MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fsumcl2lem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fsumcl2lem 14395
Description: - Lemma for finite sum closures. (The "-" before "Lemma" forces the math content to be displayed in the Statement List - NM 11-Feb-2008.) (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumcllem.1 (𝜑𝑆 ⊆ ℂ)
fsumcllem.2 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
fsumcllem.3 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
fsumcllem.4 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵𝑆)
fsumcl2lem.5 (𝜑𝐴 ≠ ∅)
Assertion
Ref Expression
fsumcl2lem (𝜑 → Σ𝑘𝐴 𝐵𝑆)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑘,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦   𝜑,𝑘,𝑥,𝑦   𝑆,𝑘,𝑥,𝑦
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem fsumcl2lem
Dummy variables 𝑓 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fsumcl2lem.5 . . . 4 (𝜑𝐴 ≠ ∅)
21a1d 25 . . 3 (𝜑 → (¬ Σ𝑘𝐴 𝐵𝑆𝐴 ≠ ∅))
32necon4bd 2810 . 2 (𝜑 → (𝐴 = ∅ → Σ𝑘𝐴 𝐵𝑆))
4 sumfc 14373 . . . . . . 7 Σ𝑚𝐴 ((𝑘𝐴𝐵)‘𝑚) = Σ𝑘𝐴 𝐵
5 fveq2 6148 . . . . . . . 8 (𝑚 = (𝑓𝑥) → ((𝑘𝐴𝐵)‘𝑚) = ((𝑘𝐴𝐵)‘(𝑓𝑥)))
6 simprl 793 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((#‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(#‘𝐴))–1-1-onto𝐴)) → (#‘𝐴) ∈ ℕ)
7 simprr 795 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((#‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(#‘𝐴))–1-1-onto𝐴)) → 𝑓:(1...(#‘𝐴))–1-1-onto𝐴)
8 fsumcllem.1 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑆 ⊆ ℂ)
98ad2antrr 761 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ((#‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(#‘𝐴))–1-1-onto𝐴)) ∧ 𝑚𝐴) → 𝑆 ⊆ ℂ)
10 fsumcllem.4 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵𝑆)
11 eqid 2621 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘𝐴𝐵) = (𝑘𝐴𝐵)
1210, 11fmptd 6340 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑘𝐴𝐵):𝐴𝑆)
1312adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ((#‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(#‘𝐴))–1-1-onto𝐴)) → (𝑘𝐴𝐵):𝐴𝑆)
1413ffvelrnda 6315 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ((#‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(#‘𝐴))–1-1-onto𝐴)) ∧ 𝑚𝐴) → ((𝑘𝐴𝐵)‘𝑚) ∈ 𝑆)
159, 14sseldd 3584 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ((#‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(#‘𝐴))–1-1-onto𝐴)) ∧ 𝑚𝐴) → ((𝑘𝐴𝐵)‘𝑚) ∈ ℂ)
16 f1of 6094 . . . . . . . . . 10 (𝑓:(1...(#‘𝐴))–1-1-onto𝐴𝑓:(1...(#‘𝐴))⟶𝐴)
177, 16syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ((#‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(#‘𝐴))–1-1-onto𝐴)) → 𝑓:(1...(#‘𝐴))⟶𝐴)
18 fvco3 6232 . . . . . . . . 9 ((𝑓:(1...(#‘𝐴))⟶𝐴𝑥 ∈ (1...(#‘𝐴))) → (((𝑘𝐴𝐵) ∘ 𝑓)‘𝑥) = ((𝑘𝐴𝐵)‘(𝑓𝑥)))
1917, 18sylan 488 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ((#‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(#‘𝐴))–1-1-onto𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ (1...(#‘𝐴))) → (((𝑘𝐴𝐵) ∘ 𝑓)‘𝑥) = ((𝑘𝐴𝐵)‘(𝑓𝑥)))
205, 6, 7, 15, 19fsum 14384 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((#‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(#‘𝐴))–1-1-onto𝐴)) → Σ𝑚𝐴 ((𝑘𝐴𝐵)‘𝑚) = (seq1( + , ((𝑘𝐴𝐵) ∘ 𝑓))‘(#‘𝐴)))
214, 20syl5eqr 2669 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((#‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(#‘𝐴))–1-1-onto𝐴)) → Σ𝑘𝐴 𝐵 = (seq1( + , ((𝑘𝐴𝐵) ∘ 𝑓))‘(#‘𝐴)))
22 nnuz 11667 . . . . . . . 8 ℕ = (ℤ‘1)
236, 22syl6eleq 2708 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((#‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(#‘𝐴))–1-1-onto𝐴)) → (#‘𝐴) ∈ (ℤ‘1))
24 fco 6015 . . . . . . . . 9 (((𝑘𝐴𝐵):𝐴𝑆𝑓:(1...(#‘𝐴))⟶𝐴) → ((𝑘𝐴𝐵) ∘ 𝑓):(1...(#‘𝐴))⟶𝑆)
2513, 17, 24syl2anc 692 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((#‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(#‘𝐴))–1-1-onto𝐴)) → ((𝑘𝐴𝐵) ∘ 𝑓):(1...(#‘𝐴))⟶𝑆)
2625ffvelrnda 6315 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ((#‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(#‘𝐴))–1-1-onto𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ (1...(#‘𝐴))) → (((𝑘𝐴𝐵) ∘ 𝑓)‘𝑥) ∈ 𝑆)
27 fsumcllem.2 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
2827adantlr 750 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ((#‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(#‘𝐴))–1-1-onto𝐴)) ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
2923, 26, 28seqcl 12761 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((#‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(#‘𝐴))–1-1-onto𝐴)) → (seq1( + , ((𝑘𝐴𝐵) ∘ 𝑓))‘(#‘𝐴)) ∈ 𝑆)
3021, 29eqeltrd 2698 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((#‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(#‘𝐴))–1-1-onto𝐴)) → Σ𝑘𝐴 𝐵𝑆)
3130expr 642 . . . 4 ((𝜑 ∧ (#‘𝐴) ∈ ℕ) → (𝑓:(1...(#‘𝐴))–1-1-onto𝐴 → Σ𝑘𝐴 𝐵𝑆))
3231exlimdv 1858 . . 3 ((𝜑 ∧ (#‘𝐴) ∈ ℕ) → (∃𝑓 𝑓:(1...(#‘𝐴))–1-1-onto𝐴 → Σ𝑘𝐴 𝐵𝑆))
3332expimpd 628 . 2 (𝜑 → (((#‘𝐴) ∈ ℕ ∧ ∃𝑓 𝑓:(1...(#‘𝐴))–1-1-onto𝐴) → Σ𝑘𝐴 𝐵𝑆))
34 fsumcllem.3 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
35 fz1f1o 14374 . . 3 (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 = ∅ ∨ ((#‘𝐴) ∈ ℕ ∧ ∃𝑓 𝑓:(1...(#‘𝐴))–1-1-onto𝐴)))
3634, 35syl 17 . 2 (𝜑 → (𝐴 = ∅ ∨ ((#‘𝐴) ∈ ℕ ∧ ∃𝑓 𝑓:(1...(#‘𝐴))–1-1-onto𝐴)))
373, 33, 36mpjaod 396 1 (𝜑 → Σ𝑘𝐴 𝐵𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wo 383  wa 384   = wceq 1480  wex 1701  wcel 1987  wne 2790  wss 3555  c0 3891  cmpt 4673  ccom 5078  wf 5843  1-1-ontowf1o 5846  cfv 5847  (class class class)co 6604  Fincfn 7899  cc 9878  1c1 9881   + caddc 9883  cn 10964  cuz 11631  ...cfz 12268  seqcseq 12741  #chash 13057  Σcsu 14350
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-inf2 8482  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-se 5034  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-isom 5856  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-oadd 7509  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-sup 8292  df-oi 8359  df-card 8709  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-rp 11777  df-fz 12269  df-fzo 12407  df-seq 12742  df-exp 12801  df-hash 13058  df-cj 13773  df-re 13774  df-im 13775  df-sqrt 13909  df-abs 13910  df-clim 14153  df-sum 14351
This theorem is referenced by:  fsumcllem  14396  fsumrpcl  14401
  Copyright terms: Public domain W3C validator