Theorem mapdindp0 38870

Description: Vector independence lemma. (Contributed by NM, 29-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mapdindp1.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
mapdindp1.p	⊢ + = (+g‘𝑊)
mapdindp1.o	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
mapdindp1.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
mapdindp1.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
mapdindp1.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdindp1.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdindp1.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdindp1.W	⊢ (𝜑 → 𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdindp1.e	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) = (𝑁‘{𝑍}))
mapdindp1.ne	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
mapdindp1.f	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
mapdindp1.yz	⊢ (𝜑 → (𝑌 + 𝑍) ≠ 0 )

Assertion

Ref	Expression
mapdindp0	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{(𝑌 + 𝑍)}) = (𝑁‘{𝑌}))

Proof of Theorem mapdindp0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2821	. . . 4 ⊢ (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
2		mapdindp1.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
3		mapdindp1.w	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
4		lveclmod 19878	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
5	3, 4	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
6		mapdindp1.y	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
7	6	eldifad 3948	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
8		mapdindp1.v	. . . . . . 7 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
9	8, 1, 2	lspsncl 19749	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
10	5, 7, 9	syl2anc 586	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
11		mapdindp1.e	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) = (𝑁‘{𝑍}))
12	11, 10	eqeltrrd 2914	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑍}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
13		eqid 2821	. . . . . 6 ⊢ (LSSum‘𝑊) = (LSSum‘𝑊)
14	1, 13	lsmcl 19855	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑁‘{𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ (𝑁‘{𝑍}) ∈ (LSubSp‘𝑊)) → ((𝑁‘{𝑌})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑍})) ∈ (LSubSp‘𝑊))
15	5, 10, 12, 14	syl3anc 1367	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑌})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑍})) ∈ (LSubSp‘𝑊))
16	1	lsssssubg 19730	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (LSubSp‘𝑊) ⊆ (SubGrp‘𝑊))
17	5, 16	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (LSubSp‘𝑊) ⊆ (SubGrp‘𝑊))
18	17, 10	sseldd 3968	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (SubGrp‘𝑊))
19	11, 18	eqeltrrd 2914	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑍}) ∈ (SubGrp‘𝑊))
20	8, 2	lspsnid 19765	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑌}))
21	5, 7, 20	syl2anc 586	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑌}))
22		mapdindp1.z	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
23	22	eldifad 3948	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑉)
24	8, 2	lspsnid 19765	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → 𝑍 ∈ (𝑁‘{𝑍}))
25	5, 23, 24	syl2anc 586	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝑁‘{𝑍}))
26		mapdindp1.p	. . . . . 6 ⊢ + = (+g‘𝑊)
27	26, 13	lsmelvali 18775	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁‘{𝑌}) ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ (𝑁‘{𝑍}) ∈ (SubGrp‘𝑊)) ∧ (𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑌}) ∧ 𝑍 ∈ (𝑁‘{𝑍}))) → (𝑌 + 𝑍) ∈ ((𝑁‘{𝑌})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑍})))
28	18, 19, 21, 25, 27	syl22anc 836	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑌 + 𝑍) ∈ ((𝑁‘{𝑌})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑍})))
29	1, 2, 5, 15, 28	lspsnel5a 19768	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{(𝑌 + 𝑍)}) ⊆ ((𝑁‘{𝑌})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑍})))
30	11	oveq2d 7172	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑌})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑌})) = ((𝑁‘{𝑌})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑍})))
31	13	lsmidm 18788	. . . . 5 ⊢ ((𝑁‘{𝑌}) ∈ (SubGrp‘𝑊) → ((𝑁‘{𝑌})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑌})) = (𝑁‘{𝑌}))
32	18, 31	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑌})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑌})) = (𝑁‘{𝑌}))
33	30, 32	eqtr3d 2858	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑌})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑍})) = (𝑁‘{𝑌}))
34	29, 33	sseqtrd 4007	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{(𝑌 + 𝑍)}) ⊆ (𝑁‘{𝑌}))
35		mapdindp1.o	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
36	8, 26	lmodvacl 19648	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → (𝑌 + 𝑍) ∈ 𝑉)
37	5, 7, 23, 36	syl3anc 1367	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑌 + 𝑍) ∈ 𝑉)
38		mapdindp1.yz	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑌 + 𝑍) ≠ 0 )
39		eldifsn 4719	. . . 4 ⊢ ((𝑌 + 𝑍) ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ↔ ((𝑌 + 𝑍) ∈ 𝑉 ∧ (𝑌 + 𝑍) ≠ 0 ))
40	37, 38, 39	sylanbrc 585	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑌 + 𝑍) ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
41	8, 35, 2, 3, 40, 7	lspsncmp 19888	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{(𝑌 + 𝑍)}) ⊆ (𝑁‘{𝑌}) ↔ (𝑁‘{(𝑌 + 𝑍)}) = (𝑁‘{𝑌})))
42	34, 41	mpbid 234	1 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{(𝑌 + 𝑍)}) = (𝑁‘{𝑌}))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   ≠ wne 3016   ∖ cdif 3933   ⊆ wss 3936  {csn 4567  {cpr 4569  ‘cfv 6355  (class class class)co 7156  Basecbs 16483  +_gcplusg 16565  0_gc0g 16713  SubGrpcsubg 18273  LSSumclsm 18759  LModclmod 19634  LSubSpclss 19703  LSpanclspn 19743  LVecclvec 19874

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-rep 5190  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-int 4877  df-iun 4921  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-pred 6148  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7581  df-1st 7689  df-2nd 7690  df-tpos 7892  df-wrecs 7947  df-recs 8008  df-rdg 8046  df-er 8289  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-nn 11639  df-2 11701  df-3 11702  df-ndx 16486  df-slot 16487  df-base 16489  df-sets 16490  df-ress 16491  df-plusg 16578  df-mulr 16579  df-0g 16715  df-mgm 17852  df-sgrp 17901  df-mnd 17912  df-submnd 17957  df-grp 18106  df-minusg 18107  df-sbg 18108  df-subg 18276  df-cntz 18447  df-lsm 18761  df-cmn 18908  df-abl 18909  df-mgp 19240  df-ur 19252  df-ring 19299  df-oppr 19373  df-dvdsr 19391  df-unit 19392  df-invr 19422  df-drng 19504  df-lmod 19636  df-lss 19704  df-lsp 19744  df-lvec 19875

This theorem is referenced by:  mapdindp1  38871  mapdindp2  38872