ∧ 𝑟 ⊆ 𝐴) → 𝑏 ⊆ 𝑟)
20		simpr 487	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝑟) ∧ 𝑟 ⊆ 𝐴) → 𝑟 ⊆ 𝐴)
21	19, 20	sstrd 3977	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝑟) ∧ 𝑟 ⊆ 𝐴) → 𝑏 ⊆ 𝐴)
22	18, 21	jca 514	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝑟) ∧ 𝑟 ⊆ 𝐴) → (𝑋 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴))
23	22	reximi 3243	. . . . 5 ⊢ (∃𝑏 ∈ ran 𝑅((𝑋 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝑟) ∧ 𝑟 ⊆ 𝐴) → ∃𝑏 ∈ ran 𝑅(𝑋 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴))
24	17, 23	sylbir 237	. . . 4 ⊢ ((∃𝑏 ∈ ran 𝑅(𝑋 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝑟) ∧ 𝑟 ⊆ 𝐴) → ∃𝑏 ∈ ran 𝑅(𝑋 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴))
25	16, 24	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ran (𝑒 ∈ ran (,), 𝑓 ∈ ran (,) ↦ (𝑒 × 𝑓)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑟 ∧ 𝑟 ⊆ 𝐴))) → ∃𝑏 ∈ ran 𝑅(𝑋 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴))
26	25	rexlimdvaa 3285	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) → (∃𝑟 ∈ ran (𝑒 ∈ ran (,), 𝑓 ∈ ran (,) ↦ (𝑒 × 𝑓))(𝑋 ∈ 𝑟 ∧ 𝑟 ⊆ 𝐴) → ∃𝑏 ∈ ran 𝑅(𝑋 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴)))
27	5, 8, 26	sylc 65	1 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐽 ×t 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → ∃𝑏 ∈ ran 𝑅(𝑋 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  ∃wrex 3139   ⊆ wss 3936  ∪ cuni 4838   × cxp 5553  ran crn 5556  ‘cfv 6355  (class class class)co 7156   ∈ cmpo 7158  ℝcr 10536  1c1 10538  ici 10539   + caddc 10540   · cmul 10542   / cdiv 11297  2c2 11693  ℤcz 11982  (,)cioo 12739  [,)cico 12741  ↑cexp 13430  topGenctg 16711   ×_t ctx 22168

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-rep 5190  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-inf2 9104  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614  ax-pre-sup 10615  ax-addf 10616  ax-mulf 10617

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-int 4877  df-iun 4921  df-iin 4922  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-se 5515  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-pred 6148  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-isom 6364  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-of 7409  df-om 7581  df-1st 7689  df-2nd 7690  df-supp 7831  df-wrecs 7947  df-recs 8008  df-rdg 8046  df-1o 8102  df-2o 8103  df-oadd 8106  df-er 8289  df-map 8408  df-pm 8409  df-ixp 8462  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-fin 8513  df-fsupp 8834  df-fi 8875  df-sup 8906  df-inf 8907  df-oi 8974  df-card 9368  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-div 11298  df-nn 11639  df-2 11701  df-3 11702  df-4 11703  df-5 11704  df-6 11705  df-7 11706  df-8 11707  df-9 11708  df-n0 11899  df-z 11983  df-dec 12100  df-uz 12245  df-q 12350  df-rp 12391  df-xneg 12508  df-xadd 12509  df-xmul 12510  df-ioo 12743  df-ioc 12744  df-ico 12745  df-icc 12746  df-fz 12894  df-fzo 13035  df-fl 13163  df-mod 13239  df-seq 13371  df-exp 13431  df-fac 13635  df-bc 13664  df-hash 13692  df-shft 14426  df-cj 14458  df-re 14459  df-im 14460  df-sqrt 14594  df-abs 14595  df-limsup 14828  df-clim 14845  df-rlim 14846  df-sum 15043  df-ef 15421  df-sin 15423  df-cos 15424  df-pi 15426  df-struct 16485  df-ndx 16486  df-slot 16487  df-base 16489  df-sets 16490  df-ress 16491  df-plusg 16578  df-mulr 16579  df-starv 16580  df-sca 16581  df-vsca 16582  df-ip 16583  df-tset 16584  df-ple 16585  df-ds 16587  df-unif 16588  df-hom 16589  df-cco 16590  df-rest 16696  df-topn 16697  df-0g 16715  df-gsum 16716  df-topgen 16717  df-pt 16718  df-prds 16721  df-xrs 16775  df-qtop 16780  df-imas 16781  df-xps 16783  df-mre 16857  df-mrc 16858  df-acs 16860  df-mgm 17852  df-sgrp 17901  df-mnd 17912  df-submnd 17957  df-mulg 18225  df-cntz 18447  df-cmn 18908  df-psmet 20537  df-xmet 20538  df-met 20539  df-bl 20540  df-mopn 20541  df-fbas 20542  df-fg 20543  df-cnfld 20546  df-refld 20749  df-top 21502  df-topon 21519  df-topsp 21541  df-bases 21554  df-cld 21627  df-ntr 21628  df-cls 21629  df-nei 21706  df-lp 21744  df-perf 21745  df-cn 21835  df-cnp 21836  df-haus 21923  df-cmp 21995  df-tx 22170  df-hmeo 22363  df-fil 22454  df-fm 22546  df-flim 22547  df-flf 22548  df-fcls 22549  df-xms 22930  df-ms 22931  df-tms 22932  df-cncf 23486  df-cfil 23858  df-cmet 23860  df-cms 23938  df-limc 24464  df-dv 24465  df-log 25140  df-cxp 25141  df-logb 25343

This theorem is referenced by:  dya2iocuni  31541