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Theorem lnopunilem1 28056
Description: Lemma for lnopunii 28058. (Contributed by NM, 14-May-2005.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
lnopunilem.1 𝑇 ∈ LinOp
lnopunilem.2 𝑥 ∈ ℋ (norm‘(𝑇𝑥)) = (norm𝑥)
lnopunilem.3 𝐴 ∈ ℋ
lnopunilem.4 𝐵 ∈ ℋ
lnopunilem1.5 𝐶 ∈ ℂ
Assertion
Ref Expression
lnopunilem1 (ℜ‘(𝐶 · ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐵)))) = (ℜ‘(𝐶 · (𝐴 ·ih 𝐵)))
Distinct variable group:   𝑥,𝑇
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)

Proof of Theorem lnopunilem1
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lnopunilem1.5 . . . 4 𝐶 ∈ ℂ
2 lnopunilem.3 . . . . . 6 𝐴 ∈ ℋ
3 lnopunilem.1 . . . . . . . 8 𝑇 ∈ LinOp
43lnopfi 28015 . . . . . . 7 𝑇: ℋ⟶ ℋ
54ffvelrni 6248 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℋ → (𝑇𝐴) ∈ ℋ)
62, 5ax-mp 5 . . . . 5 (𝑇𝐴) ∈ ℋ
7 lnopunilem.4 . . . . . 6 𝐵 ∈ ℋ
84ffvelrni 6248 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℋ → (𝑇𝐵) ∈ ℋ)
97, 8ax-mp 5 . . . . 5 (𝑇𝐵) ∈ ℋ
106, 9hicli 27125 . . . 4 ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐵)) ∈ ℂ
111, 10mulcli 9898 . . 3 (𝐶 · ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐵))) ∈ ℂ
12 reval 13637 . . 3 ((𝐶 · ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐵))) ∈ ℂ → (ℜ‘(𝐶 · ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐵)))) = (((𝐶 · ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐵))) + (∗‘(𝐶 · ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐵))))) / 2))
1311, 12ax-mp 5 . 2 (ℜ‘(𝐶 · ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐵)))) = (((𝐶 · ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐵))) + (∗‘(𝐶 · ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐵))))) / 2)
142, 7hicli 27125 . . . . 5 (𝐴 ·ih 𝐵) ∈ ℂ
151, 14mulcli 9898 . . . 4 (𝐶 · (𝐴 ·ih 𝐵)) ∈ ℂ
16 reval 13637 . . . 4 ((𝐶 · (𝐴 ·ih 𝐵)) ∈ ℂ → (ℜ‘(𝐶 · (𝐴 ·ih 𝐵))) = (((𝐶 · (𝐴 ·ih 𝐵)) + (∗‘(𝐶 · (𝐴 ·ih 𝐵)))) / 2))
1715, 16ax-mp 5 . . 3 (ℜ‘(𝐶 · (𝐴 ·ih 𝐵))) = (((𝐶 · (𝐴 ·ih 𝐵)) + (∗‘(𝐶 · (𝐴 ·ih 𝐵)))) / 2)
18 lnopunilem.2 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥 ∈ ℋ (norm‘(𝑇𝑥)) = (norm𝑥)
19 fveq2 6085 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑦 → (𝑇𝑥) = (𝑇𝑦))
2019fveq2d 6089 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑦 → (norm‘(𝑇𝑥)) = (norm‘(𝑇𝑦)))
21 fveq2 6085 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑦 → (norm𝑥) = (norm𝑦))
2220, 21eqeq12d 2621 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑦 → ((norm‘(𝑇𝑥)) = (norm𝑥) ↔ (norm‘(𝑇𝑦)) = (norm𝑦)))
2322cbvralv 3143 . . . . . . . . . . . . 13 (∀𝑥 ∈ ℋ (norm‘(𝑇𝑥)) = (norm𝑥) ↔ ∀𝑦 ∈ ℋ (norm‘(𝑇𝑦)) = (norm𝑦))
2418, 23mpbi 218 . . . . . . . . . . . 12 𝑦 ∈ ℋ (norm‘(𝑇𝑦)) = (norm𝑦)
25 oveq1 6531 . . . . . . . . . . . . . 14 ((norm‘(𝑇𝑦)) = (norm𝑦) → ((norm‘(𝑇𝑦))↑2) = ((norm𝑦)↑2))
264ffvelrni 6248 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 ∈ ℋ → (𝑇𝑦) ∈ ℋ)
27 normsq 27178 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑇𝑦) ∈ ℋ → ((norm‘(𝑇𝑦))↑2) = ((𝑇𝑦) ·ih (𝑇𝑦)))
2826, 27syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ∈ ℋ → ((norm‘(𝑇𝑦))↑2) = ((𝑇𝑦) ·ih (𝑇𝑦)))
29 normsq 27178 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ∈ ℋ → ((norm𝑦)↑2) = (𝑦 ·ih 𝑦))
3028, 29eqeq12d 2621 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ ℋ → (((norm‘(𝑇𝑦))↑2) = ((norm𝑦)↑2) ↔ ((𝑇𝑦) ·ih (𝑇𝑦)) = (𝑦 ·ih 𝑦)))
3125, 30syl5ib 232 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ ℋ → ((norm‘(𝑇𝑦)) = (norm𝑦) → ((𝑇𝑦) ·ih (𝑇𝑦)) = (𝑦 ·ih 𝑦)))
3231ralimia 2930 . . . . . . . . . . . 12 (∀𝑦 ∈ ℋ (norm‘(𝑇𝑦)) = (norm𝑦) → ∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑇𝑦) ·ih (𝑇𝑦)) = (𝑦 ·ih 𝑦))
3324, 32ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 𝑦 ∈ ℋ ((𝑇𝑦) ·ih (𝑇𝑦)) = (𝑦 ·ih 𝑦)
34 fveq2 6085 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = 𝐴 → (𝑇𝑦) = (𝑇𝐴))
3534, 34oveq12d 6542 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = 𝐴 → ((𝑇𝑦) ·ih (𝑇𝑦)) = ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐴)))
36 id 22 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = 𝐴𝑦 = 𝐴)
3736, 36oveq12d 6542 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = 𝐴 → (𝑦 ·ih 𝑦) = (𝐴 ·ih 𝐴))
3835, 37eqeq12d 2621 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = 𝐴 → (((𝑇𝑦) ·ih (𝑇𝑦)) = (𝑦 ·ih 𝑦) ↔ ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐴)) = (𝐴 ·ih 𝐴)))
3938rspcv 3274 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℋ → (∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑇𝑦) ·ih (𝑇𝑦)) = (𝑦 ·ih 𝑦) → ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐴)) = (𝐴 ·ih 𝐴)))
402, 33, 39mp2 9 . . . . . . . . . 10 ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐴)) = (𝐴 ·ih 𝐴)
4140oveq2i 6535 . . . . . . . . 9 ((∗‘𝐶) · ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐴))) = ((∗‘𝐶) · (𝐴 ·ih 𝐴))
4241oveq2i 6535 . . . . . . . 8 (𝐶 · ((∗‘𝐶) · ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐴)))) = (𝐶 · ((∗‘𝐶) · (𝐴 ·ih 𝐴)))
43 fveq2 6085 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = 𝐵 → (𝑇𝑦) = (𝑇𝐵))
4443, 43oveq12d 6542 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝐵 → ((𝑇𝑦) ·ih (𝑇𝑦)) = ((𝑇𝐵) ·ih (𝑇𝐵)))
45 id 22 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = 𝐵𝑦 = 𝐵)
4645, 45oveq12d 6542 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝐵 → (𝑦 ·ih 𝑦) = (𝐵 ·ih 𝐵))
4744, 46eqeq12d 2621 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝐵 → (((𝑇𝑦) ·ih (𝑇𝑦)) = (𝑦 ·ih 𝑦) ↔ ((𝑇𝐵) ·ih (𝑇𝐵)) = (𝐵 ·ih 𝐵)))
4847rspcv 3274 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ ℋ → (∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑇𝑦) ·ih (𝑇𝑦)) = (𝑦 ·ih 𝑦) → ((𝑇𝐵) ·ih (𝑇𝐵)) = (𝐵 ·ih 𝐵)))
497, 33, 48mp2 9 . . . . . . . 8 ((𝑇𝐵) ·ih (𝑇𝐵)) = (𝐵 ·ih 𝐵)
5042, 49oveq12i 6536 . . . . . . 7 ((𝐶 · ((∗‘𝐶) · ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐴)))) + ((𝑇𝐵) ·ih (𝑇𝐵))) = ((𝐶 · ((∗‘𝐶) · (𝐴 ·ih 𝐴))) + (𝐵 ·ih 𝐵))
5150oveq1i 6534 . . . . . 6 (((𝐶 · ((∗‘𝐶) · ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐴)))) + ((𝑇𝐵) ·ih (𝑇𝐵))) + ((𝐶 · ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐵))) + (∗‘(𝐶 · ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐵)))))) = (((𝐶 · ((∗‘𝐶) · (𝐴 ·ih 𝐴))) + (𝐵 ·ih 𝐵)) + ((𝐶 · ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐵))) + (∗‘(𝐶 · ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐵))))))
521cjcli 13700 . . . . . . . . . 10 (∗‘𝐶) ∈ ℂ
536, 6hicli 27125 . . . . . . . . . 10 ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐴)) ∈ ℂ
5452, 53mulcli 9898 . . . . . . . . 9 ((∗‘𝐶) · ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐴))) ∈ ℂ
551, 54mulcli 9898 . . . . . . . 8 (𝐶 · ((∗‘𝐶) · ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐴)))) ∈ ℂ
569, 9hicli 27125 . . . . . . . 8 ((𝑇𝐵) ·ih (𝑇𝐵)) ∈ ℂ
5711cjcli 13700 . . . . . . . 8 (∗‘(𝐶 · ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐵)))) ∈ ℂ
5855, 56, 11, 57add42i 10109 . . . . . . 7 (((𝐶 · ((∗‘𝐶) · ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐴)))) + ((𝑇𝐵) ·ih (𝑇𝐵))) + ((𝐶 · ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐵))) + (∗‘(𝐶 · ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐵)))))) = (((𝐶 · ((∗‘𝐶) · ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐴)))) + (𝐶 · ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐵)))) + ((∗‘(𝐶 · ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐵)))) + ((𝑇𝐵) ·ih (𝑇𝐵))))
592, 2hicli 27125 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ·ih 𝐴) ∈ ℂ
6052, 59mulcli 9898 . . . . . . . . . 10 ((∗‘𝐶) · (𝐴 ·ih 𝐴)) ∈ ℂ
611, 60mulcli 9898 . . . . . . . . 9 (𝐶 · ((∗‘𝐶) · (𝐴 ·ih 𝐴))) ∈ ℂ
627, 7hicli 27125 . . . . . . . . 9 (𝐵 ·ih 𝐵) ∈ ℂ
6315cjcli 13700 . . . . . . . . 9 (∗‘(𝐶 · (𝐴 ·ih 𝐵))) ∈ ℂ
6461, 62, 15, 63add42i 10109 . . . . . . . 8 (((𝐶 · ((∗‘𝐶) · (𝐴 ·ih 𝐴))) + (𝐵 ·ih 𝐵)) + ((𝐶 · (𝐴 ·ih 𝐵)) + (∗‘(𝐶 · (𝐴 ·ih 𝐵))))) = (((𝐶 · ((∗‘𝐶) · (𝐴 ·ih 𝐴))) + (𝐶 · (𝐴 ·ih 𝐵))) + ((∗‘(𝐶 · (𝐴 ·ih 𝐵))) + (𝐵 ·ih 𝐵)))
651, 2hvmulcli 27058 . . . . . . . . . . . 12 (𝐶 · 𝐴) ∈ ℋ
6665, 7hvaddcli 27062 . . . . . . . . . . 11 ((𝐶 · 𝐴) + 𝐵) ∈ ℋ
67 fveq2 6085 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = ((𝐶 · 𝐴) + 𝐵) → (𝑇𝑦) = (𝑇‘((𝐶 · 𝐴) + 𝐵)))
6867, 67oveq12d 6542 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = ((𝐶 · 𝐴) + 𝐵) → ((𝑇𝑦) ·ih (𝑇𝑦)) = ((𝑇‘((𝐶 · 𝐴) + 𝐵)) ·ih (𝑇‘((𝐶 · 𝐴) + 𝐵))))
69 id 22 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = ((𝐶 · 𝐴) + 𝐵) → 𝑦 = ((𝐶 · 𝐴) + 𝐵))
7069, 69oveq12d 6542 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = ((𝐶 · 𝐴) + 𝐵) → (𝑦 ·ih 𝑦) = (((𝐶 · 𝐴) + 𝐵) ·ih ((𝐶 · 𝐴) + 𝐵)))
7168, 70eqeq12d 2621 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = ((𝐶 · 𝐴) + 𝐵) → (((𝑇𝑦) ·ih (𝑇𝑦)) = (𝑦 ·ih 𝑦) ↔ ((𝑇‘((𝐶 · 𝐴) + 𝐵)) ·ih (𝑇‘((𝐶 · 𝐴) + 𝐵))) = (((𝐶 · 𝐴) + 𝐵) ·ih ((𝐶 · 𝐴) + 𝐵))))
7271rspcv 3274 . . . . . . . . . . 11 (((𝐶 · 𝐴) + 𝐵) ∈ ℋ → (∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑇𝑦) ·ih (𝑇𝑦)) = (𝑦 ·ih 𝑦) → ((𝑇‘((𝐶 · 𝐴) + 𝐵)) ·ih (𝑇‘((𝐶 · 𝐴) + 𝐵))) = (((𝐶 · 𝐴) + 𝐵) ·ih ((𝐶 · 𝐴) + 𝐵))))
7366, 33, 72mp2 9 . . . . . . . . . 10 ((𝑇‘((𝐶 · 𝐴) + 𝐵)) ·ih (𝑇‘((𝐶 · 𝐴) + 𝐵))) = (((𝐶 · 𝐴) + 𝐵) ·ih ((𝐶 · 𝐴) + 𝐵))
74 ax-his2 27127 . . . . . . . . . . 11 (((𝐶 · 𝐴) ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ ((𝐶 · 𝐴) + 𝐵) ∈ ℋ) → (((𝐶 · 𝐴) + 𝐵) ·ih ((𝐶 · 𝐴) + 𝐵)) = (((𝐶 · 𝐴) ·ih ((𝐶 · 𝐴) + 𝐵)) + (𝐵 ·ih ((𝐶 · 𝐴) + 𝐵))))
7565, 7, 66, 74mp3an 1415 . . . . . . . . . 10 (((𝐶 · 𝐴) + 𝐵) ·ih ((𝐶 · 𝐴) + 𝐵)) = (((𝐶 · 𝐴) ·ih ((𝐶 · 𝐴) + 𝐵)) + (𝐵 ·ih ((𝐶 · 𝐴) + 𝐵)))
76 ax-his3 27128 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℋ ∧ ((𝐶 · 𝐴) + 𝐵) ∈ ℋ) → ((𝐶 · 𝐴) ·ih ((𝐶 · 𝐴) + 𝐵)) = (𝐶 · (𝐴 ·ih ((𝐶 · 𝐴) + 𝐵))))
771, 2, 66, 76mp3an 1415 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐶 · 𝐴) ·ih ((𝐶 · 𝐴) + 𝐵)) = (𝐶 · (𝐴 ·ih ((𝐶 · 𝐴) + 𝐵)))
78 his7 27134 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ (𝐶 · 𝐴) ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ih ((𝐶 · 𝐴) + 𝐵)) = ((𝐴 ·ih (𝐶 · 𝐴)) + (𝐴 ·ih 𝐵)))
792, 65, 7, 78mp3an 1415 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ·ih ((𝐶 · 𝐴) + 𝐵)) = ((𝐴 ·ih (𝐶 · 𝐴)) + (𝐴 ·ih 𝐵))
80 his5 27130 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ih (𝐶 · 𝐴)) = ((∗‘𝐶) · (𝐴 ·ih 𝐴)))
811, 2, 2, 80mp3an 1415 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ·ih (𝐶 · 𝐴)) = ((∗‘𝐶) · (𝐴 ·ih 𝐴))
8281oveq1i 6534 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ·ih (𝐶 · 𝐴)) + (𝐴 ·ih 𝐵)) = (((∗‘𝐶) · (𝐴 ·ih 𝐴)) + (𝐴 ·ih 𝐵))
8379, 82eqtri 2628 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ·ih ((𝐶 · 𝐴) + 𝐵)) = (((∗‘𝐶) · (𝐴 ·ih 𝐴)) + (𝐴 ·ih 𝐵))
8483oveq2i 6535 . . . . . . . . . . . 12 (𝐶 · (𝐴 ·ih ((𝐶 · 𝐴) + 𝐵))) = (𝐶 · (((∗‘𝐶) · (𝐴 ·ih 𝐴)) + (𝐴 ·ih 𝐵)))
851, 60, 14adddii 9903 . . . . . . . . . . . 12 (𝐶 · (((∗‘𝐶) · (𝐴 ·ih 𝐴)) + (𝐴 ·ih 𝐵))) = ((𝐶 · ((∗‘𝐶) · (𝐴 ·ih 𝐴))) + (𝐶 · (𝐴 ·ih 𝐵)))
8677, 84, 853eqtri 2632 . . . . . . . . . . 11 ((𝐶 · 𝐴) ·ih ((𝐶 · 𝐴) + 𝐵)) = ((𝐶 · ((∗‘𝐶) · (𝐴 ·ih 𝐴))) + (𝐶 · (𝐴 ·ih 𝐵)))
87 his7 27134 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐵 ∈ ℋ ∧ (𝐶 · 𝐴) ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐵 ·ih ((𝐶 · 𝐴) + 𝐵)) = ((𝐵 ·ih (𝐶 · 𝐴)) + (𝐵 ·ih 𝐵)))
887, 65, 7, 87mp3an 1415 . . . . . . . . . . . 12 (𝐵 ·ih ((𝐶 · 𝐴) + 𝐵)) = ((𝐵 ·ih (𝐶 · 𝐴)) + (𝐵 ·ih 𝐵))
89 his5 27130 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (𝐵 ·ih (𝐶 · 𝐴)) = ((∗‘𝐶) · (𝐵 ·ih 𝐴)))
901, 7, 2, 89mp3an 1415 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐵 ·ih (𝐶 · 𝐴)) = ((∗‘𝐶) · (𝐵 ·ih 𝐴))
911, 14cjmuli 13720 . . . . . . . . . . . . . . 15 (∗‘(𝐶 · (𝐴 ·ih 𝐵))) = ((∗‘𝐶) · (∗‘(𝐴 ·ih 𝐵)))
927, 2his1i 27144 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐵 ·ih 𝐴) = (∗‘(𝐴 ·ih 𝐵))
9392oveq2i 6535 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((∗‘𝐶) · (𝐵 ·ih 𝐴)) = ((∗‘𝐶) · (∗‘(𝐴 ·ih 𝐵)))
9491, 93eqtr4i 2631 . . . . . . . . . . . . . 14 (∗‘(𝐶 · (𝐴 ·ih 𝐵))) = ((∗‘𝐶) · (𝐵 ·ih 𝐴))
9590, 94eqtr4i 2631 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐵 ·ih (𝐶 · 𝐴)) = (∗‘(𝐶 · (𝐴 ·ih 𝐵)))
9695oveq1i 6534 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐵 ·ih (𝐶 · 𝐴)) + (𝐵 ·ih 𝐵)) = ((∗‘(𝐶 · (𝐴 ·ih 𝐵))) + (𝐵 ·ih 𝐵))
9788, 96eqtri 2628 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 ·ih ((𝐶 · 𝐴) + 𝐵)) = ((∗‘(𝐶 · (𝐴 ·ih 𝐵))) + (𝐵 ·ih 𝐵))
9886, 97oveq12i 6536 . . . . . . . . . 10 (((𝐶 · 𝐴) ·ih ((𝐶 · 𝐴) + 𝐵)) + (𝐵 ·ih ((𝐶 · 𝐴) + 𝐵))) = (((𝐶 · ((∗‘𝐶) · (𝐴 ·ih 𝐴))) + (𝐶 · (𝐴 ·ih 𝐵))) + ((∗‘(𝐶 · (𝐴 ·ih 𝐵))) + (𝐵 ·ih 𝐵)))
9973, 75, 983eqtrri 2633 . . . . . . . . 9 (((𝐶 · ((∗‘𝐶) · (𝐴 ·ih 𝐴))) + (𝐶 · (𝐴 ·ih 𝐵))) + ((∗‘(𝐶 · (𝐴 ·ih 𝐵))) + (𝐵 ·ih 𝐵))) = ((𝑇‘((𝐶 · 𝐴) + 𝐵)) ·ih (𝑇‘((𝐶 · 𝐴) + 𝐵)))
1003lnopli 28014 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝑇‘((𝐶 · 𝐴) + 𝐵)) = ((𝐶 · (𝑇𝐴)) + (𝑇𝐵)))
1011, 2, 7, 100mp3an 1415 . . . . . . . . . . 11 (𝑇‘((𝐶 · 𝐴) + 𝐵)) = ((𝐶 · (𝑇𝐴)) + (𝑇𝐵))
102101, 101oveq12i 6536 . . . . . . . . . 10 ((𝑇‘((𝐶 · 𝐴) + 𝐵)) ·ih (𝑇‘((𝐶 · 𝐴) + 𝐵))) = (((𝐶 · (𝑇𝐴)) + (𝑇𝐵)) ·ih ((𝐶 · (𝑇𝐴)) + (𝑇𝐵)))
1031, 6hvmulcli 27058 . . . . . . . . . . 11 (𝐶 · (𝑇𝐴)) ∈ ℋ
104103, 9hvaddcli 27062 . . . . . . . . . . 11 ((𝐶 · (𝑇𝐴)) + (𝑇𝐵)) ∈ ℋ
105 ax-his2 27127 . . . . . . . . . . 11 (((𝐶 · (𝑇𝐴)) ∈ ℋ ∧ (𝑇𝐵) ∈ ℋ ∧ ((𝐶 · (𝑇𝐴)) + (𝑇𝐵)) ∈ ℋ) → (((𝐶 · (𝑇𝐴)) + (𝑇𝐵)) ·ih ((𝐶 · (𝑇𝐴)) + (𝑇𝐵))) = (((𝐶 · (𝑇𝐴)) ·ih ((𝐶 · (𝑇𝐴)) + (𝑇𝐵))) + ((𝑇𝐵) ·ih ((𝐶 · (𝑇𝐴)) + (𝑇𝐵)))))
106103, 9, 104, 105mp3an 1415 . . . . . . . . . 10 (((𝐶 · (𝑇𝐴)) + (𝑇𝐵)) ·ih ((𝐶 · (𝑇𝐴)) + (𝑇𝐵))) = (((𝐶 · (𝑇𝐴)) ·ih ((𝐶 · (𝑇𝐴)) + (𝑇𝐵))) + ((𝑇𝐵) ·ih ((𝐶 · (𝑇𝐴)) + (𝑇𝐵))))
107102, 106eqtri 2628 . . . . . . . . 9 ((𝑇‘((𝐶 · 𝐴) + 𝐵)) ·ih (𝑇‘((𝐶 · 𝐴) + 𝐵))) = (((𝐶 · (𝑇𝐴)) ·ih ((𝐶 · (𝑇𝐴)) + (𝑇𝐵))) + ((𝑇𝐵) ·ih ((𝐶 · (𝑇𝐴)) + (𝑇𝐵))))
108 ax-his3 27128 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐶 ∈ ℂ ∧ (𝑇𝐴) ∈ ℋ ∧ ((𝐶 · (𝑇𝐴)) + (𝑇𝐵)) ∈ ℋ) → ((𝐶 · (𝑇𝐴)) ·ih ((𝐶 · (𝑇𝐴)) + (𝑇𝐵))) = (𝐶 · ((𝑇𝐴) ·ih ((𝐶 · (𝑇𝐴)) + (𝑇𝐵)))))
1091, 6, 104, 108mp3an 1415 . . . . . . . . . . 11 ((𝐶 · (𝑇𝐴)) ·ih ((𝐶 · (𝑇𝐴)) + (𝑇𝐵))) = (𝐶 · ((𝑇𝐴) ·ih ((𝐶 · (𝑇𝐴)) + (𝑇𝐵))))
110 his7 27134 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑇𝐴) ∈ ℋ ∧ (𝐶 · (𝑇𝐴)) ∈ ℋ ∧ (𝑇𝐵) ∈ ℋ) → ((𝑇𝐴) ·ih ((𝐶 · (𝑇𝐴)) + (𝑇𝐵))) = (((𝑇𝐴) ·ih (𝐶 · (𝑇𝐴))) + ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐵))))
1116, 103, 9, 110mp3an 1415 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑇𝐴) ·ih ((𝐶 · (𝑇𝐴)) + (𝑇𝐵))) = (((𝑇𝐴) ·ih (𝐶 · (𝑇𝐴))) + ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐵)))
112 his5 27130 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐶 ∈ ℂ ∧ (𝑇𝐴) ∈ ℋ ∧ (𝑇𝐴) ∈ ℋ) → ((𝑇𝐴) ·ih (𝐶 · (𝑇𝐴))) = ((∗‘𝐶) · ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐴))))
1131, 6, 6, 112mp3an 1415 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑇𝐴) ·ih (𝐶 · (𝑇𝐴))) = ((∗‘𝐶) · ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐴)))
114113oveq1i 6534 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑇𝐴) ·ih (𝐶 · (𝑇𝐴))) + ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐵))) = (((∗‘𝐶) · ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐴))) + ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐵)))
115111, 114eqtri 2628 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑇𝐴) ·ih ((𝐶 · (𝑇𝐴)) + (𝑇𝐵))) = (((∗‘𝐶) · ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐴))) + ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐵)))
116115oveq2i 6535 . . . . . . . . . . 11 (𝐶 · ((𝑇𝐴) ·ih ((𝐶 · (𝑇𝐴)) + (𝑇𝐵)))) = (𝐶 · (((∗‘𝐶) · ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐴))) + ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐵))))
1171, 54, 10adddii 9903 . . . . . . . . . . 11 (𝐶 · (((∗‘𝐶) · ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐴))) + ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐵)))) = ((𝐶 · ((∗‘𝐶) · ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐴)))) + (𝐶 · ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐵))))
118109, 116, 1173eqtri 2632 . . . . . . . . . 10 ((𝐶 · (𝑇𝐴)) ·ih ((𝐶 · (𝑇𝐴)) + (𝑇𝐵))) = ((𝐶 · ((∗‘𝐶) · ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐴)))) + (𝐶 · ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐵))))
119 his7 27134 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑇𝐵) ∈ ℋ ∧ (𝐶 · (𝑇𝐴)) ∈ ℋ ∧ (𝑇𝐵) ∈ ℋ) → ((𝑇𝐵) ·ih ((𝐶 · (𝑇𝐴)) + (𝑇𝐵))) = (((𝑇𝐵) ·ih (𝐶 · (𝑇𝐴))) + ((𝑇𝐵) ·ih (𝑇𝐵))))
1209, 103, 9, 119mp3an 1415 . . . . . . . . . . 11 ((𝑇𝐵) ·ih ((𝐶 · (𝑇𝐴)) + (𝑇𝐵))) = (((𝑇𝐵) ·ih (𝐶 · (𝑇𝐴))) + ((𝑇𝐵) ·ih (𝑇𝐵)))
121 his5 27130 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐶 ∈ ℂ ∧ (𝑇𝐵) ∈ ℋ ∧ (𝑇𝐴) ∈ ℋ) → ((𝑇𝐵) ·ih (𝐶 · (𝑇𝐴))) = ((∗‘𝐶) · ((𝑇𝐵) ·ih (𝑇𝐴))))
1221, 9, 6, 121mp3an 1415 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑇𝐵) ·ih (𝐶 · (𝑇𝐴))) = ((∗‘𝐶) · ((𝑇𝐵) ·ih (𝑇𝐴)))
1231, 10cjmuli 13720 . . . . . . . . . . . . . 14 (∗‘(𝐶 · ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐵)))) = ((∗‘𝐶) · (∗‘((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐵))))
1249, 6his1i 27144 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑇𝐵) ·ih (𝑇𝐴)) = (∗‘((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐵)))
125124oveq2i 6535 . . . . . . . . . . . . . 14 ((∗‘𝐶) · ((𝑇𝐵) ·ih (𝑇𝐴))) = ((∗‘𝐶) · (∗‘((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐵))))
126123, 125eqtr4i 2631 . . . . . . . . . . . . 13 (∗‘(𝐶 · ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐵)))) = ((∗‘𝐶) · ((𝑇𝐵) ·ih (𝑇𝐴)))
127122, 126eqtr4i 2631 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑇𝐵) ·ih (𝐶 · (𝑇𝐴))) = (∗‘(𝐶 · ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐵))))
128127oveq1i 6534 . . . . . . . . . . 11 (((𝑇𝐵) ·ih (𝐶 · (𝑇𝐴))) + ((𝑇𝐵) ·ih (𝑇𝐵))) = ((∗‘(𝐶 · ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐵)))) + ((𝑇𝐵) ·ih (𝑇𝐵)))
129120, 128eqtri 2628 . . . . . . . . . 10 ((𝑇𝐵) ·ih ((𝐶 · (𝑇𝐴)) + (𝑇𝐵))) = ((∗‘(𝐶 · ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐵)))) + ((𝑇𝐵) ·ih (𝑇𝐵)))
130118, 129oveq12i 6536 . . . . . . . . 9 (((𝐶 · (𝑇𝐴)) ·ih ((𝐶 · (𝑇𝐴)) + (𝑇𝐵))) + ((𝑇𝐵) ·ih ((𝐶 · (𝑇𝐴)) + (𝑇𝐵)))) = (((𝐶 · ((∗‘𝐶) · ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐴)))) + (𝐶 · ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐵)))) + ((∗‘(𝐶 · ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐵)))) + ((𝑇𝐵) ·ih (𝑇𝐵))))
13199, 107, 1303eqtrri 2633 . . . . . . . 8 (((𝐶 · ((∗‘𝐶) · ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐴)))) + (𝐶 · ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐵)))) + ((∗‘(𝐶 · ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐵)))) + ((𝑇𝐵) ·ih (𝑇𝐵)))) = (((𝐶 · ((∗‘𝐶) · (𝐴 ·ih 𝐴))) + (𝐶 · (𝐴 ·ih 𝐵))) + ((∗‘(𝐶 · (𝐴 ·ih 𝐵))) + (𝐵 ·ih 𝐵)))
13264, 131eqtr4i 2631 . . . . . . 7 (((𝐶 · ((∗‘𝐶) · (𝐴 ·ih 𝐴))) + (𝐵 ·ih 𝐵)) + ((𝐶 · (𝐴 ·ih 𝐵)) + (∗‘(𝐶 · (𝐴 ·ih 𝐵))))) = (((𝐶 · ((∗‘𝐶) · ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐴)))) + (𝐶 · ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐵)))) + ((∗‘(𝐶 · ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐵)))) + ((𝑇𝐵) ·ih (𝑇𝐵))))
13358, 132eqtr4i 2631 . . . . . 6 (((𝐶 · ((∗‘𝐶) · ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐴)))) + ((𝑇𝐵) ·ih (𝑇𝐵))) + ((𝐶 · ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐵))) + (∗‘(𝐶 · ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐵)))))) = (((𝐶 · ((∗‘𝐶) · (𝐴 ·ih 𝐴))) + (𝐵 ·ih 𝐵)) + ((𝐶 · (𝐴 ·ih 𝐵)) + (∗‘(𝐶 · (𝐴 ·ih 𝐵)))))
13451, 133eqtr3i 2630 . . . . 5 (((𝐶 · ((∗‘𝐶) · (𝐴 ·ih 𝐴))) + (𝐵 ·ih 𝐵)) + ((𝐶 · ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐵))) + (∗‘(𝐶 · ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐵)))))) = (((𝐶 · ((∗‘𝐶) · (𝐴 ·ih 𝐴))) + (𝐵 ·ih 𝐵)) + ((𝐶 · (𝐴 ·ih 𝐵)) + (∗‘(𝐶 · (𝐴 ·ih 𝐵)))))
13561, 62addcli 9897 . . . . . 6 ((𝐶 · ((∗‘𝐶) · (𝐴 ·ih 𝐴))) + (𝐵 ·ih 𝐵)) ∈ ℂ
13611, 57addcli 9897 . . . . . 6 ((𝐶 · ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐵))) + (∗‘(𝐶 · ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐵))))) ∈ ℂ
13715, 63addcli 9897 . . . . . 6 ((𝐶 · (𝐴 ·ih 𝐵)) + (∗‘(𝐶 · (𝐴 ·ih 𝐵)))) ∈ ℂ
138135, 136, 137addcani 10077 . . . . 5 ((((𝐶 · ((∗‘𝐶) · (𝐴 ·ih 𝐴))) + (𝐵 ·ih 𝐵)) + ((𝐶 · ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐵))) + (∗‘(𝐶 · ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐵)))))) = (((𝐶 · ((∗‘𝐶) · (𝐴 ·ih 𝐴))) + (𝐵 ·ih 𝐵)) + ((𝐶 · (𝐴 ·ih 𝐵)) + (∗‘(𝐶 · (𝐴 ·ih 𝐵))))) ↔ ((𝐶 · ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐵))) + (∗‘(𝐶 · ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐵))))) = ((𝐶 · (𝐴 ·ih 𝐵)) + (∗‘(𝐶 · (𝐴 ·ih 𝐵)))))
139134, 138mpbi 218 . . . 4 ((𝐶 · ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐵))) + (∗‘(𝐶 · ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐵))))) = ((𝐶 · (𝐴 ·ih 𝐵)) + (∗‘(𝐶 · (𝐴 ·ih 𝐵))))
140139oveq1i 6534 . . 3 (((𝐶 · ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐵))) + (∗‘(𝐶 · ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐵))))) / 2) = (((𝐶 · (𝐴 ·ih 𝐵)) + (∗‘(𝐶 · (𝐴 ·ih 𝐵)))) / 2)
14117, 140eqtr4i 2631 . 2 (ℜ‘(𝐶 · (𝐴 ·ih 𝐵))) = (((𝐶 · ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐵))) + (∗‘(𝐶 · ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐵))))) / 2)
14213, 141eqtr4i 2631 1 (ℜ‘(𝐶 · ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐵)))) = (ℜ‘(𝐶 · (𝐴 ·ih 𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1474  wcel 1976  wral 2892  cfv 5787  (class class class)co 6524  cc 9787   + caddc 9792   · cmul 9794   / cdiv 10530  2c2 10914  cexp 12674  ccj 13627  cre 13628  chil 26963   + cva 26964   · csm 26965   ·ih csp 26966  normcno 26967  LinOpclo 26991
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2032  ax-13 2229  ax-ext 2586  ax-sep 4700  ax-nul 4709  ax-pow 4761  ax-pr 4825  ax-un 6821  ax-cnex 9845  ax-resscn 9846  ax-1cn 9847  ax-icn 9848  ax-addcl 9849  ax-addrcl 9850  ax-mulcl 9851  ax-mulrcl 9852  ax-mulcom 9853  ax-addass 9854  ax-mulass 9855  ax-distr 9856  ax-i2m1 9857  ax-1ne0 9858  ax-1rid 9859  ax-rnegex 9860  ax-rrecex 9861  ax-cnre 9862  ax-pre-lttri 9863  ax-pre-lttrn 9864  ax-pre-ltadd 9865  ax-pre-mulgt0 9866  ax-pre-sup 9867  ax-hilex 27043  ax-hfvadd 27044  ax-hv0cl 27047  ax-hfvmul 27049  ax-hvmul0 27054  ax-hfi 27123  ax-his1 27126  ax-his2 27127  ax-his3 27128  ax-his4 27129
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2458  df-mo 2459  df-clab 2593  df-cleq 2599  df-clel 2602  df-nfc 2736  df-ne 2778  df-nel 2779  df-ral 2897  df-rex 2898  df-reu 2899  df-rmo 2900  df-rab 2901  df-v 3171  df-sbc 3399  df-csb 3496  df-dif 3539  df-un 3541  df-in 3543  df-ss 3550  df-pss 3552  df-nul 3871  df-if 4033  df-pw 4106  df-sn 4122  df-pr 4124  df-tp 4126  df-op 4128  df-uni 4364  df-iun 4448  df-br 4575  df-opab 4635  df-mpt 4636  df-tr 4672  df-eprel 4936  df-id 4940  df-po 4946  df-so 4947  df-fr 4984  df-we 4986  df-xp 5031  df-rel 5032  df-cnv 5033  df-co 5034  df-dm 5035  df-rn 5036  df-res 5037  df-ima 5038  df-pred 5580  df-ord 5626  df-on 5627  df-lim 5628  df-suc 5629  df-iota 5751  df-fun 5789  df-fn 5790  df-f 5791  df-f1 5792  df-fo 5793  df-f1o 5794  df-fv 5795  df-riota 6486  df-ov 6527  df-oprab 6528  df-mpt2 6529  df-om 6932  df-2nd 7034  df-wrecs 7268  df-recs 7329  df-rdg 7367  df-er 7603  df-map 7720  df-en 7816  df-dom 7817  df-sdom 7818  df-sup 8205  df-pnf 9929  df-mnf 9930  df-xr 9931  df-ltxr 9932  df-le 9933  df-sub 10116  df-neg 10117  df-div 10531  df-nn 10865  df-2 10923  df-3 10924  df-n0 11137  df-z 11208  df-uz 11517  df-rp 11662  df-seq 12616  df-exp 12675  df-cj 13630  df-re 13631  df-im 13632  df-sqrt 13766  df-hnorm 27012  df-lnop 27887
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