Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapdpglem5N Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mapdpglem5N 36446
Description: Lemma for mapdpg 36475. (Contributed by NM, 20-Mar-2015.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
mapdpglem.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
mapdpglem.m 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
mapdpglem.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
mapdpglem.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
mapdpglem.s = (-g𝑈)
mapdpglem.n 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
mapdpglem.c 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
mapdpglem.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
mapdpglem.x (𝜑𝑋𝑉)
mapdpglem.y (𝜑𝑌𝑉)
mapdpglem1.p = (LSSum‘𝐶)
mapdpglem2.j 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
mapdpglem3.f 𝐹 = (Base‘𝐶)
mapdpglem3.te (𝜑𝑡 ∈ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) (𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))))
mapdpglem3.a 𝐴 = (Scalar‘𝑈)
mapdpglem3.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
mapdpglem3.t · = ( ·𝑠𝐶)
mapdpglem3.r 𝑅 = (-g𝐶)
mapdpglem3.g (𝜑𝐺𝐹)
mapdpglem3.e (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐺}))
mapdpglem4.q 𝑄 = (0g𝑈)
mapdpglem.ne (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
mapdpglem4.jt (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 𝑌)})) = (𝐽‘{𝑡}))
Assertion
Ref Expression
mapdpglem5N (𝜑𝑡 ≠ (0g𝐶))
Distinct variable groups:   𝑡,   𝑡,𝐶   𝑡,𝐽   𝑡,𝑀   𝑡,𝑁   𝑡,𝑋   𝑡,𝑌
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑡)   𝐴(𝑡)   𝐵(𝑡)   (𝑡)   𝑄(𝑡)   𝑅(𝑡)   · (𝑡)   𝑈(𝑡)   𝐹(𝑡)   𝐺(𝑡)   𝐻(𝑡)   𝐾(𝑡)   𝑉(𝑡)   𝑊(𝑡)

Proof of Theorem mapdpglem5N
StepHypRef Expression
1 mapdpglem4.jt . . 3 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 𝑌)})) = (𝐽‘{𝑡}))
2 mapdpglem.h . . . 4 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3 mapdpglem.m . . . 4 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
4 mapdpglem.u . . . 4 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
5 eqid 2621 . . . 4 (LSAtoms‘𝑈) = (LSAtoms‘𝑈)
6 mapdpglem.c . . . 4 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
7 eqid 2621 . . . 4 (LSAtoms‘𝐶) = (LSAtoms‘𝐶)
8 mapdpglem.k . . . 4 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
9 mapdpglem.v . . . . . 6 𝑉 = (Base‘𝑈)
10 mapdpglem.s . . . . . 6 = (-g𝑈)
11 mapdpglem.n . . . . . 6 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
12 mapdpglem.x . . . . . 6 (𝜑𝑋𝑉)
13 mapdpglem.y . . . . . 6 (𝜑𝑌𝑉)
14 mapdpglem1.p . . . . . 6 = (LSSum‘𝐶)
15 mapdpglem2.j . . . . . 6 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
16 mapdpglem3.f . . . . . 6 𝐹 = (Base‘𝐶)
17 mapdpglem3.te . . . . . 6 (𝜑𝑡 ∈ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) (𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))))
18 mapdpglem3.a . . . . . 6 𝐴 = (Scalar‘𝑈)
19 mapdpglem3.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝐴)
20 mapdpglem3.t . . . . . 6 · = ( ·𝑠𝐶)
21 mapdpglem3.r . . . . . 6 𝑅 = (-g𝐶)
22 mapdpglem3.g . . . . . 6 (𝜑𝐺𝐹)
23 mapdpglem3.e . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐺}))
24 mapdpglem4.q . . . . . 6 𝑄 = (0g𝑈)
25 mapdpglem.ne . . . . . 6 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
262, 3, 4, 9, 10, 11, 6, 8, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25mapdpglem4N 36445 . . . . 5 (𝜑 → (𝑋 𝑌) ≠ 𝑄)
272, 4, 8dvhlmod 35879 . . . . . 6 (𝜑𝑈 ∈ LMod)
289, 10lmodvsubcl 18829 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → (𝑋 𝑌) ∈ 𝑉)
2927, 12, 13, 28syl3anc 1323 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑋 𝑌) ∈ 𝑉)
309, 11, 24, 5, 27, 29lsatspn0 33767 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑁‘{(𝑋 𝑌)}) ∈ (LSAtoms‘𝑈) ↔ (𝑋 𝑌) ≠ 𝑄))
3126, 30mpbird 247 . . . 4 (𝜑 → (𝑁‘{(𝑋 𝑌)}) ∈ (LSAtoms‘𝑈))
322, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 31mapdat 36436 . . 3 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 𝑌)})) ∈ (LSAtoms‘𝐶))
331, 32eqeltrrd 2699 . 2 (𝜑 → (𝐽‘{𝑡}) ∈ (LSAtoms‘𝐶))
34 eqid 2621 . . 3 (0g𝐶) = (0g𝐶)
352, 6, 8lcdlmod 36361 . . 3 (𝜑𝐶 ∈ LMod)
362, 3, 4, 9, 10, 11, 6, 8, 12, 13, 14, 15, 16, 17mapdpglem2a 36443 . . 3 (𝜑𝑡𝐹)
3716, 15, 34, 7, 35, 36lsatspn0 33767 . 2 (𝜑 → ((𝐽‘{𝑡}) ∈ (LSAtoms‘𝐶) ↔ 𝑡 ≠ (0g𝐶)))
3833, 37mpbid 222 1 (𝜑𝑡 ≠ (0g𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  {csn 4148  cfv 5847  (class class class)co 6604  Basecbs 15781  Scalarcsca 15865   ·𝑠 cvsca 15866  0gc0g 16021  -gcsg 17345  LSSumclsm 17970  LModclmod 18784  LSpanclspn 18890  LSAtomsclsa 33741  HLchlt 34117  LHypclh 34750  DVecHcdvh 35847  LCDualclcd 36355  mapdcmpd 36393
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-riotaBAD 33719
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-iin 4488  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-of 6850  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-tpos 7297  df-undef 7344  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-oadd 7509  df-er 7687  df-map 7804  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-4 11025  df-5 11026  df-6 11027  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-fz 12269  df-struct 15783  df-ndx 15784  df-slot 15785  df-base 15786  df-sets 15787  df-ress 15788  df-plusg 15875  df-mulr 15876  df-sca 15878  df-vsca 15879  df-0g 16023  df-mre 16167  df-mrc 16168  df-acs 16170  df-preset 16849  df-poset 16867  df-plt 16879  df-lub 16895  df-glb 16896  df-join 16897  df-meet 16898  df-p0 16960  df-p1 16961  df-lat 16967  df-clat 17029  df-mgm 17163  df-sgrp 17205  df-mnd 17216  df-submnd 17257  df-grp 17346  df-minusg 17347  df-sbg 17348  df-subg 17512  df-cntz 17671  df-oppg 17697  df-lsm 17972  df-cmn 18116  df-abl 18117  df-mgp 18411  df-ur 18423  df-ring 18470  df-oppr 18544  df-dvdsr 18562  df-unit 18563  df-invr 18593  df-dvr 18604  df-drng 18670  df-lmod 18786  df-lss 18852  df-lsp 18891  df-lvec 19022  df-lsatoms 33743  df-lshyp 33744  df-lcv 33786  df-lfl 33825  df-lkr 33853  df-ldual 33891  df-oposet 33943  df-ol 33945  df-oml 33946  df-covers 34033  df-ats 34034  df-atl 34065  df-cvlat 34089  df-hlat 34118  df-llines 34264  df-lplanes 34265  df-lvols 34266  df-lines 34267  df-psubsp 34269  df-pmap 34270  df-padd 34562  df-lhyp 34754  df-laut 34755  df-ldil 34870  df-ltrn 34871  df-trl 34926  df-tgrp 35511  df-tendo 35523  df-edring 35525  df-dveca 35771  df-disoa 35798  df-dvech 35848  df-dib 35908  df-dic 35942  df-dih 35998  df-doch 36117  df-djh 36164  df-lcdual 36356  df-mapd 36394
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator