Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lcmfledvds Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lcmfledvds 15269
 Description: A positive integer which is divisible by all elements of a set of integers bounds the least common multiple of the set. (Contributed by AV, 22-Aug-2020.) (Proof shortened by AV, 16-Sep-2020.)
Assertion
Ref Expression
lcmfledvds ((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin ∧ 0 ∉ 𝑍) → ((𝐾 ∈ ℕ ∧ ∀𝑚𝑍 𝑚𝐾) → (lcm𝑍) ≤ 𝐾))
Distinct variable groups:   𝑚,𝐾   𝑚,𝑍

Proof of Theorem lcmfledvds
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lcmfn0val 15260 . . . 4 ((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin ∧ 0 ∉ 𝑍) → (lcm𝑍) = inf({𝑘 ∈ ℕ ∣ ∀𝑚𝑍 𝑚𝑘}, ℝ, < ))
21adantr 481 . . 3 (((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin ∧ 0 ∉ 𝑍) ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ ∀𝑚𝑍 𝑚𝐾)) → (lcm𝑍) = inf({𝑘 ∈ ℕ ∣ ∀𝑚𝑍 𝑚𝑘}, ℝ, < ))
3 ssrab2 3666 . . . . . 6 {𝑘 ∈ ℕ ∣ ∀𝑚𝑍 𝑚𝑘} ⊆ ℕ
4 nnuz 11667 . . . . . 6 ℕ = (ℤ‘1)
53, 4sseqtri 3616 . . . . 5 {𝑘 ∈ ℕ ∣ ∀𝑚𝑍 𝑚𝑘} ⊆ (ℤ‘1)
6 simpr 477 . . . . . 6 ((𝑍 ⊆ ℤ ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ ∀𝑚𝑍 𝑚𝐾)) → (𝐾 ∈ ℕ ∧ ∀𝑚𝑍 𝑚𝐾))
7 breq2 4617 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝐾 → (𝑚𝑘𝑚𝐾))
87ralbidv 2980 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝐾 → (∀𝑚𝑍 𝑚𝑘 ↔ ∀𝑚𝑍 𝑚𝐾))
98elrab 3346 . . . . . 6 (𝐾 ∈ {𝑘 ∈ ℕ ∣ ∀𝑚𝑍 𝑚𝑘} ↔ (𝐾 ∈ ℕ ∧ ∀𝑚𝑍 𝑚𝐾))
106, 9sylibr 224 . . . . 5 ((𝑍 ⊆ ℤ ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ ∀𝑚𝑍 𝑚𝐾)) → 𝐾 ∈ {𝑘 ∈ ℕ ∣ ∀𝑚𝑍 𝑚𝑘})
11 infssuzle 11715 . . . . 5 (({𝑘 ∈ ℕ ∣ ∀𝑚𝑍 𝑚𝑘} ⊆ (ℤ‘1) ∧ 𝐾 ∈ {𝑘 ∈ ℕ ∣ ∀𝑚𝑍 𝑚𝑘}) → inf({𝑘 ∈ ℕ ∣ ∀𝑚𝑍 𝑚𝑘}, ℝ, < ) ≤ 𝐾)
125, 10, 11sylancr 694 . . . 4 ((𝑍 ⊆ ℤ ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ ∀𝑚𝑍 𝑚𝐾)) → inf({𝑘 ∈ ℕ ∣ ∀𝑚𝑍 𝑚𝑘}, ℝ, < ) ≤ 𝐾)
13123ad2antl1 1221 . . 3 (((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin ∧ 0 ∉ 𝑍) ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ ∀𝑚𝑍 𝑚𝐾)) → inf({𝑘 ∈ ℕ ∣ ∀𝑚𝑍 𝑚𝑘}, ℝ, < ) ≤ 𝐾)
142, 13eqbrtrd 4635 . 2 (((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin ∧ 0 ∉ 𝑍) ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ ∀𝑚𝑍 𝑚𝐾)) → (lcm𝑍) ≤ 𝐾)
1514ex 450 1 ((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin ∧ 0 ∉ 𝑍) → ((𝐾 ∈ ℕ ∧ ∀𝑚𝑍 𝑚𝐾) → (lcm𝑍) ≤ 𝐾))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   ∧ w3a 1036   = wceq 1480   ∈ wcel 1987   ∉ wnel 2893  ∀wral 2907  {crab 2911   ⊆ wss 3555   class class class wbr 4613  ‘cfv 5847  Fincfn 7899  infcinf 8291  ℝcr 9879  0cc0 9880  1c1 9881   < clt 10018   ≤ cle 10019  ℕcn 10964  ℤcz 11321  ℤ≥cuz 11631   ∥ cdvds 14907  lcmclcmf 15226 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-inf2 8482  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-se 5034  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-isom 5856  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-oadd 7509  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-sup 8292  df-inf 8293  df-oi 8359  df-card 8709  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-rp 11777  df-fz 12269  df-fzo 12407  df-seq 12742  df-exp 12801  df-hash 13058  df-cj 13773  df-re 13774  df-im 13775  df-sqrt 13909  df-abs 13910  df-clim 14153  df-prod 14561  df-dvds 14908  df-lcmf 15228 This theorem is referenced by:  lcmf  15270  lcmflefac  15285
 Copyright terms: Public domain W3C validator