Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  frrusgrord0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frrusgrord0 41502
Description: If a nonempty finite friendship graph is k-regular, its order is k(k-1)+1. This corresponds to claim 3 in [Huneke] p. 2: "Next we claim that the number n of vertices in G is exactly k(k-1)+1.". (Contributed by Alexander van der Vekens, 11-Mar-2018.) (Revised by AV, 26-May-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
frrusgrord0.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
frrusgrord0 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (∀𝑣𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾 → (#‘𝑉) = ((𝐾 · (𝐾 − 1)) + 1)))
Distinct variable groups:   𝑣,𝐺   𝑣,𝐾   𝑣,𝑉

Proof of Theorem frrusgrord0
StepHypRef Expression
1 frgrusgr 41431 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ FriendGraph → 𝐺 ∈ USGraph )
21anim1i 589 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) → (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin))
3 frrusgrord0.v . . . . . . 7 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
43isfusgr 40536 . . . . . 6 (𝐺 ∈ FinUSGraph ↔ (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin))
52, 4sylibr 222 . . . . 5 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) → 𝐺 ∈ FinUSGraph )
63fusgreghash2wsp 41501 . . . . 5 ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (∀𝑣𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾 → (#‘(2 WSPathsN 𝐺)) = ((#‘𝑉) · (𝐾 · (𝐾 − 1)))))
75, 6stoic3 1691 . . . 4 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (∀𝑣𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾 → (#‘(2 WSPathsN 𝐺)) = ((#‘𝑉) · (𝐾 · (𝐾 − 1)))))
87imp 443 . . 3 (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ ∀𝑣𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾) → (#‘(2 WSPathsN 𝐺)) = ((#‘𝑉) · (𝐾 · (𝐾 − 1))))
93frgrhash2wsp 41496 . . . . 5 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (#‘(2 WSPathsN 𝐺)) = ((#‘𝑉) · ((#‘𝑉) − 1)))
109adantr 479 . . . 4 (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ ∀𝑣𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾) → (#‘(2 WSPathsN 𝐺)) = ((#‘𝑉) · ((#‘𝑉) − 1)))
11 eqeq1 2610 . . . . . 6 ((#‘(2 WSPathsN 𝐺)) = ((#‘𝑉) · ((#‘𝑉) − 1)) → ((#‘(2 WSPathsN 𝐺)) = ((#‘𝑉) · (𝐾 · (𝐾 − 1))) ↔ ((#‘𝑉) · ((#‘𝑉) − 1)) = ((#‘𝑉) · (𝐾 · (𝐾 − 1)))))
12 hashcl 12958 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑉 ∈ Fin → (#‘𝑉) ∈ ℕ0)
1312nn0cnd 11197 . . . . . . . . . . . 12 (𝑉 ∈ Fin → (#‘𝑉) ∈ ℂ)
14 1cnd 9909 . . . . . . . . . . . 12 (𝑉 ∈ Fin → 1 ∈ ℂ)
1513, 14subcld 10240 . . . . . . . . . . 11 (𝑉 ∈ Fin → ((#‘𝑉) − 1) ∈ ℂ)
16153ad2ant2 1075 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → ((#‘𝑉) − 1) ∈ ℂ)
1716adantr 479 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ ∀𝑣𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾) → ((#‘𝑉) − 1) ∈ ℂ)
184biimpri 216 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) → 𝐺 ∈ FinUSGraph )
19 eqid 2606 . . . . . . . . . . . . . 14 (VtxDeg‘𝐺) = (VtxDeg‘𝐺)
203, 19fusgrregdegfi 40768 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (∀𝑣𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾𝐾 ∈ ℕ0))
2118, 20stoic3 1691 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (∀𝑣𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾𝐾 ∈ ℕ0))
221, 21syl3an1 1350 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (∀𝑣𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾𝐾 ∈ ℕ0))
2322imp 443 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ ∀𝑣𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾) → 𝐾 ∈ ℕ0)
24 nn0cn 11146 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℂ)
25 kcnktkm1cn 10309 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ ℂ → (𝐾 · (𝐾 − 1)) ∈ ℂ)
2623, 24, 253syl 18 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ ∀𝑣𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾) → (𝐾 · (𝐾 − 1)) ∈ ℂ)
27133ad2ant2 1075 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (#‘𝑉) ∈ ℂ)
2827adantr 479 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ ∀𝑣𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾) → (#‘𝑉) ∈ ℂ)
29 hasheq0 12964 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑉 ∈ Fin → ((#‘𝑉) = 0 ↔ 𝑉 = ∅))
3029biimpd 217 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑉 ∈ Fin → ((#‘𝑉) = 0 → 𝑉 = ∅))
3130necon3d 2799 . . . . . . . . . . . 12 (𝑉 ∈ Fin → (𝑉 ≠ ∅ → (#‘𝑉) ≠ 0))
3231imp 443 . . . . . . . . . . 11 ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (#‘𝑉) ≠ 0)
33323adant1 1071 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (#‘𝑉) ≠ 0)
3433adantr 479 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ ∀𝑣𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾) → (#‘𝑉) ≠ 0)
3517, 26, 28, 34mulcand 10506 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ ∀𝑣𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾) → (((#‘𝑉) · ((#‘𝑉) − 1)) = ((#‘𝑉) · (𝐾 · (𝐾 − 1))) ↔ ((#‘𝑉) − 1) = (𝐾 · (𝐾 − 1))))
36 1cnd 9909 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ ∀𝑣𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾) → 1 ∈ ℂ)
37 subadd2 10133 . . . . . . . . . . 11 (((#‘𝑉) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (𝐾 · (𝐾 − 1)) ∈ ℂ) → (((#‘𝑉) − 1) = (𝐾 · (𝐾 − 1)) ↔ ((𝐾 · (𝐾 − 1)) + 1) = (#‘𝑉)))
38 eqcom 2613 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 · (𝐾 − 1)) + 1) = (#‘𝑉) ↔ (#‘𝑉) = ((𝐾 · (𝐾 − 1)) + 1))
3937, 38syl6bb 274 . . . . . . . . . 10 (((#‘𝑉) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (𝐾 · (𝐾 − 1)) ∈ ℂ) → (((#‘𝑉) − 1) = (𝐾 · (𝐾 − 1)) ↔ (#‘𝑉) = ((𝐾 · (𝐾 − 1)) + 1)))
4039biimpd 217 . . . . . . . . 9 (((#‘𝑉) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (𝐾 · (𝐾 − 1)) ∈ ℂ) → (((#‘𝑉) − 1) = (𝐾 · (𝐾 − 1)) → (#‘𝑉) = ((𝐾 · (𝐾 − 1)) + 1)))
4128, 36, 26, 40syl3anc 1317 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ ∀𝑣𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾) → (((#‘𝑉) − 1) = (𝐾 · (𝐾 − 1)) → (#‘𝑉) = ((𝐾 · (𝐾 − 1)) + 1)))
4235, 41sylbid 228 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ ∀𝑣𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾) → (((#‘𝑉) · ((#‘𝑉) − 1)) = ((#‘𝑉) · (𝐾 · (𝐾 − 1))) → (#‘𝑉) = ((𝐾 · (𝐾 − 1)) + 1)))
4342com12 32 . . . . . 6 (((#‘𝑉) · ((#‘𝑉) − 1)) = ((#‘𝑉) · (𝐾 · (𝐾 − 1))) → (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ ∀𝑣𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾) → (#‘𝑉) = ((𝐾 · (𝐾 − 1)) + 1)))
4411, 43syl6bi 241 . . . . 5 ((#‘(2 WSPathsN 𝐺)) = ((#‘𝑉) · ((#‘𝑉) − 1)) → ((#‘(2 WSPathsN 𝐺)) = ((#‘𝑉) · (𝐾 · (𝐾 − 1))) → (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ ∀𝑣𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾) → (#‘𝑉) = ((𝐾 · (𝐾 − 1)) + 1))))
4544com23 83 . . . 4 ((#‘(2 WSPathsN 𝐺)) = ((#‘𝑉) · ((#‘𝑉) − 1)) → (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ ∀𝑣𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾) → ((#‘(2 WSPathsN 𝐺)) = ((#‘𝑉) · (𝐾 · (𝐾 − 1))) → (#‘𝑉) = ((𝐾 · (𝐾 − 1)) + 1))))
4610, 45mpcom 37 . . 3 (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ ∀𝑣𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾) → ((#‘(2 WSPathsN 𝐺)) = ((#‘𝑉) · (𝐾 · (𝐾 − 1))) → (#‘𝑉) = ((𝐾 · (𝐾 − 1)) + 1)))
478, 46mpd 15 . 2 (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ ∀𝑣𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾) → (#‘𝑉) = ((𝐾 · (𝐾 − 1)) + 1))
4847ex 448 1 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (∀𝑣𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾 → (#‘𝑉) = ((𝐾 · (𝐾 − 1)) + 1)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382  w3a 1030   = wceq 1474  wcel 1976  wne 2776  wral 2892  c0 3870  cfv 5787  (class class class)co 6524  Fincfn 7815  cc 9787  0cc0 9789  1c1 9790   + caddc 9792   · cmul 9794  cmin 10114  2c2 10914  0cn0 11136  #chash 12931  Vtxcvtx 40228   USGraph cusgr 40378   FinUSGraph cfusgr 40534  VtxDegcvtxdg 40680   WSPathsN cwwspthsn 41030   FriendGraph cfrgr 41427
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2032  ax-13 2229  ax-ext 2586  ax-rep 4690  ax-sep 4700  ax-nul 4709  ax-pow 4761  ax-pr 4825  ax-un 6821  ax-inf2 8395  ax-ac2 9142  ax-cnex 9845  ax-resscn 9846  ax-1cn 9847  ax-icn 9848  ax-addcl 9849  ax-addrcl 9850  ax-mulcl 9851  ax-mulrcl 9852  ax-mulcom 9853  ax-addass 9854  ax-mulass 9855  ax-distr 9856  ax-i2m1 9857  ax-1ne0 9858  ax-1rid 9859  ax-rnegex 9860  ax-rrecex 9861  ax-cnre 9862  ax-pre-lttri 9863  ax-pre-lttrn 9864  ax-pre-ltadd 9865  ax-pre-mulgt0 9866  ax-pre-sup 9867
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-ifp 1006  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-fal 1480  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2458  df-mo 2459  df-clab 2593  df-cleq 2599  df-clel 2602  df-nfc 2736  df-ne 2778  df-nel 2779  df-ral 2897  df-rex 2898  df-reu 2899  df-rmo 2900  df-rab 2901  df-v 3171  df-sbc 3399  df-csb 3496  df-dif 3539  df-un 3541  df-in 3543  df-ss 3550  df-pss 3552  df-nul 3871  df-if 4033  df-pw 4106  df-sn 4122  df-pr 4124  df-tp 4126  df-op 4128  df-uni 4364  df-int 4402  df-iun 4448  df-disj 4545  df-br 4575  df-opab 4635  df-mpt 4636  df-tr 4672  df-eprel 4936  df-id 4940  df-po 4946  df-so 4947  df-fr 4984  df-se 4985  df-we 4986  df-xp 5031  df-rel 5032  df-cnv 5033  df-co 5034  df-dm 5035  df-rn 5036  df-res 5037  df-ima 5038  df-pred 5580  df-ord 5626  df-on 5627  df-lim 5628  df-suc 5629  df-iota 5751  df-fun 5789  df-fn 5790  df-f 5791  df-f1 5792  df-fo 5793  df-f1o 5794  df-fv 5795  df-isom 5796  df-riota 6486  df-ov 6527  df-oprab 6528  df-mpt2 6529  df-om 6932  df-1st 7033  df-2nd 7034  df-wrecs 7268  df-recs 7329  df-rdg 7367  df-1o 7421  df-2o 7422  df-oadd 7425  df-er 7603  df-map 7720  df-pm 7721  df-en 7816  df-dom 7817  df-sdom 7818  df-fin 7819  df-sup 8205  df-oi 8272  df-card 8622  df-ac 8796  df-cda 8847  df-pnf 9929  df-mnf 9930  df-xr 9931  df-ltxr 9932  df-le 9933  df-sub 10116  df-neg 10117  df-div 10531  df-nn 10865  df-2 10923  df-3 10924  df-n0 11137  df-z 11208  df-uz 11517  df-rp 11662  df-xadd 11776  df-fz 12150  df-fzo 12287  df-seq 12616  df-exp 12675  df-hash 12932  df-word 13097  df-concat 13099  df-s1 13100  df-s2 13387  df-s3 13388  df-cj 13630  df-re 13631  df-im 13632  df-sqrt 13766  df-abs 13767  df-clim 14010  df-sum 14208  df-xnn0 40197  df-vtx 40230  df-iedg 40231  df-uhgr 40279  df-ushgr 40280  df-upgr 40307  df-umgr 40308  df-edga 40351  df-uspgr 40379  df-usgr 40380  df-fusgr 40535  df-nbgr 40553  df-vtxdg 40681  df-1wlks 40799  df-wlks 40800  df-wlkson 40801  df-trls 40900  df-trlson 40901  df-pths 40922  df-spths 40923  df-pthson 40924  df-spthson 40925  df-wwlks 41032  df-wwlksn 41033  df-wwlksnon 41034  df-wspthsn 41035  df-wspthsnon 41036  df-frgr 41428
This theorem is referenced by:  frrusgrord  41503
  Copyright terms: Public domain W3C validator