MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fzsn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fzsn 12325
Description: A finite interval of integers with one element. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)
Assertion
Ref Expression
fzsn (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀...𝑀) = {𝑀})

Proof of Theorem fzsn
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfz1eq 12294 . . . 4 (𝑘 ∈ (𝑀...𝑀) → 𝑘 = 𝑀)
2 elfz3 12293 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (𝑀...𝑀))
3 eleq1 2686 . . . . 5 (𝑘 = 𝑀 → (𝑘 ∈ (𝑀...𝑀) ↔ 𝑀 ∈ (𝑀...𝑀)))
42, 3syl5ibrcom 237 . . . 4 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑘 = 𝑀𝑘 ∈ (𝑀...𝑀)))
51, 4impbid2 216 . . 3 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑘 ∈ (𝑀...𝑀) ↔ 𝑘 = 𝑀))
6 velsn 4164 . . 3 (𝑘 ∈ {𝑀} ↔ 𝑘 = 𝑀)
75, 6syl6bbr 278 . 2 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑘 ∈ (𝑀...𝑀) ↔ 𝑘 ∈ {𝑀}))
87eqrdv 2619 1 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀...𝑀) = {𝑀})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1480  wcel 1987  {csn 4148  (class class class)co 6604  cz 11321  ...cfz 12268
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-neg 10213  df-z 11322  df-uz 11632  df-fz 12269
This theorem is referenced by:  fzsuc  12330  fzpred  12331  fzpr  12338  fzsuc2  12340  fz0sn  12380  fz0sn0fz1  12397  fzosn  12479  seqf1o  12782  hashsng  13099  sumsn  14405  fsum1  14406  fsumm1  14410  fsum1p  14412  prodsn  14617  fprod1  14618  prodsnf  14619  fprod1p  14623  fprodabs  14629  binomfallfac  14697  ef0lem  14734  fprodefsum  14750  phi1  15402  4sqlem19  15591  vdwlem8  15616  strle1  15894  gsumws1  17297  telgsumfzs  18307  srgbinom  18466  pmatcollpw3fi1lem1  20510  pmatcollpw3fi1  20512  imasdsf1olem  22088  voliunlem1  23225  ply1termlem  23863  pntpbnd1  25175  0wlkons1  26848  iuninc  29221  fzspl  29389  esumfzf  29909  ballotlemfc0  30332  ballotlemfcc  30333  plymulx0  30401  signstf0  30422  subfac1  30865  subfacp1lem1  30866  subfacp1lem5  30871  subfacp1lem6  30872  cvmliftlem10  30981  fwddifn0  31910  poimirlem2  33040  poimirlem3  33041  poimirlem4  33042  poimirlem6  33044  poimirlem7  33045  poimirlem13  33051  poimirlem14  33052  poimirlem16  33054  poimirlem17  33055  poimirlem18  33056  poimirlem19  33057  poimirlem20  33058  poimirlem21  33059  poimirlem22  33060  poimirlem26  33064  poimirlem28  33066  poimirlem31  33069  poimirlem32  33070  sdclem1  33168  fdc  33170  trclfvdecomr  37498  k0004val0  37931  sumsnd  38665  fzdifsuc2  38986  sumsnf  39202  dvnmul  39461  stoweidlem17  39538  carageniuncllem1  40039  caratheodorylem1  40044  hoidmvlelem3  40115  fzopredsuc  40627  nnsum3primesprm  40964
  Copyright terms: Public domain W3C validator