MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  npcand Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem npcand 10434
Description: Cancellation law for subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
negidd.1 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
npcand (𝜑 → ((𝐴𝐵) + 𝐵) = 𝐴)

Proof of Theorem npcand
StepHypRef Expression
1 negidd.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2 pncand.2 . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
3 npcan 10328 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴𝐵) + 𝐵) = 𝐴)
41, 2, 3syl2anc 694 1 (𝜑 → ((𝐴𝐵) + 𝐵) = 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1523  wcel 2030  (class class class)co 6690  cc 9972   + caddc 9977  cmin 10304
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-po 5064  df-so 5065  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-ltxr 10117  df-sub 10306
This theorem is referenced by:  addlsub  10485  npcan1  10493  ltsubadd  10536  lesubadd  10538  lesub1  10560  lincmb01cmp  12353  expaddzlem  12943  bcpasc  13148  bcn2m1  13151  swrdccatwrd  13514  cshwidxmod  13595  shftuz  13853  o1dif  14404  arisum2  14637  ntrivcvg  14673  ntrivcvgtail  14676  prodrblem  14703  fprodser  14723  fprodm1  14741  risefacval2  14785  fallfacval2  14786  fallfacfwd  14811  binomfallfaclem2  14815  sin01bnd  14959  moddvds  15038  dvdsexp  15096  bitscmp  15207  hashdvds  15527  vdwlem5  15736  vdwlem6  15737  vdwlem8  15739  srgbinomlem4  18589  uniioombllem3  23399  i1faddlem  23505  itg1addlem4  23511  dvcnp2  23728  ftc1lem4  23847  dgrcolem2  24075  plydivlem4  24096  aaliou3lem8  24145  dvtaylp  24169  dvntaylp0  24171  taylthlem1  24172  efif1olem4  24336  tanarg  24410  quart1  24628  dmgmaddnn0  24798  lgamgulm2  24807  gamfac  24838  basellem9  24860  chtublem  24981  logexprlim  24995  dchrptlem1  25034  lgsquadlem1  25150  mudivsum  25264  logsqvma  25276  log2sumbnd  25278  selberglem2  25280  pntrlog2bndlem5  25315  pntlem3  25343  ostth2lem2  25368  brbtwn2  25830  cusgrsize2inds  26405  clwlkclwwlklem2  26966  clwwisshclwws  26972  clwwlkel  27009  clwwlkf  27010  clwwlknonex2lem1  27082  2clwwlk2clwwlk  27338  numclwwlk2  27361  numclwwlk2OLD  27368  fzspl  29678  fzsplit3  29681  bcm1n  29682  omndmul3  29841  psgnfzto1stlem  29978  ballotlemfc0  30682  ballotlemfcc  30683  signstfvn  30774  reprsuc  30821  breprexplemc  30838  bcm1nt  31749  itg2addnclem  33591  ftc1cnnclem  33613  ftc1anc  33623  caushft  33687  pellexlem6  37715  rmspecfund  37791  rmyluc  37819  jm2.18  37872  jm2.25  37883  hbtlem4  38013  bccm1k  38858  binomcxplemwb  38864  binomcxplemnotnn0  38872  oddfl  39803  zltlesub  39811  fzisoeu  39828  fperiodmul  39832  fzdifsuc2  39838  iccshift  40062  iooshift  40066  fmul01lt1lem2  40135  limcperiod  40178  sumnnodd  40180  cncfperiod  40410  fperdvper  40451  dvbdfbdioolem2  40462  dvnmul  40476  itgsinexp  40488  itgperiod  40515  stoweidlem11  40546  stoweidlem14  40549  stoweidlem26  40561  stoweidlem34  40569  wallispilem5  40604  stirlinglem5  40613  stirlinglem11  40619  stirlinglem12  40620  dirkercncflem1  40638  fourierdlem11  40653  fourierdlem15  40657  fourierdlem26  40668  fourierdlem41  40683  fourierdlem42  40684  fourierdlem48  40689  fourierdlem49  40690  fourierdlem63  40704  fourierdlem64  40705  fourierdlem65  40706  fourierdlem74  40715  fourierdlem75  40716  fourierdlem79  40720  fourierdlem81  40722  fourierdlem84  40725  fourierdlem88  40729  fourierdlem90  40731  fourierdlem92  40733  fourierdlem95  40736  fourierdlem97  40738  fourierdlem103  40744  fourierdlem104  40745  fourierdlem109  40750  fourierdlem111  40752  fourierswlem  40765  fouriersw  40766  elaa2lem  40768  etransclem23  40792  etransclem24  40793  etransclem28  40797  etransclem38  40807  smfmullem1  41319  fargshiftfo  41703  ccatpfx  41734  lighneallem3  41849  nnsum4primeseven  42013  nnsum4primesevenALTV  42014  bgoldbtbndlem4  42021  bgoldbtbnd  42022  m1modmmod  42641  dignn0flhalflem1  42734
  Copyright terms: Public domain W3C validator