Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frlmlss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frlmlss 20014
 Description: The base set of the free module is a subspace of the power module. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
frlmval.f 𝐹 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
frlmpws.b 𝐵 = (Base‘𝐹)
frlmlss.u 𝑈 = (LSubSp‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼))
Assertion
Ref Expression
frlmlss ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊) → 𝐵𝑈)

Proof of Theorem frlmlss
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frlmpws.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐹)
2 frlmval.f . . . . 5 𝐹 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
32frlmval 20011 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊) → 𝐹 = (𝑅m (𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)})))
43fveq2d 6152 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊) → (Base‘𝐹) = (Base‘(𝑅m (𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}))))
51, 4syl5eq 2667 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊) → 𝐵 = (Base‘(𝑅m (𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}))))
6 simpr 477 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊) → 𝐼𝑊)
7 simpl 473 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊) → 𝑅 ∈ Ring)
8 rlmlmod 19124 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → (ringLMod‘𝑅) ∈ LMod)
98adantr 481 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊) → (ringLMod‘𝑅) ∈ LMod)
10 fconst6g 6051 . . . . 5 ((ringLMod‘𝑅) ∈ LMod → (𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}):𝐼⟶LMod)
119, 10syl 17 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊) → (𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}):𝐼⟶LMod)
12 fvex 6158 . . . . . . . 8 (ringLMod‘𝑅) ∈ V
1312fvconst2 6423 . . . . . . 7 (𝑖𝐼 → ((𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)})‘𝑖) = (ringLMod‘𝑅))
1413adantl 482 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊) ∧ 𝑖𝐼) → ((𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)})‘𝑖) = (ringLMod‘𝑅))
1514fveq2d 6152 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊) ∧ 𝑖𝐼) → (Scalar‘((𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)})‘𝑖)) = (Scalar‘(ringLMod‘𝑅)))
16 rlmsca 19119 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 = (Scalar‘(ringLMod‘𝑅)))
1716ad2antrr 761 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊) ∧ 𝑖𝐼) → 𝑅 = (Scalar‘(ringLMod‘𝑅)))
1815, 17eqtr4d 2658 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊) ∧ 𝑖𝐼) → (Scalar‘((𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)})‘𝑖)) = 𝑅)
19 eqid 2621 . . . 4 (𝑅Xs(𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)})) = (𝑅Xs(𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}))
20 eqid 2621 . . . 4 (LSubSp‘(𝑅Xs(𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}))) = (LSubSp‘(𝑅Xs(𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)})))
21 eqid 2621 . . . 4 (Base‘(𝑅m (𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}))) = (Base‘(𝑅m (𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)})))
226, 7, 11, 18, 19, 20, 21dsmmlss 20007 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊) → (Base‘(𝑅m (𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}))) ∈ (LSubSp‘(𝑅Xs(𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}))))
23 eqid 2621 . . . . . . . . 9 ((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) = ((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)
24 eqid 2621 . . . . . . . . 9 (Scalar‘(ringLMod‘𝑅)) = (Scalar‘(ringLMod‘𝑅))
2523, 24pwsval 16067 . . . . . . . 8 (((ringLMod‘𝑅) ∈ V ∧ 𝐼𝑊) → ((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) = ((Scalar‘(ringLMod‘𝑅))Xs(𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)})))
2612, 25mpan 705 . . . . . . 7 (𝐼𝑊 → ((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) = ((Scalar‘(ringLMod‘𝑅))Xs(𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)})))
2726adantl 482 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊) → ((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) = ((Scalar‘(ringLMod‘𝑅))Xs(𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)})))
2816eqcomd 2627 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Ring → (Scalar‘(ringLMod‘𝑅)) = 𝑅)
2928adantr 481 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊) → (Scalar‘(ringLMod‘𝑅)) = 𝑅)
3029oveq1d 6619 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊) → ((Scalar‘(ringLMod‘𝑅))Xs(𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)})) = (𝑅Xs(𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)})))
3127, 30eqtr2d 2656 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊) → (𝑅Xs(𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)})) = ((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼))
3231fveq2d 6152 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊) → (LSubSp‘(𝑅Xs(𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}))) = (LSubSp‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)))
33 frlmlss.u . . . 4 𝑈 = (LSubSp‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼))
3432, 33syl6eqr 2673 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊) → (LSubSp‘(𝑅Xs(𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}))) = 𝑈)
3522, 34eleqtrd 2700 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊) → (Base‘(𝑅m (𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}))) ∈ 𝑈)
365, 35eqeltrd 2698 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊) → 𝐵𝑈)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1480   ∈ wcel 1987  Vcvv 3186  {csn 4148   × cxp 5072  ⟶wf 5843  ‘cfv 5847  (class class class)co 6604  Basecbs 15781  Scalarcsca 15865  Xscprds 16027   ↑s cpws 16028  Ringcrg 18468  LModclmod 18784  LSubSpclss 18851  ringLModcrglmod 19088   ⊕m cdsmm 19994   freeLMod cfrlm 20009 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-oadd 7509  df-er 7687  df-map 7804  df-ixp 7853  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-sup 8292  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-4 11025  df-5 11026  df-6 11027  df-7 11028  df-8 11029  df-9 11030  df-n0 11237  df-z 11322  df-dec 11438  df-uz 11632  df-fz 12269  df-struct 15783  df-ndx 15784  df-slot 15785  df-base 15786  df-sets 15787  df-ress 15788  df-plusg 15875  df-mulr 15876  df-sca 15878  df-vsca 15879  df-ip 15880  df-tset 15881  df-ple 15882  df-ds 15885  df-hom 15887  df-cco 15888  df-0g 16023  df-prds 16029  df-pws 16031  df-mgm 17163  df-sgrp 17205  df-mnd 17216  df-grp 17346  df-minusg 17347  df-sbg 17348  df-subg 17512  df-mgp 18411  df-ur 18423  df-ring 18470  df-subrg 18699  df-lmod 18786  df-lss 18852  df-sra 19091  df-rgmod 19092  df-dsmm 19995  df-frlm 20010 This theorem is referenced by:  frlm0  20017  frlmsubgval  20027  frlmgsum  20030  frlmsplit2  20031
 Copyright terms: Public domain W3C validator