MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fclim Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fclim 14074
Description: The limit relation is function-like, and with range the complex numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Jan-2014.)
Assertion
Ref Expression
fclim ⇝ :dom ⇝ ⟶ℂ

Proof of Theorem fclim
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 climrel 14013 . . . 4 Rel ⇝
2 climuni 14073 . . . . . . 7 ((𝑥𝑦𝑥𝑧) → 𝑦 = 𝑧)
32ax-gen 1711 . . . . . 6 𝑧((𝑥𝑦𝑥𝑧) → 𝑦 = 𝑧)
43ax-gen 1711 . . . . 5 𝑦𝑧((𝑥𝑦𝑥𝑧) → 𝑦 = 𝑧)
54ax-gen 1711 . . . 4 𝑥𝑦𝑧((𝑥𝑦𝑥𝑧) → 𝑦 = 𝑧)
6 dffun2 5796 . . . 4 (Fun ⇝ ↔ (Rel ⇝ ∧ ∀𝑥𝑦𝑧((𝑥𝑦𝑥𝑧) → 𝑦 = 𝑧)))
71, 5, 6mpbir2an 956 . . 3 Fun ⇝
8 funfn 5815 . . 3 (Fun ⇝ ↔ ⇝ Fn dom ⇝ )
97, 8mpbi 218 . 2 ⇝ Fn dom ⇝
10 vex 3171 . . . . 5 𝑦 ∈ V
1110elrn 5270 . . . 4 (𝑦 ∈ ran ⇝ ↔ ∃𝑥 𝑥𝑦)
12 climcl 14020 . . . . 5 (𝑥𝑦𝑦 ∈ ℂ)
1312exlimiv 1843 . . . 4 (∃𝑥 𝑥𝑦𝑦 ∈ ℂ)
1411, 13sylbi 205 . . 3 (𝑦 ∈ ran ⇝ → 𝑦 ∈ ℂ)
1514ssriv 3567 . 2 ran ⇝ ⊆ ℂ
16 df-f 5790 . 2 ( ⇝ :dom ⇝ ⟶ℂ ↔ ( ⇝ Fn dom ⇝ ∧ ran ⇝ ⊆ ℂ))
179, 15, 16mpbir2an 956 1 ⇝ :dom ⇝ ⟶ℂ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382  wal 1472  wex 1694  wcel 1975  wss 3535   class class class wbr 4573  dom cdm 5024  ran crn 5025  Rel wrel 5029  Fun wfun 5780   Fn wfn 5781  wf 5782  cc 9786  cli 14005
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1711  ax-4 1726  ax-5 1825  ax-6 1873  ax-7 1920  ax-8 1977  ax-9 1984  ax-10 2004  ax-11 2019  ax-12 2031  ax-13 2228  ax-ext 2585  ax-sep 4699  ax-nul 4708  ax-pow 4760  ax-pr 4824  ax-un 6820  ax-cnex 9844  ax-resscn 9845  ax-1cn 9846  ax-icn 9847  ax-addcl 9848  ax-addrcl 9849  ax-mulcl 9850  ax-mulrcl 9851  ax-mulcom 9852  ax-addass 9853  ax-mulass 9854  ax-distr 9855  ax-i2m1 9856  ax-1ne0 9857  ax-1rid 9858  ax-rnegex 9859  ax-rrecex 9860  ax-cnre 9861  ax-pre-lttri 9862  ax-pre-lttrn 9863  ax-pre-ltadd 9864  ax-pre-mulgt0 9865  ax-pre-sup 9866
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1866  df-eu 2457  df-mo 2458  df-clab 2592  df-cleq 2598  df-clel 2601  df-nfc 2735  df-ne 2777  df-nel 2778  df-ral 2896  df-rex 2897  df-reu 2898  df-rmo 2899  df-rab 2900  df-v 3170  df-sbc 3398  df-csb 3495  df-dif 3538  df-un 3540  df-in 3542  df-ss 3549  df-pss 3551  df-nul 3870  df-if 4032  df-pw 4105  df-sn 4121  df-pr 4123  df-tp 4125  df-op 4127  df-uni 4363  df-iun 4447  df-br 4574  df-opab 4634  df-mpt 4635  df-tr 4671  df-eprel 4935  df-id 4939  df-po 4945  df-so 4946  df-fr 4983  df-we 4985  df-xp 5030  df-rel 5031  df-cnv 5032  df-co 5033  df-dm 5034  df-rn 5035  df-res 5036  df-ima 5037  df-pred 5579  df-ord 5625  df-on 5626  df-lim 5627  df-suc 5628  df-iota 5750  df-fun 5788  df-fn 5789  df-f 5790  df-f1 5791  df-fo 5792  df-f1o 5793  df-fv 5794  df-riota 6485  df-ov 6526  df-oprab 6527  df-mpt2 6528  df-om 6931  df-2nd 7033  df-wrecs 7267  df-recs 7328  df-rdg 7366  df-er 7602  df-en 7815  df-dom 7816  df-sdom 7817  df-sup 8204  df-pnf 9928  df-mnf 9929  df-xr 9930  df-ltxr 9931  df-le 9932  df-sub 10115  df-neg 10116  df-div 10530  df-nn 10864  df-2 10922  df-3 10923  df-n0 11136  df-z 11207  df-uz 11516  df-rp 11661  df-seq 12615  df-exp 12674  df-cj 13629  df-re 13630  df-im 13631  df-sqrt 13765  df-abs 13766  df-clim 14009
This theorem is referenced by:  climdm  14075  sum0  14241  sumz  14242  fsumsers  14248  isumclim  14272  isumcl  14276  ntrivcvgfvn0  14412  ntrivcvgtail  14413  zprodn0  14450  iprodclim  14510  iprodcl  14513
  Copyright terms: Public domain W3C validator