Theorem seqcl 12761

Description: Closure properties of the recursive sequence builder. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jul-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
seqcl.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
seqcl.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹‘𝑥) ∈ 𝑆)
seqcl.3	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
seqcl	⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) ∈ 𝑆)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦, +   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝑀,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥,𝑁

Allowed substitution hint:   𝑁(𝑦)

Proof of Theorem seqcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		seqcl.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
2		eluzfz1 12290	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ (𝑀...𝑁))
3	1, 2	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (𝑀...𝑁))
4		seqcl.2	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹‘𝑥) ∈ 𝑆)
5	4	ralrimiva 2960	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹‘𝑥) ∈ 𝑆)
6		fveq2 6148	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑀 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑀))
7	6	eleq1d 2683	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑀 → ((𝐹‘𝑥) ∈ 𝑆 ↔ (𝐹‘𝑀) ∈ 𝑆))
8	7	rspcv 3291	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ (𝑀...𝑁) → (∀𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹‘𝑥) ∈ 𝑆 → (𝐹‘𝑀) ∈ 𝑆))
9	3, 5, 8	sylc 65	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑀) ∈ 𝑆)
10		seqcl.3	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
11		eluzel2 11636	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
12	1, 11	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
13		fzp1ss 12334	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑀 + 1)...𝑁) ⊆ (𝑀...𝑁))
14	12, 13	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 + 1)...𝑁) ⊆ (𝑀...𝑁))
15	14	sselda 3583	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁))
16	15, 4	syldan 487	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → (𝐹‘𝑥) ∈ 𝑆)
17	9, 10, 1, 16	seqcl2 12759	1 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1480   ∈ wcel 1987  ∀wral 2907   ⊆ wss 3555  ‘cfv 5847  (class class class)co 6604  1c1 9881   + caddc 9883  ℤcz 11321  ℤ_≥cuz 11631  ...cfz 12268  seqcseq 12741

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-nn 10965  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-fz 12269  df-seq 12742

This theorem is referenced by:  sermono  12773  seqsplit  12774  seqcaopr2  12777  seqf1olem2a  12779  seqf1olem2  12781  seqid3  12785  seqhomo  12788  seqz  12789  seqdistr  12792  serge0  12795  serle  12796  seqof  12798  seqcoll  13186  seqcoll2  13187  fsumcl2lem  14395  prodfn0  14551  prodfrec  14552  prodfdiv  14553  fprodcl2lem  14605  eulerthlem2  15411  gsumwsubmcl  17296  mulgnnsubcl  17474  gsumzcl2  18232  gsumzaddlem  18242  gsummptfzcl  18289  lgscllem  24929  lgsval4a  24944  lgsneg  24946  lgsdir  24957  lgsdilem2  24958  lgsdi  24959  lgsne0  24960  gsumncl  30392  faclim  31337  knoppcnlem8  32129  mblfinlem2  33076  fmul01  39213  fmulcl  39214  fmuldfeq  39216  fmul01lt1lem1  39217  fmul01lt1lem2  39218  stoweidlem3  39524  stoweidlem42  39563  stoweidlem48  39569  wallispilem4  39589  wallispi  39591  wallispi2lem1  39592  wallispi2  39594  stirlinglem5  39599  stirlinglem7  39601  stirlinglem10  39604  sge0isum  39948