MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isprm7 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isprm7 15351
Description: One need only check prime divisors of 𝑃 up to 𝑃 in order to ensure primality. This version of isprm5 15350 combines the primality and bound on 𝑧 into a finite interval of prime numbers. (Contributed by Steve Rodriguez, 20-Jan-2020.)
Assertion
Ref Expression
isprm7 (𝑃 ∈ ℙ ↔ (𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ ∀𝑧 ∈ ((2...(⌊‘(√‘𝑃))) ∩ ℙ) ¬ 𝑧𝑃))
Distinct variable group:   𝑧,𝑃

Proof of Theorem isprm7
StepHypRef Expression
1 isprm5 15350 . 2 (𝑃 ∈ ℙ ↔ (𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ ∀𝑧 ∈ ℙ ((𝑧↑2) ≤ 𝑃 → ¬ 𝑧𝑃)))
2 prmz 15320 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ ℙ → 𝑧 ∈ ℤ)
32zred 11433 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ ℙ → 𝑧 ∈ ℝ)
4 0red 9992 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ ℙ → 0 ∈ ℝ)
5 1red 10006 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ ℙ → 1 ∈ ℝ)
6 0lt1 10501 . . . . . . . . . 10 0 < 1
76a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ ℙ → 0 < 1)
8 prmgt1 15340 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ ℙ → 1 < 𝑧)
94, 5, 3, 7, 8lttrd 10149 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ ℙ → 0 < 𝑧)
104, 3, 9ltled 10136 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ ℙ → 0 ≤ 𝑧)
113, 10jca 554 . . . . . 6 (𝑧 ∈ ℙ → (𝑧 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑧))
12 eluzelre 11649 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) → 𝑃 ∈ ℝ)
13 0red 9992 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) → 0 ∈ ℝ)
14 2re 11041 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℝ
1514a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) → 2 ∈ ℝ)
16 0le2 11062 . . . . . . . . 9 0 ≤ 2
1716a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) → 0 ≤ 2)
18 eluzle 11651 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) → 2 ≤ 𝑃)
1913, 15, 12, 17, 18letrd 10145 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) → 0 ≤ 𝑃)
2012, 19jca 554 . . . . . 6 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) → (𝑃 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑃))
21 resqcl 12878 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ ℝ → (𝑧↑2) ∈ ℝ)
22 sqge0 12887 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ ℝ → 0 ≤ (𝑧↑2))
2321, 22jca 554 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ ℝ → ((𝑧↑2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑧↑2)))
2423adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑧) → ((𝑧↑2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑧↑2)))
25 sqrtle 13942 . . . . . . . 8 ((((𝑧↑2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑧↑2)) ∧ (𝑃 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑃)) → ((𝑧↑2) ≤ 𝑃 ↔ (√‘(𝑧↑2)) ≤ (√‘𝑃)))
2624, 25sylan 488 . . . . . . 7 (((𝑧 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑧) ∧ (𝑃 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑃)) → ((𝑧↑2) ≤ 𝑃 ↔ (√‘(𝑧↑2)) ≤ (√‘𝑃)))
27 sqrtsq 13951 . . . . . . . . 9 ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑧) → (√‘(𝑧↑2)) = 𝑧)
2827breq1d 4628 . . . . . . . 8 ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑧) → ((√‘(𝑧↑2)) ≤ (√‘𝑃) ↔ 𝑧 ≤ (√‘𝑃)))
2928adantr 481 . . . . . . 7 (((𝑧 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑧) ∧ (𝑃 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑃)) → ((√‘(𝑧↑2)) ≤ (√‘𝑃) ↔ 𝑧 ≤ (√‘𝑃)))
3026, 29bitrd 268 . . . . . 6 (((𝑧 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑧) ∧ (𝑃 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑃)) → ((𝑧↑2) ≤ 𝑃𝑧 ≤ (√‘𝑃)))
3111, 20, 30syl2anr 495 . . . . 5 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ ℙ) → ((𝑧↑2) ≤ 𝑃𝑧 ≤ (√‘𝑃)))
3231imbi1d 331 . . . 4 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ ℙ) → (((𝑧↑2) ≤ 𝑃 → ¬ 𝑧𝑃) ↔ (𝑧 ≤ (√‘𝑃) → ¬ 𝑧𝑃)))
3332ralbidva 2980 . . 3 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) → (∀𝑧 ∈ ℙ ((𝑧↑2) ≤ 𝑃 → ¬ 𝑧𝑃) ↔ ∀𝑧 ∈ ℙ (𝑧 ≤ (√‘𝑃) → ¬ 𝑧𝑃)))
3433pm5.32i 668 . 2 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ ∀𝑧 ∈ ℙ ((𝑧↑2) ≤ 𝑃 → ¬ 𝑧𝑃)) ↔ (𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ ∀𝑧 ∈ ℙ (𝑧 ≤ (√‘𝑃) → ¬ 𝑧𝑃)))
35 impexp 462 . . . . 5 (((𝑧 ∈ ℙ ∧ 𝑧 ≤ (√‘𝑃)) → ¬ 𝑧𝑃) ↔ (𝑧 ∈ ℙ → (𝑧 ≤ (√‘𝑃) → ¬ 𝑧𝑃)))
3612, 19resqrtcld 14097 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) → (√‘𝑃) ∈ ℝ)
3736flcld 12546 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) → (⌊‘(√‘𝑃)) ∈ ℤ)
3837, 2anim12i 589 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ ℙ) → ((⌊‘(√‘𝑃)) ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ))
3938adantr 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ ℙ) ∧ 𝑧 ≤ (√‘𝑃)) → ((⌊‘(√‘𝑃)) ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ))
40 prmuz2 15339 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 ∈ ℙ → 𝑧 ∈ (ℤ‘2))
41 eluzle 11651 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 ∈ (ℤ‘2) → 2 ≤ 𝑧)
4240, 41syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 ∈ ℙ → 2 ≤ 𝑧)
4342ad2antlr 762 . . . . . . . . . . 11 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ ℙ) ∧ 𝑧 ≤ (√‘𝑃)) → 2 ≤ 𝑧)
44 flge 12553 . . . . . . . . . . . . 13 (((√‘𝑃) ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝑧 ≤ (√‘𝑃) ↔ 𝑧 ≤ (⌊‘(√‘𝑃))))
4536, 2, 44syl2an 494 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ ℙ) → (𝑧 ≤ (√‘𝑃) ↔ 𝑧 ≤ (⌊‘(√‘𝑃))))
4645biimpa 501 . . . . . . . . . . 11 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ ℙ) ∧ 𝑧 ≤ (√‘𝑃)) → 𝑧 ≤ (⌊‘(√‘𝑃)))
47 2z 11360 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℤ
48 elfz4 12284 . . . . . . . . . . . 12 (((2 ∈ ℤ ∧ (⌊‘(√‘𝑃)) ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ (2 ≤ 𝑧𝑧 ≤ (⌊‘(√‘𝑃)))) → 𝑧 ∈ (2...(⌊‘(√‘𝑃))))
4947, 48mp3anl1 1415 . . . . . . . . . . 11 ((((⌊‘(√‘𝑃)) ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ (2 ≤ 𝑧𝑧 ≤ (⌊‘(√‘𝑃)))) → 𝑧 ∈ (2...(⌊‘(√‘𝑃))))
5039, 43, 46, 49syl12anc 1321 . . . . . . . . . 10 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ ℙ) ∧ 𝑧 ≤ (√‘𝑃)) → 𝑧 ∈ (2...(⌊‘(√‘𝑃))))
5150anasss 678 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℙ ∧ 𝑧 ≤ (√‘𝑃))) → 𝑧 ∈ (2...(⌊‘(√‘𝑃))))
52 simprl 793 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℙ ∧ 𝑧 ≤ (√‘𝑃))) → 𝑧 ∈ ℙ)
5351, 52elind 3781 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℙ ∧ 𝑧 ≤ (√‘𝑃))) → 𝑧 ∈ ((2...(⌊‘(√‘𝑃))) ∩ ℙ))
5453ex 450 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) → ((𝑧 ∈ ℙ ∧ 𝑧 ≤ (√‘𝑃)) → 𝑧 ∈ ((2...(⌊‘(√‘𝑃))) ∩ ℙ)))
55 elin 3779 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ ((2...(⌊‘(√‘𝑃))) ∩ ℙ) ↔ (𝑧 ∈ (2...(⌊‘(√‘𝑃))) ∧ 𝑧 ∈ ℙ))
56 elfzelz 12291 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 ∈ (2...(⌊‘(√‘𝑃))) → 𝑧 ∈ ℤ)
5756zred 11433 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 ∈ (2...(⌊‘(√‘𝑃))) → 𝑧 ∈ ℝ)
5857adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (2...(⌊‘(√‘𝑃)))) → 𝑧 ∈ ℝ)
59 reflcl 12544 . . . . . . . . . . . . . 14 ((√‘𝑃) ∈ ℝ → (⌊‘(√‘𝑃)) ∈ ℝ)
6036, 59syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) → (⌊‘(√‘𝑃)) ∈ ℝ)
6160adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (2...(⌊‘(√‘𝑃)))) → (⌊‘(√‘𝑃)) ∈ ℝ)
6236adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (2...(⌊‘(√‘𝑃)))) → (√‘𝑃) ∈ ℝ)
63 elfzle2 12294 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 ∈ (2...(⌊‘(√‘𝑃))) → 𝑧 ≤ (⌊‘(√‘𝑃)))
6463adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (2...(⌊‘(√‘𝑃)))) → 𝑧 ≤ (⌊‘(√‘𝑃)))
65 flle 12547 . . . . . . . . . . . . . 14 ((√‘𝑃) ∈ ℝ → (⌊‘(√‘𝑃)) ≤ (√‘𝑃))
6636, 65syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) → (⌊‘(√‘𝑃)) ≤ (√‘𝑃))
6766adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (2...(⌊‘(√‘𝑃)))) → (⌊‘(√‘𝑃)) ≤ (√‘𝑃))
6858, 61, 62, 64, 67letrd 10145 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (2...(⌊‘(√‘𝑃)))) → 𝑧 ≤ (√‘𝑃))
6968ex 450 . . . . . . . . . 10 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) → (𝑧 ∈ (2...(⌊‘(√‘𝑃))) → 𝑧 ≤ (√‘𝑃)))
7069anim1d 587 . . . . . . . . 9 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) → ((𝑧 ∈ (2...(⌊‘(√‘𝑃))) ∧ 𝑧 ∈ ℙ) → (𝑧 ≤ (√‘𝑃) ∧ 𝑧 ∈ ℙ)))
7155, 70syl5bi 232 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) → (𝑧 ∈ ((2...(⌊‘(√‘𝑃))) ∩ ℙ) → (𝑧 ≤ (√‘𝑃) ∧ 𝑧 ∈ ℙ)))
72 ancom 466 . . . . . . . 8 ((𝑧 ≤ (√‘𝑃) ∧ 𝑧 ∈ ℙ) ↔ (𝑧 ∈ ℙ ∧ 𝑧 ≤ (√‘𝑃)))
7371, 72syl6ib 241 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) → (𝑧 ∈ ((2...(⌊‘(√‘𝑃))) ∩ ℙ) → (𝑧 ∈ ℙ ∧ 𝑧 ≤ (√‘𝑃))))
7454, 73impbid 202 . . . . . 6 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) → ((𝑧 ∈ ℙ ∧ 𝑧 ≤ (√‘𝑃)) ↔ 𝑧 ∈ ((2...(⌊‘(√‘𝑃))) ∩ ℙ)))
7574imbi1d 331 . . . . 5 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) → (((𝑧 ∈ ℙ ∧ 𝑧 ≤ (√‘𝑃)) → ¬ 𝑧𝑃) ↔ (𝑧 ∈ ((2...(⌊‘(√‘𝑃))) ∩ ℙ) → ¬ 𝑧𝑃)))
7635, 75syl5bbr 274 . . . 4 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) → ((𝑧 ∈ ℙ → (𝑧 ≤ (√‘𝑃) → ¬ 𝑧𝑃)) ↔ (𝑧 ∈ ((2...(⌊‘(√‘𝑃))) ∩ ℙ) → ¬ 𝑧𝑃)))
7776ralbidv2 2979 . . 3 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) → (∀𝑧 ∈ ℙ (𝑧 ≤ (√‘𝑃) → ¬ 𝑧𝑃) ↔ ∀𝑧 ∈ ((2...(⌊‘(√‘𝑃))) ∩ ℙ) ¬ 𝑧𝑃))
7877pm5.32i 668 . 2 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ ∀𝑧 ∈ ℙ (𝑧 ≤ (√‘𝑃) → ¬ 𝑧𝑃)) ↔ (𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ ∀𝑧 ∈ ((2...(⌊‘(√‘𝑃))) ∩ ℙ) ¬ 𝑧𝑃))
791, 34, 783bitri 286 1 (𝑃 ∈ ℙ ↔ (𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ ∀𝑧 ∈ ((2...(⌊‘(√‘𝑃))) ∩ ℙ) ¬ 𝑧𝑃))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 384  wcel 1987  wral 2907  cin 3558   class class class wbr 4618  cfv 5852  (class class class)co 6610  cr 9886  0cc0 9887  1c1 9888   < clt 10025  cle 10026  2c2 11021  cz 11328  cuz 11638  ...cfz 12275  cfl 12538  cexp 12807  csqrt 13914  cdvds 14914  cprime 15316
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-cnex 9943  ax-resscn 9944  ax-1cn 9945  ax-icn 9946  ax-addcl 9947  ax-addrcl 9948  ax-mulcl 9949  ax-mulrcl 9950  ax-mulcom 9951  ax-addass 9952  ax-mulass 9953  ax-distr 9954  ax-i2m1 9955  ax-1ne0 9956  ax-1rid 9957  ax-rnegex 9958  ax-rrecex 9959  ax-cnre 9960  ax-pre-lttri 9961  ax-pre-lttrn 9962  ax-pre-ltadd 9963  ax-pre-mulgt0 9964  ax-pre-sup 9965
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-om 7020  df-1st 7120  df-2nd 7121  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-1o 7512  df-2o 7513  df-oadd 7516  df-er 7694  df-en 7907  df-dom 7908  df-sdom 7909  df-fin 7910  df-sup 8299  df-inf 8300  df-pnf 10027  df-mnf 10028  df-xr 10029  df-ltxr 10030  df-le 10031  df-sub 10219  df-neg 10220  df-div 10636  df-nn 10972  df-2 11030  df-3 11031  df-n0 11244  df-z 11329  df-uz 11639  df-rp 11784  df-fz 12276  df-fl 12540  df-seq 12749  df-exp 12808  df-cj 13780  df-re 13781  df-im 13782  df-sqrt 13916  df-abs 13917  df-dvds 14915  df-prm 15317
This theorem is referenced by:  fmtno4prm  40807  31prm  40832
  Copyright terms: Public domain W3C validator