Hilbert Space Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hhcmpl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hhcmpl 27903
 Description: Lemma used for derivation of the completeness axiom ax-hcompl 27905 from ZFC Hilbert space theory. (Contributed by NM, 9-Apr-2008.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
hhlm.1 𝑈 = ⟨⟨ + , · ⟩, norm
hhlm.2 𝐷 = (IndMet‘𝑈)
hhlm.3 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
hhcmpl.c (𝐹 ∈ (Cau‘𝐷) → ∃𝑥 ∈ ℋ 𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑥)
Assertion
Ref Expression
hhcmpl (𝐹 ∈ Cauchy → ∃𝑥 ∈ ℋ 𝐹𝑣 𝑥)
Distinct variable group:   𝑥,𝐹
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑥)   𝑈(𝑥)   𝐽(𝑥)

Proof of Theorem hhcmpl
StepHypRef Expression
1 hhcmpl.c . . . 4 (𝐹 ∈ (Cau‘𝐷) → ∃𝑥 ∈ ℋ 𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑥)
21anim1i 591 . . 3 ((𝐹 ∈ (Cau‘𝐷) ∧ 𝐹 ∈ ( ℋ ↑𝑚 ℕ)) → (∃𝑥 ∈ ℋ 𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑥𝐹 ∈ ( ℋ ↑𝑚 ℕ)))
3 elin 3774 . . 3 (𝐹 ∈ ((Cau‘𝐷) ∩ ( ℋ ↑𝑚 ℕ)) ↔ (𝐹 ∈ (Cau‘𝐷) ∧ 𝐹 ∈ ( ℋ ↑𝑚 ℕ)))
4 r19.41v 3081 . . 3 (∃𝑥 ∈ ℋ (𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑥𝐹 ∈ ( ℋ ↑𝑚 ℕ)) ↔ (∃𝑥 ∈ ℋ 𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑥𝐹 ∈ ( ℋ ↑𝑚 ℕ)))
52, 3, 43imtr4i 281 . 2 (𝐹 ∈ ((Cau‘𝐷) ∩ ( ℋ ↑𝑚 ℕ)) → ∃𝑥 ∈ ℋ (𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑥𝐹 ∈ ( ℋ ↑𝑚 ℕ)))
6 hhlm.1 . . . 4 𝑈 = ⟨⟨ + , · ⟩, norm
7 hhlm.2 . . . 4 𝐷 = (IndMet‘𝑈)
86, 7hhcau 27901 . . 3 Cauchy = ((Cau‘𝐷) ∩ ( ℋ ↑𝑚 ℕ))
98eleq2i 2690 . 2 (𝐹 ∈ Cauchy ↔ 𝐹 ∈ ((Cau‘𝐷) ∩ ( ℋ ↑𝑚 ℕ)))
10 hhlm.3 . . . . . 6 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
116, 7, 10hhlm 27902 . . . . 5 𝑣 = ((⇝𝑡𝐽) ↾ ( ℋ ↑𝑚 ℕ))
1211breqi 4619 . . . 4 (𝐹𝑣 𝑥𝐹((⇝𝑡𝐽) ↾ ( ℋ ↑𝑚 ℕ))𝑥)
13 vex 3189 . . . . 5 𝑥 ∈ V
1413brres 5362 . . . 4 (𝐹((⇝𝑡𝐽) ↾ ( ℋ ↑𝑚 ℕ))𝑥 ↔ (𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑥𝐹 ∈ ( ℋ ↑𝑚 ℕ)))
1512, 14bitri 264 . . 3 (𝐹𝑣 𝑥 ↔ (𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑥𝐹 ∈ ( ℋ ↑𝑚 ℕ)))
1615rexbii 3034 . 2 (∃𝑥 ∈ ℋ 𝐹𝑣 𝑥 ↔ ∃𝑥 ∈ ℋ (𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑥𝐹 ∈ ( ℋ ↑𝑚 ℕ)))
175, 9, 163imtr4i 281 1 (𝐹 ∈ Cauchy → ∃𝑥 ∈ ℋ 𝐹𝑣 𝑥)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1480   ∈ wcel 1987  ∃wrex 2908   ∩ cin 3554  ⟨cop 4154   class class class wbr 4613   ↾ cres 5076  ‘cfv 5847  (class class class)co 6604   ↑𝑚 cmap 7802  ℕcn 10964  MetOpencmopn 19655  ⇝𝑡clm 20940  Caucca 22959  IndMetcims 27292   ℋchil 27622   +ℎ cva 27623   ·ℎ csm 27624  normℎcno 27626  Cauchyccau 27629   ⇝𝑣 chli 27630 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958  ax-addf 9959  ax-mulf 9960  ax-hilex 27702  ax-hfvadd 27703  ax-hvcom 27704  ax-hvass 27705  ax-hv0cl 27706  ax-hvaddid 27707  ax-hfvmul 27708  ax-hvmulid 27709  ax-hvmulass 27710  ax-hvdistr1 27711  ax-hvdistr2 27712  ax-hvmul0 27713  ax-hfi 27782  ax-his1 27785  ax-his2 27786  ax-his3 27787  ax-his4 27788 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-er 7687  df-map 7804  df-pm 7805  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-sup 8292  df-inf 8293  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-4 11025  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-q 11733  df-rp 11777  df-xneg 11890  df-xadd 11891  df-xmul 11892  df-seq 12742  df-exp 12801  df-cj 13773  df-re 13774  df-im 13775  df-sqrt 13909  df-abs 13910  df-topgen 16025  df-psmet 19657  df-xmet 19658  df-met 19659  df-bl 19660  df-mopn 19661  df-top 20621  df-bases 20622  df-topon 20623  df-lm 20943  df-cau 22962  df-grpo 27193  df-gid 27194  df-ginv 27195  df-gdiv 27196  df-ablo 27245  df-vc 27260  df-nv 27293  df-va 27296  df-ba 27297  df-sm 27298  df-0v 27299  df-vs 27300  df-nmcv 27301  df-ims 27302  df-hnorm 27671  df-hvsub 27674  df-hlim 27675  df-hcau 27676 This theorem is referenced by:  hilcompl  27904
 Copyright terms: Public domain W3C validator