MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  npcand Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem npcand 10247
Description: Cancellation law for subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
negidd.1 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
npcand (𝜑 → ((𝐴𝐵) + 𝐵) = 𝐴)

Proof of Theorem npcand
StepHypRef Expression
1 negidd.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2 pncand.2 . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
3 npcan 10141 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴𝐵) + 𝐵) = 𝐴)
41, 2, 3syl2anc 690 1 (𝜑 → ((𝐴𝐵) + 𝐵) = 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1474  wcel 1976  (class class class)co 6527  cc 9790   + caddc 9795  cmin 10117
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-op 4131  df-uni 4367  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-er 7606  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-ltxr 9935  df-sub 10119
This theorem is referenced by:  addlsub  10298  npcan1  10306  ltsubadd  10347  lesubadd  10349  lesub1  10371  lincmb01cmp  12142  expaddzlem  12720  bcpasc  12925  bcn2m1  12928  swrdccatwrd  13266  cshwidxmod  13346  shftuz  13603  o1dif  14154  arisum2  14378  ntrivcvg  14414  ntrivcvgtail  14417  prodrblem  14444  fprodser  14464  fprodm1  14482  risefacval2  14526  fallfacval2  14527  fallfacfwd  14552  binomfallfaclem2  14556  sin01bnd  14700  moddvds  14775  dvdsexp  14833  bitscmp  14944  hashdvds  15264  vdwlem5  15473  vdwlem6  15474  vdwlem8  15476  srgbinomlem4  18312  uniioombllem3  23076  i1faddlem  23183  itg1addlem4  23189  dvcnp2  23406  ftc1lem4  23523  dgrcolem2  23751  plydivlem4  23772  aaliou3lem8  23821  dvtaylp  23845  dvntaylp0  23847  taylthlem1  23848  efif1olem4  24012  tanarg  24086  quart1  24300  dmgmaddnn0  24470  lgamgulm2  24479  gamfac  24510  basellem9  24532  chtublem  24653  logexprlim  24667  dchrptlem1  24706  lgsquadlem1  24822  mudivsum  24936  logsqvma  24948  log2sumbnd  24950  selberglem2  24952  pntrlog2bndlem5  24987  pntlem3  25015  ostth2lem2  25040  brbtwn2  25503  cusgrasize2inds  25771  fargshiftfo  25932  clwlkisclwwlklem1  26081  clwwlkel  26087  clwwlkf  26088  clwwisshclww  26101  numclwlk1lem2fo  26388  numclwwlk2  26400  fzspl  28744  fzsplit3  28746  bcm1n  28747  omndmul3  28850  psgnfzto1stlem  28987  ballotlemfc0  29687  ballotlemfcc  29688  signstfvn  29778  bcm1nt  30682  itg2addnclem  32427  ftc1cnnclem  32449  ftc1anc  32459  caushft  32523  pellexlem6  36212  rmspecfund  36288  rmyluc  36316  jm2.18  36369  jm2.25  36380  hbtlem4  36511  bccm1k  37359  binomcxplemwb  37365  binomcxplemnotnn0  37373  oddfl  38226  zltlesub  38234  fzisoeu  38251  fperiodmul  38255  fzdifsuc2  38263  iccshift  38388  iooshift  38392  fmul01lt1lem2  38449  limcperiod  38492  sumnnodd  38494  cncfperiod  38561  fperdvper  38605  dvbdfbdioolem2  38616  dvnmul  38630  itgsinexp  38643  itgperiod  38670  stoweidlem11  38701  stoweidlem14  38704  stoweidlem26  38716  stoweidlem34  38724  wallispilem5  38759  stirlinglem5  38768  stirlinglem11  38774  stirlinglem12  38775  dirkercncflem1  38793  fourierdlem11  38808  fourierdlem15  38812  fourierdlem26  38823  fourierdlem41  38838  fourierdlem42  38839  fourierdlem48  38844  fourierdlem49  38845  fourierdlem63  38859  fourierdlem64  38860  fourierdlem65  38861  fourierdlem74  38870  fourierdlem75  38871  fourierdlem79  38875  fourierdlem81  38877  fourierdlem84  38880  fourierdlem88  38884  fourierdlem90  38886  fourierdlem92  38888  fourierdlem95  38891  fourierdlem97  38893  fourierdlem103  38899  fourierdlem104  38900  fourierdlem109  38905  fourierdlem111  38907  fourierswlem  38920  fouriersw  38921  elaa2lem  38923  etransclem23  38947  etransclem24  38948  etransclem28  38952  etransclem38  38962  smfmullem1  39473  lighneallem3  39860  nnsum4primeseven  40014  nnsum4primesevenALTV  40015  bgoldbtbndlem4  40022  bgoldbtbnd  40023  ccatpfx  40070  cusgrsize2inds  40664  clwlkclwwlklem2  41204  clwwlksel  41216  clwwlksf  41217  clwwisshclwws  41230  av-numclwlk1lem2fo  41520  av-numclwwlk2  41532  m1modmmod  42105  dignn0flhalflem1  42202
  Copyright terms: Public domain W3C validator