MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  efper Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem efper 24319
Description: The exponential function is periodic. (Contributed by Paul Chapman, 21-Apr-2008.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 10-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
efper ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (exp‘(𝐴 + ((i · (2 · π)) · 𝐾))) = (exp‘𝐴))

Proof of Theorem efper
StepHypRef Expression
1 ax-icn 10076 . . . . 5 i ∈ ℂ
2 2cn 11172 . . . . . 6 2 ∈ ℂ
3 picn 24299 . . . . . 6 π ∈ ℂ
42, 3mulcli 10126 . . . . 5 (2 · π) ∈ ℂ
51, 4mulcli 10126 . . . 4 (i · (2 · π)) ∈ ℂ
6 zcn 11463 . . . 4 (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℂ)
7 mulcl 10101 . . . 4 (((i · (2 · π)) ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ) → ((i · (2 · π)) · 𝐾) ∈ ℂ)
85, 6, 7sylancr 698 . . 3 (𝐾 ∈ ℤ → ((i · (2 · π)) · 𝐾) ∈ ℂ)
9 efadd 14912 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((i · (2 · π)) · 𝐾) ∈ ℂ) → (exp‘(𝐴 + ((i · (2 · π)) · 𝐾))) = ((exp‘𝐴) · (exp‘((i · (2 · π)) · 𝐾))))
108, 9sylan2 492 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (exp‘(𝐴 + ((i · (2 · π)) · 𝐾))) = ((exp‘𝐴) · (exp‘((i · (2 · π)) · 𝐾))))
11 ef2kpi 24318 . . . 4 (𝐾 ∈ ℤ → (exp‘((i · (2 · π)) · 𝐾)) = 1)
1211oveq2d 6749 . . 3 (𝐾 ∈ ℤ → ((exp‘𝐴) · (exp‘((i · (2 · π)) · 𝐾))) = ((exp‘𝐴) · 1))
13 efcl 14901 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘𝐴) ∈ ℂ)
1413mulid1d 10138 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → ((exp‘𝐴) · 1) = (exp‘𝐴))
1512, 14sylan9eqr 2748 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((exp‘𝐴) · (exp‘((i · (2 · π)) · 𝐾))) = (exp‘𝐴))
1610, 15eqtrd 2726 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (exp‘(𝐴 + ((i · (2 · π)) · 𝐾))) = (exp‘𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1564  wcel 2071  cfv 5969  (class class class)co 6733  cc 10015  1c1 10018  ici 10019   + caddc 10020   · cmul 10022  2c2 11151  cz 11458  expce 14880  πcpi 14885
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1818  ax-5 1920  ax-6 1986  ax-7 2022  ax-8 2073  ax-9 2080  ax-10 2100  ax-11 2115  ax-12 2128  ax-13 2323  ax-ext 2672  ax-rep 4847  ax-sep 4857  ax-nul 4865  ax-pow 4916  ax-pr 4979  ax-un 7034  ax-inf2 8619  ax-cnex 10073  ax-resscn 10074  ax-1cn 10075  ax-icn 10076  ax-addcl 10077  ax-addrcl 10078  ax-mulcl 10079  ax-mulrcl 10080  ax-mulcom 10081  ax-addass 10082  ax-mulass 10083  ax-distr 10084  ax-i2m1 10085  ax-1ne0 10086  ax-1rid 10087  ax-rnegex 10088  ax-rrecex 10089  ax-cnre 10090  ax-pre-lttri 10091  ax-pre-lttrn 10092  ax-pre-ltadd 10093  ax-pre-mulgt0 10094  ax-pre-sup 10095  ax-addf 10096  ax-mulf 10097
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1567  df-fal 1570  df-ex 1786  df-nf 1791  df-sb 1979  df-eu 2543  df-mo 2544  df-clab 2679  df-cleq 2685  df-clel 2688  df-nfc 2823  df-ne 2865  df-nel 2968  df-ral 2987  df-rex 2988  df-reu 2989  df-rmo 2990  df-rab 2991  df-v 3274  df-sbc 3510  df-csb 3608  df-dif 3651  df-un 3653  df-in 3655  df-ss 3662  df-pss 3664  df-nul 3992  df-if 4163  df-pw 4236  df-sn 4254  df-pr 4256  df-tp 4258  df-op 4260  df-uni 4513  df-int 4552  df-iun 4598  df-iin 4599  df-br 4729  df-opab 4789  df-mpt 4806  df-tr 4829  df-id 5096  df-eprel 5101  df-po 5107  df-so 5108  df-fr 5145  df-se 5146  df-we 5147  df-xp 5192  df-rel 5193  df-cnv 5194  df-co 5195  df-dm 5196  df-rn 5197  df-res 5198  df-ima 5199  df-pred 5761  df-ord 5807  df-on 5808  df-lim 5809  df-suc 5810  df-iota 5932  df-fun 5971  df-fn 5972  df-f 5973  df-f1 5974  df-fo 5975  df-f1o 5976  df-fv 5977  df-isom 5978  df-riota 6694  df-ov 6736  df-oprab 6737  df-mpt2 6738  df-of 6982  df-om 7151  df-1st 7253  df-2nd 7254  df-supp 7384  df-wrecs 7495  df-recs 7556  df-rdg 7594  df-1o 7648  df-2o 7649  df-oadd 7652  df-er 7830  df-map 7944  df-pm 7945  df-ixp 7994  df-en 8041  df-dom 8042  df-sdom 8043  df-fin 8044  df-fsupp 8360  df-fi 8401  df-sup 8432  df-inf 8433  df-oi 8499  df-card 8846  df-cda 9071  df-pnf 10157  df-mnf 10158  df-xr 10159  df-ltxr 10160  df-le 10161  df-sub 10349  df-neg 10350  df-div 10766  df-nn 11102  df-2 11160  df-3 11161  df-4 11162  df-5 11163  df-6 11164  df-7 11165  df-8 11166  df-9 11167  df-n0 11374  df-z 11459  df-dec 11575  df-uz 11769  df-q 11871  df-rp 11915  df-xneg 12028  df-xadd 12029  df-xmul 12030  df-ioo 12261  df-ioc 12262  df-ico 12263  df-icc 12264  df-fz 12409  df-fzo 12549  df-fl 12676  df-seq 12885  df-exp 12944  df-fac 13144  df-bc 13173  df-hash 13201  df-shft 13895  df-cj 13927  df-re 13928  df-im 13929  df-sqrt 14063  df-abs 14064  df-limsup 14290  df-clim 14307  df-rlim 14308  df-sum 14505  df-ef 14886  df-sin 14888  df-cos 14889  df-pi 14891  df-struct 15950  df-ndx 15951  df-slot 15952  df-base 15954  df-sets 15955  df-ress 15956  df-plusg 16045  df-mulr 16046  df-starv 16047  df-sca 16048  df-vsca 16049  df-ip 16050  df-tset 16051  df-ple 16052  df-ds 16055  df-unif 16056  df-hom 16057  df-cco 16058  df-rest 16174  df-topn 16175  df-0g 16193  df-gsum 16194  df-topgen 16195  df-pt 16196  df-prds 16199  df-xrs 16253  df-qtop 16258  df-imas 16259  df-xps 16261  df-mre 16337  df-mrc 16338  df-acs 16340  df-mgm 17332  df-sgrp 17374  df-mnd 17385  df-submnd 17426  df-mulg 17631  df-cntz 17839  df-cmn 18284  df-psmet 19829  df-xmet 19830  df-met 19831  df-bl 19832  df-mopn 19833  df-fbas 19834  df-fg 19835  df-cnfld 19838  df-top 20790  df-topon 20807  df-topsp 20828  df-bases 20841  df-cld 20914  df-ntr 20915  df-cls 20916  df-nei 20993  df-lp 21031  df-perf 21032  df-cn 21122  df-cnp 21123  df-haus 21210  df-tx 21456  df-hmeo 21649  df-fil 21740  df-fm 21832  df-flim 21833  df-flf 21834  df-xms 22215  df-ms 22216  df-tms 22217  df-cncf 22771  df-limc 23718  df-dv 23719
This theorem is referenced by:  sinperlem  24320
  Copyright terms: Public domain W3C validator