MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lvecindp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lvecindp 19057
Description: Compute the 𝑋 coefficient in a sum with an independent vector 𝑋 (first conjunct), which can then be removed to continue with the remaining vectors summed in expressions 𝑌 and 𝑍 (second conjunct). Typically, 𝑈 is the span of the remaining vectors. (Contributed by NM, 5-Apr-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
lvecindp.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lvecindp.p + = (+g𝑊)
lvecindp.f 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
lvecindp.k 𝐾 = (Base‘𝐹)
lvecindp.t · = ( ·𝑠𝑊)
lvecindp.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lvecindp.w (𝜑𝑊 ∈ LVec)
lvecindp.u (𝜑𝑈𝑆)
lvecindp.x (𝜑𝑋𝑉)
lvecindp.n (𝜑 → ¬ 𝑋𝑈)
lvecindp.y (𝜑𝑌𝑈)
lvecindp.z (𝜑𝑍𝑈)
lvecindp.a (𝜑𝐴𝐾)
lvecindp.b (𝜑𝐵𝐾)
lvecindp.e (𝜑 → ((𝐴 · 𝑋) + 𝑌) = ((𝐵 · 𝑋) + 𝑍))
Assertion
Ref Expression
lvecindp (𝜑 → (𝐴 = 𝐵𝑌 = 𝑍))

Proof of Theorem lvecindp
StepHypRef Expression
1 lvecindp.p . . . 4 + = (+g𝑊)
2 eqid 2621 . . . 4 (0g𝑊) = (0g𝑊)
3 eqid 2621 . . . 4 (Cntz‘𝑊) = (Cntz‘𝑊)
4 lvecindp.w . . . . . 6 (𝜑𝑊 ∈ LVec)
5 lveclmod 19025 . . . . . 6 (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
64, 5syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
7 lvecindp.x . . . . 5 (𝜑𝑋𝑉)
8 lvecindp.v . . . . . 6 𝑉 = (Base‘𝑊)
9 eqid 2621 . . . . . 6 (LSpan‘𝑊) = (LSpan‘𝑊)
108, 9lspsnsubg 18899 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → ((LSpan‘𝑊)‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝑊))
116, 7, 10syl2anc 692 . . . 4 (𝜑 → ((LSpan‘𝑊)‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝑊))
12 lvecindp.s . . . . . . 7 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
1312lsssssubg 18877 . . . . . 6 (𝑊 ∈ LMod → 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑊))
146, 13syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑊))
15 lvecindp.u . . . . 5 (𝜑𝑈𝑆)
1614, 15sseldd 3584 . . . 4 (𝜑𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊))
17 lvecindp.n . . . . 5 (𝜑 → ¬ 𝑋𝑈)
188, 2, 9, 12, 4, 15, 7, 17lspdisj 19044 . . . 4 (𝜑 → (((LSpan‘𝑊)‘{𝑋}) ∩ 𝑈) = {(0g𝑊)})
19 lmodabl 18831 . . . . . 6 (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Abel)
206, 19syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑊 ∈ Abel)
213, 20, 11, 16ablcntzd 18181 . . . 4 (𝜑 → ((LSpan‘𝑊)‘{𝑋}) ⊆ ((Cntz‘𝑊)‘𝑈))
22 lvecindp.t . . . . 5 · = ( ·𝑠𝑊)
23 lvecindp.f . . . . 5 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
24 lvecindp.k . . . . 5 𝐾 = (Base‘𝐹)
25 lvecindp.a . . . . 5 (𝜑𝐴𝐾)
268, 22, 23, 24, 9, 6, 25, 7lspsneli 18920 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 · 𝑋) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑋}))
27 lvecindp.b . . . . 5 (𝜑𝐵𝐾)
288, 22, 23, 24, 9, 6, 27, 7lspsneli 18920 . . . 4 (𝜑 → (𝐵 · 𝑋) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑋}))
29 lvecindp.y . . . 4 (𝜑𝑌𝑈)
30 lvecindp.z . . . 4 (𝜑𝑍𝑈)
31 lvecindp.e . . . 4 (𝜑 → ((𝐴 · 𝑋) + 𝑌) = ((𝐵 · 𝑋) + 𝑍))
321, 2, 3, 11, 16, 18, 21, 26, 28, 29, 30, 31subgdisj1 18025 . . 3 (𝜑 → (𝐴 · 𝑋) = (𝐵 · 𝑋))
338, 2, 12, 6, 15, 7, 17lssneln0 18871 . . . . 5 (𝜑𝑋 ∈ (𝑉 ∖ {(0g𝑊)}))
34 eldifsni 4289 . . . . 5 (𝑋 ∈ (𝑉 ∖ {(0g𝑊)}) → 𝑋 ≠ (0g𝑊))
3533, 34syl 17 . . . 4 (𝜑𝑋 ≠ (0g𝑊))
368, 22, 23, 24, 2, 4, 25, 27, 7, 35lvecvscan2 19031 . . 3 (𝜑 → ((𝐴 · 𝑋) = (𝐵 · 𝑋) ↔ 𝐴 = 𝐵))
3732, 36mpbid 222 . 2 (𝜑𝐴 = 𝐵)
381, 2, 3, 11, 16, 18, 21, 26, 28, 29, 30, 31subgdisj2 18026 . 2 (𝜑𝑌 = 𝑍)
3937, 38jca 554 1 (𝜑 → (𝐴 = 𝐵𝑌 = 𝑍))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  cdif 3552  wss 3555  {csn 4148  cfv 5847  (class class class)co 6604  Basecbs 15781  +gcplusg 15862  Scalarcsca 15865   ·𝑠 cvsca 15866  0gc0g 16021  SubGrpcsubg 17509  Cntzccntz 17669  Abelcabl 18115  LModclmod 18784  LSubSpclss 18851  LSpanclspn 18890  LVecclvec 19021
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-tpos 7297  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-ndx 15784  df-slot 15785  df-base 15786  df-sets 15787  df-ress 15788  df-plusg 15875  df-mulr 15876  df-0g 16023  df-mgm 17163  df-sgrp 17205  df-mnd 17216  df-grp 17346  df-minusg 17347  df-sbg 17348  df-subg 17512  df-cntz 17671  df-cmn 18116  df-abl 18117  df-mgp 18411  df-ur 18423  df-ring 18470  df-oppr 18544  df-dvdsr 18562  df-unit 18563  df-invr 18593  df-drng 18670  df-lmod 18786  df-lss 18852  df-lsp 18891  df-lvec 19022
This theorem is referenced by:  baerlem3lem1  36473  baerlem5alem1  36474  baerlem5blem1  36475
  Copyright terms: Public domain W3C validator