HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hvaddcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hvaddcl 27087
Description: Closure of vector addition. (Contributed by NM, 18-Apr-2007.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
hvaddcl ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℋ)

Proof of Theorem hvaddcl
StepHypRef Expression
1 ax-hfvadd 27075 . 2 + :( ℋ × ℋ)⟶ ℋ
21fovcl 6641 1 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℋ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382  wcel 1976  (class class class)co 6527  chil 26994   + cva 26995
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pr 4828  ax-hfvadd 27075
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ral 2900  df-rex 2901  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-nul 3874  df-if 4036  df-sn 4125  df-pr 4127  df-op 4131  df-uni 4367  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-id 4943  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-fv 5798  df-ov 6530
This theorem is referenced by:  hvsubf  27090  hvsubcl  27092  hvaddcli  27093  hvadd4  27111  hvsub4  27112  hvpncan  27114  hvaddsubass  27116  hvsubass  27119  hv2times  27136  hvaddsub4  27153  his7  27165  normpyc  27221  hhph  27253  hlimadd  27268  helch  27318  ocsh  27360  spanunsni  27656  3oalem1  27739  pjcompi  27749  mayete3i  27805  hoscl  27822  hoaddcl  27835  unoplin  27997  hmoplin  28019  braadd  28022  0lnfn  28062  lnopmi  28077  lnophsi  28078  lnopcoi  28080  lnopeq0i  28084  nlelshi  28137  cnlnadjlem2  28145  cnlnadjlem6  28149  adjlnop  28163  superpos  28431  cdj3lem2b  28514  cdj3i  28518
  Copyright terms: Public domain W3C validator