HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hvaddcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hvaddcl 27997
Description: Closure of vector addition. (Contributed by NM, 18-Apr-2007.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
hvaddcl ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℋ)

Proof of Theorem hvaddcl
StepHypRef Expression
1 ax-hfvadd 27985 . 2 + :( ℋ × ℋ)⟶ ℋ
21fovcl 6807 1 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℋ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  wcel 2030  (class class class)co 6690  chil 27904   + cva 27905
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pr 4936  ax-hfvadd 27985
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ral 2946  df-rex 2947  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-fv 5934  df-ov 6693
This theorem is referenced by:  hvsubf  28000  hvsubcl  28002  hvaddcli  28003  hvadd4  28021  hvsub4  28022  hvpncan  28024  hvaddsubass  28026  hvsubass  28029  hv2times  28046  hvaddsub4  28063  his7  28075  normpyc  28131  hhph  28163  hlimadd  28178  helch  28228  ocsh  28270  spanunsni  28566  3oalem1  28649  pjcompi  28659  mayete3i  28715  hoscl  28732  hoaddcl  28745  unoplin  28907  hmoplin  28929  braadd  28932  0lnfn  28972  lnopmi  28987  lnophsi  28988  lnopcoi  28990  lnopeq0i  28994  nlelshi  29047  cnlnadjlem2  29055  cnlnadjlem6  29059  adjlnop  29073  superpos  29341  cdj3lem2b  29424  cdj3i  29428
  Copyright terms: Public domain W3C validator