Theorem cnlnadjlem6 29833

Description: Lemma for cnlnadji 29837. 𝐹 is linear. (Contributed by NM, 17-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
cnlnadjlem.1	⊢ 𝑇 ∈ LinOp
cnlnadjlem.2	⊢ 𝑇 ∈ ContOp
cnlnadjlem.3	⊢ 𝐺 = (𝑔 ∈ ℋ ↦ ((𝑇‘𝑔) ·ih 𝑦))
cnlnadjlem.4	⊢ 𝐵 = (℩𝑤 ∈ ℋ ∀𝑣 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑣) ·ih 𝑦) = (𝑣 ·ih 𝑤))
cnlnadjlem.5	⊢ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℋ ↦ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
cnlnadjlem6	⊢ 𝐹 ∈ LinOp

Distinct variable groups:   𝑣,𝑔,𝑤,𝑦   𝑤,𝐹   𝑇,𝑔,𝑣,𝑤,𝑦   𝑣,𝐺,𝑤

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑦,𝑤,𝑣,𝑔)   𝐹(𝑦,𝑣,𝑔)   𝐺(𝑦,𝑔)

Proof of Theorem cnlnadjlem6

Dummy variables 𝑓 𝑧 𝑡 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnlnadjlem.5	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℋ ↦ 𝐵)
2		cnlnadjlem.1	. . . 4 ⊢ 𝑇 ∈ LinOp
3		cnlnadjlem.2	. . . 4 ⊢ 𝑇 ∈ ContOp
4		cnlnadjlem.3	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (𝑔 ∈ ℋ ↦ ((𝑇‘𝑔) ·ih 𝑦))
5		cnlnadjlem.4	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (℩𝑤 ∈ ℋ ∀𝑣 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑣) ·ih 𝑦) = (𝑣 ·ih 𝑤))
6	2, 3, 4, 5	cnlnadjlem3 29830	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → 𝐵 ∈ ℋ)
7	1, 6	fmpti 6862	. 2 ⊢ 𝐹: ℋ⟶ ℋ
8	2	lnopfi 29730	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑇: ℋ⟶ ℋ
9	8	ffvelrni 6836	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑡 ∈ ℋ → (𝑇‘𝑡) ∈ ℋ)
10	9	adantl 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑓 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑡 ∈ ℋ) → (𝑇‘𝑡) ∈ ℋ)
11		hvmulcl 28774	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑓 ∈ ℋ) → (𝑥 ·ℎ 𝑓) ∈ ℋ)
12	11	ad2antrr 724	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑓 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑡 ∈ ℋ) → (𝑥 ·ℎ 𝑓) ∈ ℋ)
13		simplr 767	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑓 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑡 ∈ ℋ) → 𝑧 ∈ ℋ)
14		his7 28851	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑇‘𝑡) ∈ ℋ ∧ (𝑥 ·ℎ 𝑓) ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑇‘𝑡) ·ih ((𝑥 ·ℎ 𝑓) +ℎ 𝑧)) = (((𝑇‘𝑡) ·ih (𝑥 ·ℎ 𝑓)) + ((𝑇‘𝑡) ·ih 𝑧)))
15	10, 12, 13, 14	syl3anc 1367	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑓 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑡 ∈ ℋ) → ((𝑇‘𝑡) ·ih ((𝑥 ·ℎ 𝑓) +ℎ 𝑧)) = (((𝑇‘𝑡) ·ih (𝑥 ·ℎ 𝑓)) + ((𝑇‘𝑡) ·ih 𝑧)))
16		hvaddcl 28773	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ·ℎ 𝑓) ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑥 ·ℎ 𝑓) +ℎ 𝑧) ∈ ℋ)
17	11, 16	sylan 582	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑓 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑥 ·ℎ 𝑓) +ℎ 𝑧) ∈ ℋ)
18	2, 3, 4, 5, 1	cnlnadjlem5 29832	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑥 ·ℎ 𝑓) +ℎ 𝑧) ∈ ℋ ∧ 𝑡 ∈ ℋ) → ((𝑇‘𝑡) ·ih ((𝑥 ·ℎ 𝑓) +ℎ 𝑧)) = (𝑡 ·ih (𝐹‘((𝑥 ·ℎ 𝑓) +ℎ 𝑧))))
19	17, 18	sylan 582	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑓 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑡 ∈ ℋ) → ((𝑇‘𝑡) ·ih ((𝑥 ·ℎ 𝑓) +ℎ 𝑧)) = (𝑡 ·ih (𝐹‘((𝑥 ·ℎ 𝑓) +ℎ 𝑧))))
20		simpll 765	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑓 ∈ ℋ) ∧ 𝑡 ∈ ℋ) → 𝑥 ∈ ℂ)
21	9	adantl 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑓 ∈ ℋ) ∧ 𝑡 ∈ ℋ) → (𝑇‘𝑡) ∈ ℋ)
22		simplr 767	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑓 ∈ ℋ) ∧ 𝑡 ∈ ℋ) → 𝑓 ∈ ℋ)
23		his5 28847	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑇‘𝑡) ∈ ℋ ∧ 𝑓 ∈ ℋ) → ((𝑇‘𝑡) ·ih (𝑥 ·ℎ 𝑓)) = ((∗‘𝑥) · ((𝑇‘𝑡) ·ih 𝑓)))
24	20, 21, 22, 23	syl3anc 1367	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑓 ∈ ℋ) ∧ 𝑡 ∈ ℋ) → ((𝑇‘𝑡) ·ih (𝑥 ·ℎ 𝑓)) = ((∗‘𝑥) · ((𝑇‘𝑡) ·ih 𝑓)))
25		simpr 487	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑓 ∈ ℋ) ∧ 𝑡 ∈ ℋ) → 𝑡 ∈ ℋ)
26	2, 3, 4, 5, 1	cnlnadjlem4 29831	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑓 ∈ ℋ → (𝐹‘𝑓) ∈ ℋ)
27	26	ad2antlr 725	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑓 ∈ ℋ) ∧ 𝑡 ∈ ℋ) → (𝐹‘𝑓) ∈ ℋ)
28		his5 28847	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑡 ∈ ℋ ∧ (𝐹‘𝑓) ∈ ℋ) → (𝑡 ·ih (𝑥 ·ℎ (𝐹‘𝑓))) = ((∗‘𝑥) · (𝑡 ·ih (𝐹‘𝑓))))
29	20, 25, 27, 28	syl3anc 1367	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑓 ∈ ℋ) ∧ 𝑡 ∈ ℋ) → (𝑡 ·ih (𝑥 ·ℎ (𝐹‘𝑓))) = ((∗‘𝑥) · (𝑡 ·ih (𝐹‘𝑓))))
30	2, 3, 4, 5, 1	cnlnadjlem5 29832	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑓 ∈ ℋ ∧ 𝑡 ∈ ℋ) → ((𝑇‘𝑡) ·ih 𝑓) = (𝑡 ·ih (𝐹‘𝑓)))
31	30	adantll 712	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑓 ∈ ℋ) ∧ 𝑡 ∈ ℋ) → ((𝑇‘𝑡) ·ih 𝑓) = (𝑡 ·ih (𝐹‘𝑓)))
32	31	oveq2d 7158	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑓 ∈ ℋ) ∧ 𝑡 ∈ ℋ) → ((∗‘𝑥) · ((𝑇‘𝑡) ·ih 𝑓)) = ((∗‘𝑥) · (𝑡 ·ih (𝐹‘𝑓))))
33	29, 32	eqtr4d 2859	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑓 ∈ ℋ) ∧ 𝑡 ∈ ℋ) → (𝑡 ·ih (𝑥 ·ℎ (𝐹‘𝑓))) = ((∗‘𝑥) · ((𝑇‘𝑡) ·ih 𝑓)))
34	24, 33	eqtr4d 2859	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑓 ∈ ℋ) ∧ 𝑡 ∈ ℋ) → ((𝑇‘𝑡) ·ih (𝑥 ·ℎ 𝑓)) = (𝑡 ·ih (𝑥 ·ℎ (𝐹‘𝑓))))
35	34	adantlr 713	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑓 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑡 ∈ ℋ) → ((𝑇‘𝑡) ·ih (𝑥 ·ℎ 𝑓)) = (𝑡 ·ih (𝑥 ·ℎ (𝐹‘𝑓))))
36	2, 3, 4, 5, 1	cnlnadjlem5 29832	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑡 ∈ ℋ) → ((𝑇‘𝑡) ·ih 𝑧) = (𝑡 ·ih (𝐹‘𝑧)))
37	36	adantll 712	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑓 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑡 ∈ ℋ) → ((𝑇‘𝑡) ·ih 𝑧) = (𝑡 ·ih (𝐹‘𝑧)))
38	35, 37	oveq12d 7160	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑓 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑡 ∈ ℋ) → (((𝑇‘𝑡) ·ih (𝑥 ·ℎ 𝑓)) + ((𝑇‘𝑡) ·ih 𝑧)) = ((𝑡 ·ih (𝑥 ·ℎ (𝐹‘𝑓))) + (𝑡 ·ih (𝐹‘𝑧))))
39		simpr 487	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑓 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑡 ∈ ℋ) → 𝑡 ∈ ℋ)
40		hvmulcl 28774	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑓) ∈ ℋ) → (𝑥 ·ℎ (𝐹‘𝑓)) ∈ ℋ)
41	26, 40	sylan2 594	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑓 ∈ ℋ) → (𝑥 ·ℎ (𝐹‘𝑓)) ∈ ℋ)
42	41	ad2antrr 724	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑓 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑡 ∈ ℋ) → (𝑥 ·ℎ (𝐹‘𝑓)) ∈ ℋ)
43	2, 3, 4, 5, 1	cnlnadjlem4 29831	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ ℋ → (𝐹‘𝑧) ∈ ℋ)
44	43	ad2antlr 725	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑓 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑡 ∈ ℋ) → (𝐹‘𝑧) ∈ ℋ)
45		his7 28851	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑡 ∈ ℋ ∧ (𝑥 ·ℎ (𝐹‘𝑓)) ∈ ℋ ∧ (𝐹‘𝑧) ∈ ℋ) → (𝑡 ·ih ((𝑥 ·ℎ (𝐹‘𝑓)) +ℎ (𝐹‘𝑧))) = ((𝑡 ·ih (𝑥 ·ℎ (𝐹‘𝑓))) + (𝑡 ·ih (𝐹‘𝑧))))
46	39, 42, 44, 45	syl3anc 1367	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑓 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑡 ∈ ℋ) → (𝑡 ·ih ((𝑥 ·ℎ (𝐹‘𝑓)) +ℎ (𝐹‘𝑧))) = ((𝑡 ·ih (𝑥 ·ℎ (𝐹‘𝑓))) + (𝑡 ·ih (𝐹‘𝑧))))
47	38, 46	eqtr4d 2859	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑓 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑡 ∈ ℋ) → (((𝑇‘𝑡) ·ih (𝑥 ·ℎ 𝑓)) + ((𝑇‘𝑡) ·ih 𝑧)) = (𝑡 ·ih ((𝑥 ·ℎ (𝐹‘𝑓)) +ℎ (𝐹‘𝑧))))
48	15, 19, 47	3eqtr3d 2864	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑓 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑡 ∈ ℋ) → (𝑡 ·ih (𝐹‘((𝑥 ·ℎ 𝑓) +ℎ 𝑧))) = (𝑡 ·ih ((𝑥 ·ℎ (𝐹‘𝑓)) +ℎ (𝐹‘𝑧))))
49	48	ralrimiva 3182	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑓 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ∀𝑡 ∈ ℋ (𝑡 ·ih (𝐹‘((𝑥 ·ℎ 𝑓) +ℎ 𝑧))) = (𝑡 ·ih ((𝑥 ·ℎ (𝐹‘𝑓)) +ℎ (𝐹‘𝑧))))
50	2, 3, 4, 5, 1	cnlnadjlem4 29831	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ·ℎ 𝑓) +ℎ 𝑧) ∈ ℋ → (𝐹‘((𝑥 ·ℎ 𝑓) +ℎ 𝑧)) ∈ ℋ)
51	17, 50	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑓 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (𝐹‘((𝑥 ·ℎ 𝑓) +ℎ 𝑧)) ∈ ℋ)
52		hvaddcl 28773	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ·ℎ (𝐹‘𝑓)) ∈ ℋ ∧ (𝐹‘𝑧) ∈ ℋ) → ((𝑥 ·ℎ (𝐹‘𝑓)) +ℎ (𝐹‘𝑧)) ∈ ℋ)
53	41, 43, 52	syl2an 597	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑓 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑥 ·ℎ (𝐹‘𝑓)) +ℎ (𝐹‘𝑧)) ∈ ℋ)
54		hial2eq2 28868	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹‘((𝑥 ·ℎ 𝑓) +ℎ 𝑧)) ∈ ℋ ∧ ((𝑥 ·ℎ (𝐹‘𝑓)) +ℎ (𝐹‘𝑧)) ∈ ℋ) → (∀𝑡 ∈ ℋ (𝑡 ·ih (𝐹‘((𝑥 ·ℎ 𝑓) +ℎ 𝑧))) = (𝑡 ·ih ((𝑥 ·ℎ (𝐹‘𝑓)) +ℎ (𝐹‘𝑧))) ↔ (𝐹‘((𝑥 ·ℎ 𝑓) +ℎ 𝑧)) = ((𝑥 ·ℎ (𝐹‘𝑓)) +ℎ (𝐹‘𝑧))))
55	51, 53, 54	syl2anc 586	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑓 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (∀𝑡 ∈ ℋ (𝑡 ·ih (𝐹‘((𝑥 ·ℎ 𝑓) +ℎ 𝑧))) = (𝑡 ·ih ((𝑥 ·ℎ (𝐹‘𝑓)) +ℎ (𝐹‘𝑧))) ↔ (𝐹‘((𝑥 ·ℎ 𝑓) +ℎ 𝑧)) = ((𝑥 ·ℎ (𝐹‘𝑓)) +ℎ (𝐹‘𝑧))))
56	49, 55	mpbid 234	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑓 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (𝐹‘((𝑥 ·ℎ 𝑓) +ℎ 𝑧)) = ((𝑥 ·ℎ (𝐹‘𝑓)) +ℎ (𝐹‘𝑧)))
57	56	ralrimiva 3182	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑓 ∈ ℋ) → ∀𝑧 ∈ ℋ (𝐹‘((𝑥 ·ℎ 𝑓) +ℎ 𝑧)) = ((𝑥 ·ℎ (𝐹‘𝑓)) +ℎ (𝐹‘𝑧)))
58	57	rgen2 3203	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑓 ∈ ℋ ∀𝑧 ∈ ℋ (𝐹‘((𝑥 ·ℎ 𝑓) +ℎ 𝑧)) = ((𝑥 ·ℎ (𝐹‘𝑓)) +ℎ (𝐹‘𝑧))
59		ellnop 29619	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ LinOp ↔ (𝐹: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑓 ∈ ℋ ∀𝑧 ∈ ℋ (𝐹‘((𝑥 ·ℎ 𝑓) +ℎ 𝑧)) = ((𝑥 ·ℎ (𝐹‘𝑓)) +ℎ (𝐹‘𝑧))))
60	7, 58, 59	mpbir2an 709	1 ⊢ 𝐹 ∈ LinOp

Syntax hints:   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  ∀wral 3138   ↦ cmpt 5132  ⟶wf 6337  ‘cfv 6341  ℩crio 7099  (class class class)co 7142  ℂcc 10521   + caddc 10526   · cmul 10528  ∗ccj 14440   ℋchba 28680   +_ℎ cva 28681   ·_ℎ csm 28682   ·_ih csp 28683  ContOpccop 28707  LinOpclo 28708

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5252  ax-pr 5316  ax-un 7447  ax-inf2 9090  ax-cc 9843  ax-cnex 10579  ax-resscn 10580  ax-1cn 10581  ax-icn 10582  ax-addcl 10583  ax-addrcl 10584  ax-mulcl 10585  ax-mulrcl 10586  ax-mulcom 10587  ax-addass 10588  ax-mulass 10589  ax-distr 10590  ax-i2m1 10591  ax-1ne0 10592  ax-1rid 10593  ax-rnegex 10594  ax-rrecex 10595  ax-cnre 10596  ax-pre-lttri 10597  ax-pre-lttrn 10598  ax-pre-ltadd 10599  ax-pre-mulgt0 10600  ax-pre-sup 10601  ax-addf 10602  ax-mulf 10603  ax-hilex 28760  ax-hfvadd 28761  ax-hvcom 28762  ax-hvass 28763  ax-hv0cl 28764  ax-hvaddid 28765  ax-hfvmul 28766  ax-hvmulid 28767  ax-hvmulass 28768  ax-hvdistr1 28769  ax-hvdistr2 28770  ax-hvmul0 28771  ax-hfi 28840  ax-his1 28843  ax-his2 28844  ax-his3 28845  ax-his4 28846  ax-hcompl 28963

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3488  df-sbc 3764  df-csb 3872  df-dif 3927  df-un 3929  df-in 3931  df-ss 3940  df-pss 3942  df-nul 4280  df-if 4454  df-pw 4527  df-sn 4554  df-pr 4556  df-tp 4558  df-op 4560  df-uni 4825  df-int 4863  df-iun 4907  df-iin 4908  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5446  df-eprel 5451  df-po 5460  df-so 5461  df-fr 5500  df-se 5501  df-we 5502  df-xp 5547  df-rel 5548  df-cnv 5549  df-co 5550  df-dm 5551  df-rn 5552  df-res 5553  df-ima 5554  df-pred 6134  df-ord 6180  df-on 6181  df-lim 6182  df-suc 6183  df-iota 6300  df-fun 6343  df-fn 6344  df-f 6345  df-f1 6346  df-fo 6347  df-f1o 6348  df-fv 6349  df-isom 6350  df-riota 7100  df-ov 7145  df-oprab 7146  df-mpo 7147  df-of 7395  df-om 7567  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-supp 7817  df-wrecs 7933  df-recs 7994  df-rdg 8032  df-1o 8088  df-2o 8089  df-oadd 8092  df-omul 8093  df-er 8275  df-map 8394  df-pm 8395  df-ixp 8448  df-en 8496  df-dom 8497  df-sdom 8498  df-fin 8499  df-fsupp 8820  df-fi 8861  df-sup 8892  df-inf 8893  df-oi 8960  df-card 9354  df-acn 9357  df-pnf 10663  df-mnf 10664  df-xr 10665  df-ltxr 10666  df-le 10667  df-sub 10858  df-neg 10859  df-div 11284  df-nn 11625  df-2 11687  df-3 11688  df-4 11689  df-5 11690  df-6 11691  df-7 11692  df-8 11693  df-9 11694  df-n0 11885  df-z 11969  df-dec 12086  df-uz 12231  df-q 12336  df-rp 12377  df-xneg 12494  df-xadd 12495  df-xmul 12496  df-ioo 12729  df-ico 12731  df-icc 12732  df-fz 12883  df-fzo 13024  df-fl 13152  df-seq 13360  df-exp 13420  df-hash 13681  df-cj 14443  df-re 14444  df-im 14445  df-sqrt 14579  df-abs 14580  df-clim 14830  df-rlim 14831  df-sum 15028  df-struct 16468  df-ndx 16469  df-slot 16470  df-base 16472  df-sets 16473  df-ress 16474  df-plusg 16561  df-mulr 16562  df-starv 16563  df-sca 16564  df-vsca 16565  df-ip 16566  df-tset 16567  df-ple 16568  df-ds 16570  df-unif 16571  df-hom 16572  df-cco 16573  df-rest 16679  df-topn 16680  df-0g 16698  df-gsum 16699  df-topgen 16700  df-pt 16701  df-prds 16704  df-xrs 16758  df-qtop 16763  df-imas 16764  df-xps 16766  df-mre 16840  df-mrc 16841  df-acs 16843  df-mgm 17835  df-sgrp 17884  df-mnd 17895  df-submnd 17940  df-mulg 18208  df-cntz 18430  df-cmn 18891  df-psmet 20520  df-xmet 20521  df-met 20522  df-bl 20523  df-mopn 20524  df-fbas 20525  df-fg 20526  df-cnfld 20529  df-top 21485  df-topon 21502  df-topsp 21524  df-bases 21537  df-cld 21610  df-ntr 21611  df-cls 21612  df-nei 21689  df-cn 21818  df-cnp 21819  df-lm 21820  df-t1 21905  df-haus 21906  df-tx 22153  df-hmeo 22346  df-fil 22437  df-fm 22529  df-flim 22530  df-flf 22531  df-xms 22913  df-ms 22914  df-tms 22915  df-cfil 23841  df-cau 23842  df-cmet 23843  df-grpo 28254  df-gid 28255  df-ginv 28256  df-gdiv 28257  df-ablo 28306  df-vc 28320  df-nv 28353  df-va 28356  df-ba 28357  df-sm 28358  df-0v 28359  df-vs 28360  df-nmcv 28361  df-ims 28362  df-dip 28462  df-ssp 28483  df-ph 28574  df-cbn 28624  df-hnorm 28729  df-hba 28730  df-hvsub 28732  df-hlim 28733  df-hcau 28734  df-sh 28968  df-ch 28982  df-oc 29013  df-ch0 29014  df-nmop 29600  df-cnop 29601  df-lnop 29602  df-nmfn 29606  df-nlfn 29607  df-cnfn 29608  df-lnfn 29609

This theorem is referenced by:  cnlnadjlem8  29835  cnlnadjlem9  29836