MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ltm1d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ltm1d 10916
Description: A number minus 1 is less than itself. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
ltp1d.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
ltm1d (𝜑 → (𝐴 − 1) < 𝐴)

Proof of Theorem ltm1d
StepHypRef Expression
1 ltp1d.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2 ltm1 10823 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 − 1) < 𝐴)
31, 2syl 17 1 (𝜑 → (𝐴 − 1) < 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 1987   class class class wbr 4623  (class class class)co 6615  cr 9895  1c1 9897   < clt 10034  cmin 10226
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-resscn 9953  ax-1cn 9954  ax-icn 9955  ax-addcl 9956  ax-addrcl 9957  ax-mulcl 9958  ax-mulrcl 9959  ax-mulcom 9960  ax-addass 9961  ax-mulass 9962  ax-distr 9963  ax-i2m1 9964  ax-1ne0 9965  ax-1rid 9966  ax-rnegex 9967  ax-rrecex 9968  ax-cnre 9969  ax-pre-lttri 9970  ax-pre-lttrn 9971  ax-pre-ltadd 9972  ax-pre-mulgt0 9973
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-op 4162  df-uni 4410  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-riota 6576  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-er 7702  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-pnf 10036  df-mnf 10037  df-xr 10038  df-ltxr 10039  df-le 10040  df-sub 10228  df-neg 10229
This theorem is referenced by:  suprzcl  11417  fzsuc2  12356  fzm1  12377  m1modnnsub1  12672  cshwidxm1  13506  fsumm1  14429  isumsplit  14516  climcndslem1  14525  bitsfzolem  15099  fldivp1  15544  4sqlem12  15603  ram0  15669  sylow1lem1  17953  dgreq0  23959  atanlogsublem  24576  birthdaylem3  24614  wilthlem1  24728  ftalem5  24737  basellem5  24745  lgsval2lem  24966  lgsqrlem2  25006  gausslemma2dlem0c  25017  lgsquadlem1  25039  lgsquadlem2  25040  pntrsumbnd2  25190  axlowdimlem16  25771  pthdlem1  26565  clwwlksel  26814  numclwwlkovf2ex  27109  xlt2addrd  29408  cvmliftlem6  31033  cvmliftlem8  31035  cvmliftlem9  31036  cvmliftlem10  31037  bcprod  31385  iooelexlt  32881  poimirlem1  33081  poimirlem2  33082  poimirlem6  33086  poimirlem7  33087  poimirlem8  33088  poimirlem12  33092  poimirlem15  33095  poimirlem16  33096  poimirlem17  33097  poimirlem19  33099  poimirlem20  33100  poimirlem21  33101  poimirlem22  33102  poimirlem23  33103  poimirlem26  33106  mettrifi  33224  irrapxlem1  36905  rmspecsqrtnq  36989  rmspecsqrtnqOLD  36990  acongeq  37069  monoords  39010  fzisoeu  39013  fzdifsuc2  39024  infleinflem2  39086  unb2ltle  39141  limsupre3lem  39400  iblspltprt  39526  itgspltprt  39532  stoweidlem11  39565  stoweidlem14  39568  fourierdlem11  39672  fourierdlem12  39673  fourierdlem15  39676  fourierdlem41  39702  fourierdlem48  39708  fourierdlem49  39709  fourierdlem50  39710  fourierdlem79  39739  ioorrnopnxrlem  39863  iundjiun  40014  lswn0  40708  bgoldbtbndlem4  41015  m1modmmod  41634  logbpw2m1  41683
  Copyright terms: Public domain W3C validator