MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ltm1d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ltm1d 10801
Description: A number minus 1 is less than itself. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
ltp1d.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
ltm1d (𝜑 → (𝐴 − 1) < 𝐴)

Proof of Theorem ltm1d
StepHypRef Expression
1 ltp1d.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2 ltm1 10708 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 − 1) < 𝐴)
31, 2syl 17 1 (𝜑 → (𝐴 − 1) < 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 1975   class class class wbr 4573  (class class class)co 6523  cr 9787  1c1 9789   < clt 9926  cmin 10113
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1711  ax-4 1726  ax-5 1825  ax-6 1873  ax-7 1920  ax-8 1977  ax-9 1984  ax-10 2004  ax-11 2019  ax-12 2031  ax-13 2228  ax-ext 2585  ax-sep 4699  ax-nul 4708  ax-pow 4760  ax-pr 4824  ax-un 6820  ax-resscn 9845  ax-1cn 9846  ax-icn 9847  ax-addcl 9848  ax-addrcl 9849  ax-mulcl 9850  ax-mulrcl 9851  ax-mulcom 9852  ax-addass 9853  ax-mulass 9854  ax-distr 9855  ax-i2m1 9856  ax-1ne0 9857  ax-1rid 9858  ax-rnegex 9859  ax-rrecex 9860  ax-cnre 9861  ax-pre-lttri 9862  ax-pre-lttrn 9863  ax-pre-ltadd 9864  ax-pre-mulgt0 9865
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1866  df-eu 2457  df-mo 2458  df-clab 2592  df-cleq 2598  df-clel 2601  df-nfc 2735  df-ne 2777  df-nel 2778  df-ral 2896  df-rex 2897  df-reu 2898  df-rab 2900  df-v 3170  df-sbc 3398  df-csb 3495  df-dif 3538  df-un 3540  df-in 3542  df-ss 3549  df-nul 3870  df-if 4032  df-pw 4105  df-sn 4121  df-pr 4123  df-op 4127  df-uni 4363  df-br 4574  df-opab 4634  df-mpt 4635  df-id 4939  df-po 4945  df-so 4946  df-xp 5030  df-rel 5031  df-cnv 5032  df-co 5033  df-dm 5034  df-rn 5035  df-res 5036  df-ima 5037  df-iota 5750  df-fun 5788  df-fn 5789  df-f 5790  df-f1 5791  df-fo 5792  df-f1o 5793  df-fv 5794  df-riota 6485  df-ov 6526  df-oprab 6527  df-mpt2 6528  df-er 7602  df-en 7815  df-dom 7816  df-sdom 7817  df-pnf 9928  df-mnf 9929  df-xr 9930  df-ltxr 9931  df-le 9932  df-sub 10115  df-neg 10116
This theorem is referenced by:  suprzcl  11285  fzsuc2  12219  fzm1  12240  m1modnnsub1  12529  cshwidxm1  13346  fsumm1  14266  isumsplit  14353  climcndslem1  14362  bitsfzolem  14936  fldivp1  15381  4sqlem12  15440  ram0  15506  sylow1lem1  17778  dgreq0  23738  atanlogsublem  24355  birthdaylem3  24393  wilthlem1  24507  ftalem5  24516  basellem5  24524  lgsval2lem  24745  lgsqrlem2  24785  gausslemma2dlem0c  24796  lgsquadlem1  24818  lgsquadlem2  24819  pntrsumbnd2  24969  axlowdimlem16  25551  clwwlkel  26083  eupap1  26265  numclwwlkovf2ex  26375  xlt2addrd  28715  cvmliftlem6  30328  cvmliftlem8  30330  cvmliftlem9  30331  cvmliftlem10  30332  bcprod  30679  iooelexlt  32185  poimirlem1  32379  poimirlem2  32380  poimirlem6  32384  poimirlem7  32385  poimirlem8  32386  poimirlem12  32390  poimirlem15  32393  poimirlem16  32394  poimirlem17  32395  poimirlem19  32397  poimirlem20  32398  poimirlem21  32399  poimirlem22  32400  poimirlem23  32401  poimirlem26  32404  mettrifi  32522  irrapxlem1  36203  rmspecsqrtnq  36287  rmspecsqrtnqOLD  36288  acongeq  36367  monoords  38251  fzisoeu  38254  fzdifsuc2  38266  infleinflem2  38328  iblspltprt  38665  itgspltprt  38671  stoweidlem11  38704  stoweidlem14  38707  fourierdlem11  38811  fourierdlem12  38812  fourierdlem15  38815  fourierdlem41  38841  fourierdlem48  38847  fourierdlem49  38848  fourierdlem50  38849  fourierdlem79  38878  ioorrnopnxrlem  39002  iundjiun  39153  bgoldbtbndlem4  40025  lswn0  40043  pthdlem1  40970  clwwlksel  41219  av-numclwwlkovf2ex  41515  m1modmmod  42108  logbpw2m1  42157
  Copyright terms: Public domain W3C validator