MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  maxprmfct Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem maxprmfct 15345
Description: The set of prime factors of an integer greater than or equal to 2 satisfies the conditions to have a supremum, and that supremum is a member of the set. (Contributed by Paul Chapman, 17-Nov-2012.)
Hypothesis
Ref Expression
maxprmfct.1 𝑆 = {𝑧 ∈ ℙ ∣ 𝑧𝑁}
Assertion
Ref Expression
maxprmfct (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ((𝑆 ⊆ ℤ ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦𝑆 𝑦𝑥) ∧ sup(𝑆, ℝ, < ) ∈ 𝑆))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑁,𝑦   𝑧,𝑁,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦
Allowed substitution hint:   𝑆(𝑧)

Proof of Theorem maxprmfct
StepHypRef Expression
1 maxprmfct.1 . . . . . 6 𝑆 = {𝑧 ∈ ℙ ∣ 𝑧𝑁}
2 ssrab2 3666 . . . . . 6 {𝑧 ∈ ℙ ∣ 𝑧𝑁} ⊆ ℙ
31, 2eqsstri 3614 . . . . 5 𝑆 ⊆ ℙ
4 prmz 15313 . . . . . 6 (𝑦 ∈ ℙ → 𝑦 ∈ ℤ)
54ssriv 3587 . . . . 5 ℙ ⊆ ℤ
63, 5sstri 3592 . . . 4 𝑆 ⊆ ℤ
76a1i 11 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 𝑆 ⊆ ℤ)
8 exprmfct 15340 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ∃𝑦 ∈ ℙ 𝑦𝑁)
9 breq1 4616 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝑦 → (𝑧𝑁𝑦𝑁))
109, 1elrab2 3348 . . . . . 6 (𝑦𝑆 ↔ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦𝑁))
1110exbii 1771 . . . . 5 (∃𝑦 𝑦𝑆 ↔ ∃𝑦(𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦𝑁))
12 n0 3907 . . . . 5 (𝑆 ≠ ∅ ↔ ∃𝑦 𝑦𝑆)
13 df-rex 2913 . . . . 5 (∃𝑦 ∈ ℙ 𝑦𝑁 ↔ ∃𝑦(𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦𝑁))
1411, 12, 133bitr4ri 293 . . . 4 (∃𝑦 ∈ ℙ 𝑦𝑁𝑆 ≠ ∅)
158, 14sylib 208 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 𝑆 ≠ ∅)
16 eluzelz 11641 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 𝑁 ∈ ℤ)
17 eluz2nn 11670 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 𝑁 ∈ ℕ)
184anim1i 591 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦𝑁) → (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑦𝑁))
1910, 18sylbi 207 . . . . . . 7 (𝑦𝑆 → (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑦𝑁))
20 dvdsle 14956 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑦𝑁𝑦𝑁))
2120expcom 451 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑦 ∈ ℤ → (𝑦𝑁𝑦𝑁)))
2221impd 447 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑦𝑁) → 𝑦𝑁))
2319, 22syl5 34 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑦𝑆𝑦𝑁))
2423ralrimiv 2959 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → ∀𝑦𝑆 𝑦𝑁)
2517, 24syl 17 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ∀𝑦𝑆 𝑦𝑁)
26 breq2 4617 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑁 → (𝑦𝑥𝑦𝑁))
2726ralbidv 2980 . . . . 5 (𝑥 = 𝑁 → (∀𝑦𝑆 𝑦𝑥 ↔ ∀𝑦𝑆 𝑦𝑁))
2827rspcev 3295 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀𝑦𝑆 𝑦𝑁) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦𝑆 𝑦𝑥)
2916, 25, 28syl2anc 692 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦𝑆 𝑦𝑥)
307, 15, 293jca 1240 . 2 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑆 ⊆ ℤ ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦𝑆 𝑦𝑥))
31 suprzcl2 11722 . 2 ((𝑆 ⊆ ℤ ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦𝑆 𝑦𝑥) → sup(𝑆, ℝ, < ) ∈ 𝑆)
3230, 31jccir 561 1 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ((𝑆 ⊆ ℤ ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦𝑆 𝑦𝑥) ∧ sup(𝑆, ℝ, < ) ∈ 𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wex 1701  wcel 1987  wne 2790  wral 2907  wrex 2908  {crab 2911  wss 3555  c0 3891   class class class wbr 4613  cfv 5847  supcsup 8290  cr 9879   < clt 10018  cle 10019  cn 10964  2c2 11014  cz 11321  cuz 11631  cdvds 14907  cprime 15309
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-2o 7506  df-oadd 7509  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-sup 8292  df-inf 8293  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-rp 11777  df-fz 12269  df-seq 12742  df-exp 12801  df-cj 13773  df-re 13774  df-im 13775  df-sqrt 13909  df-abs 13910  df-dvds 14908  df-prm 15310
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator