Theorem hdmap1l6 38990

Description: Part (6) of [Baer] p. 47 line 6. Note that we use ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}) which is equivalent to Baer's "Fx ∩ (Fy + Fz)" by lspdisjb 19893. (Convert mapdh6N 38916 to use the function HDMap1.) (Contributed by NM, 17-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
hdmap1-6.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hdmap1-6.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
hdmap1-6.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
hdmap1-6.p	⊢ + = (+g‘𝑈)
hdmap1-6.o	⊢ 0 = (0g‘𝑈)
hdmap1-6.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
hdmap1-6.c	⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
hdmap1-6.d	⊢ 𝐷 = (Base‘𝐶)
hdmap1-6.a	⊢ ✚ = (+g‘𝐶)
hdmap1-6.l	⊢ 𝐿 = (LSpan‘𝐶)
hdmap1-6.m	⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
hdmap1-6.i	⊢ 𝐼 = ((HDMap1‘𝐾)‘𝑊)
hdmap1-6.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
hdmap1-6.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐷)
hdmap1-6.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
hdmap1-6.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
hdmap1-6.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑉)
hdmap1-6.xn	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
hdmap1-6.mn	⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐿‘{𝐹}))

Assertion

Ref	Expression
hdmap1l6	⊢ (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, (𝑌 + 𝑍)⟩) = ((𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) ✚ (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩)))

Proof of Theorem hdmap1l6

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hdmap1-6.h	. 2 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		hdmap1-6.u	. 2 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3		hdmap1-6.v	. 2 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
4		hdmap1-6.p	. 2 ⊢ + = (+g‘𝑈)
5		eqid 2820	. 2 ⊢ (-g‘𝑈) = (-g‘𝑈)
6		hdmap1-6.o	. 2 ⊢ 0 = (0g‘𝑈)
7		hdmap1-6.n	. 2 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
8		hdmap1-6.c	. 2 ⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
9		hdmap1-6.d	. 2 ⊢ 𝐷 = (Base‘𝐶)
10		hdmap1-6.a	. 2 ⊢ ✚ = (+g‘𝐶)
11		eqid 2820	. 2 ⊢ (-g‘𝐶) = (-g‘𝐶)
12		eqid 2820	. 2 ⊢ (0g‘𝐶) = (0g‘𝐶)
13		hdmap1-6.l	. 2 ⊢ 𝐿 = (LSpan‘𝐶)
14		hdmap1-6.m	. 2 ⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
15		hdmap1-6.i	. 2 ⊢ 𝐼 = ((HDMap1‘𝐾)‘𝑊)
16		hdmap1-6.k	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
17		hdmap1-6.f	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐷)
18		hdmap1-6.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
19		hdmap1-6.mn	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐿‘{𝐹}))
20		hdmap1-6.y	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
21		hdmap1-6.z	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑉)
22		hdmap1-6.xn	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
23	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22	hdmap1l6k 38989	1 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, (𝑌 + 𝑍)⟩) = ((𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) ✚ (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1536   ∈ wcel 2113   ∖ cdif 3926  {csn 4560  {cpr 4562  ⟨cotp 4568  ‘cfv 6348  (class class class)co 7149  Basecbs 16478  +_gcplusg 16560  0_gc0g 16708  -_gcsg 18100  LSpanclspn 19738  HLchlt 36519  LHypclh 37153  DVecHcdvh 38247  LCDualclcd 38755  mapdcmpd 38793  HDMap1chdma1 38960

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2792  ax-rep 5183  ax-sep 5196  ax-nul 5203  ax-pow 5259  ax-pr 5323  ax-un 7454  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607  ax-riotaBAD 36122

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1083  df-3an 1084  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2892  df-nfc 2962  df-ne 3016  df-nel 3123  df-ral 3142  df-rex 3143  df-reu 3144  df-rmo 3145  df-rab 3146  df-v 3493  df-sbc 3769  df-csb 3877  df-dif 3932  df-un 3934  df-in 3936  df-ss 3945  df-pss 3947  df-nul 4285  df-if 4461  df-pw 4534  df-sn 4561  df-pr 4563  df-tp 4565  df-op 4567  df-ot 4569  df-uni 4832  df-int 4870  df-iun 4914  df-iin 4915  df-br 5060  df-opab 5122  df-mpt 5140  df-tr 5166  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-of 7402  df-om 7574  df-1st 7682  df-2nd 7683  df-tpos 7885  df-undef 7932  df-wrecs 7940  df-recs 8001  df-rdg 8039  df-1o 8095  df-oadd 8099  df-er 8282  df-map 8401  df-en 8503  df-dom 8504  df-sdom 8505  df-fin 8506  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-nn 11632  df-2 11694  df-3 11695  df-4 11696  df-5 11697  df-6 11698  df-n0 11892  df-z 11976  df-uz 12238  df-fz 12890  df-struct 16480  df-ndx 16481  df-slot 16482  df-base 16484  df-sets 16485  df-ress 16486  df-plusg 16573  df-mulr 16574  df-sca 16576  df-vsca 16577  df-0g 16710  df-mre 16852  df-mrc 16853  df-acs 16855  df-proset 17533  df-poset 17551  df-plt 17563  df-lub 17579  df-glb 17580  df-join 17581  df-meet 17582  df-p0 17644  df-p1 17645  df-lat 17651  df-clat 17713  df-mgm 17847  df-sgrp 17896  df-mnd 17907  df-submnd 17952  df-grp 18101  df-minusg 18102  df-sbg 18103  df-subg 18271  df-cntz 18442  df-oppg 18469  df-lsm 18756  df-cmn 18903  df-abl 18904  df-mgp 19235  df-ur 19247  df-ring 19294  df-oppr 19368  df-dvdsr 19386  df-unit 19387  df-invr 19417  df-dvr 19428  df-drng 19499  df-lmod 19631  df-lss 19699  df-lsp 19739  df-lvec 19870  df-lsatoms 36145  df-lshyp 36146  df-lcv 36188  df-lfl 36227  df-lkr 36255  df-ldual 36293  df-oposet 36345  df-ol 36347  df-oml 36348  df-covers 36435  df-ats 36436  df-atl 36467  df-cvlat 36491  df-hlat 36520  df-llines 36667  df-lplanes 36668  df-lvols 36669  df-lines 36670  df-psubsp 36672  df-pmap 36673  df-padd 36965  df-lhyp 37157  df-laut 37158  df-ldil 37273  df-ltrn 37274  df-trl 37328  df-tgrp 37912  df-tendo 37924  df-edring 37926  df-dveca 38172  df-disoa 38198  df-dvech 38248  df-dib 38308  df-dic 38342  df-dih 38398  df-doch 38517  df-djh 38564  df-lcdual 38756  df-mapd 38794  df-hdmap1 38962

This theorem is referenced by:  hdmap11lem1  39010