Theorem leneltd 10794

Description: 'Less than or equal to' and 'not equals' implies 'less than'. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
leltned.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
leneltd.4	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
leneltd	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)

Proof of Theorem leneltd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leneltd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐴)
2		ltd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3		ltd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4		leltned.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
5	2, 3, 4	leltned 10793	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ 𝐵 ≠ 𝐴))
6	1, 5	mpbird 259	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114   ≠ wne 3016   class class class wbr 5066  ℝcr 10536   < clt 10675   ≤ cle 10676

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-resscn 10594  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4839  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-id 5460  df-po 5474  df-so 5475  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-er 8289  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681

This theorem is referenced by:  flltnz  13182  seqf1olem1  13410  isprm5  16051  fvmptnn04if  21457  zcld  23421  evth  23563  pmltpclem2  24050  abelthlem2  25020  cos02pilt1  25111  logcj  25189  argimgt0  25195  dvloglem  25231  logf1o2  25233  asinneg  25464  lgslem1  25873  lgseisen  25955  dchrisum0flblem1  26084  ttgcontlem1  26671  axcontlem8  26757  unbdqndv2lem2  33849  fzdifsuc2  41626  xralrple2  41671  xralrple3  41691  eliccelioc  41846  limcresiooub  41972  limcresioolb  41973  icccncfext  42219  cncfiooiccre  42227  dvbdfbdioolem2  42263  dvnxpaek  42276  volioc  42306  itgioocnicc  42311  iblcncfioo  42312  dirkercncflem1  42437  fourierdlem24  42465  fourierdlem25  42466  fourierdlem32  42473  fourierdlem33  42474  fourierdlem41  42482  fourierdlem42  42483  fourierdlem46  42486  fourierdlem48  42488  fourierdlem49  42489  fourierdlem51  42491  fourierdlem64  42504  fourierdlem65  42505  fourierdlem73  42513  fourierdlem76  42516  fourierdlem79  42519  fourierdlem81  42521  fourierdlem82  42522  fourierdlem89  42529  fourierdlem91  42531  fourierdlem102  42542  fourierdlem114  42554  fourierswlem  42564  fouriersw  42565  etransclem15  42583  etransclem24  42592  etransclem25  42593  etransclem35  42603  iundjiun  42791  hoidmvlelem2  42927