Theorem ltm1d 11572

Description: A number minus 1 is less than itself. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
ltp1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
ltm1d	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 1) < 𝐴)

Proof of Theorem ltm1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltp1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ltm1 11482	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 − 1) < 𝐴)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 1) < 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5066  (class class class)co 7156  ℝcr 10536  1c1 10538   < clt 10675   − cmin 10870

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4839  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-id 5460  df-po 5474  df-so 5475  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-er 8289  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873

This theorem is referenced by:  suprzcl  12063  fzsuc2  12966  fzm1  12988  m1modnnsub1  13286  cshwidxm1  14169  fsumm1  15106  isumsplit  15195  climcndslem1  15204  bitsfzolem  15783  fldivp1  16233  4sqlem12  16292  ram0  16358  sylow1lem1  18723  dgreq0  24855  atanlogsublem  25493  birthdaylem3  25531  wilthlem1  25645  ftalem5  25654  basellem5  25662  lgsval2lem  25883  lgsqrlem2  25923  gausslemma2dlem0c  25934  lgsquadlem1  25956  lgsquadlem2  25957  pntrsumbnd2  26143  axlowdimlem16  26743  pthdlem1  27547  clwwlkel  27825  clwwlknonex2lem2  27887  xlt2addrd  30482  cycpmco2lem6  30773  cvmliftlem6  32537  cvmliftlem8  32539  cvmliftlem9  32540  cvmliftlem10  32541  bcprod  32970  iooelexlt  34646  poimirlem1  34908  poimirlem2  34909  poimirlem6  34913  poimirlem7  34914  poimirlem8  34915  poimirlem12  34919  poimirlem15  34922  poimirlem16  34923  poimirlem17  34924  poimirlem19  34926  poimirlem20  34927  poimirlem21  34928  poimirlem22  34929  poimirlem23  34930  poimirlem26  34933  mettrifi  35047  irrapxlem1  39468  rmspecsqrtnq  39552  acongeq  39629  monoords  41613  fzisoeu  41616  fzdifsuc2  41626  infleinflem2  41688  unb2ltle  41738  limsupre3lem  42062  xlimxrre  42161  xlimmnfv  42164  iblspltprt  42307  itgspltprt  42313  stoweidlem11  42345  stoweidlem14  42348  fourierdlem11  42452  fourierdlem12  42453  fourierdlem15  42456  fourierdlem41  42482  fourierdlem48  42488  fourierdlem49  42489  fourierdlem50  42490  fourierdlem79  42519  ioorrnopnxrlem  42640  iundjiun  42791  lswn0  43653  bgoldbtbndlem4  44022  m1modmmod  44630  logbpw2m1  44676