Theorem isprm7 16052

Description: One need only check prime divisors of 𝑃 up to √𝑃 in order to ensure primality. This version of isprm5 16051 combines the primality and bound on 𝑧 into a finite interval of prime numbers. (Contributed by Steve Rodriguez, 20-Jan-2020.)

Assertion

Ref	Expression
isprm7	⊢ (𝑃 ∈ ℙ ↔ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑧 ∈ ((2...(⌊‘(√‘𝑃))) ∩ ℙ) ¬ 𝑧 ∥ 𝑃))

Distinct variable group:   𝑧,𝑃

Proof of Theorem isprm7

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isprm5 16051	. 2 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ ↔ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑧 ∈ ℙ ((𝑧↑2) ≤ 𝑃 → ¬ 𝑧 ∥ 𝑃)))
2		prmz 16019	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ ℙ → 𝑧 ∈ ℤ)
3	2	zred 12088	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ ℙ → 𝑧 ∈ ℝ)
4		0red 10644	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ ℙ → 0 ∈ ℝ)
5		1red 10642	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ ℙ → 1 ∈ ℝ)
6		0lt1 11162	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 < 1
7	6	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ ℙ → 0 < 1)
8		prmgt1 16041	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ ℙ → 1 < 𝑧)
9	4, 5, 3, 7, 8	lttrd 10801	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ ℙ → 0 < 𝑧)
10	4, 3, 9	ltled 10788	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ ℙ → 0 ≤ 𝑧)
11	3, 10	jca 514	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ ℙ → (𝑧 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑧))
12		eluzelre 12255	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑃 ∈ ℝ)
13		0red 10644	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → 0 ∈ ℝ)
14		2re 11712	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℝ
15	14	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → 2 ∈ ℝ)
16		0le2 11740	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ≤ 2
17	16	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → 0 ≤ 2)
18		eluzle 12257	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → 2 ≤ 𝑃)
19	13, 15, 12, 17, 18	letrd 10797	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → 0 ≤ 𝑃)
20	12, 19	jca 514	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑃 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑃))
21		resqcl 13491	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ → (𝑧↑2) ∈ ℝ)
22		sqge0 13502	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ → 0 ≤ (𝑧↑2))
23	21, 22	jca 514	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ → ((𝑧↑2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑧↑2)))
24	23	adantr 483	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑧) → ((𝑧↑2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑧↑2)))
25		sqrtle 14620	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑧↑2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑧↑2)) ∧ (𝑃 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑃)) → ((𝑧↑2) ≤ 𝑃 ↔ (√‘(𝑧↑2)) ≤ (√‘𝑃)))
26	24, 25	sylan 582	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑧 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑧) ∧ (𝑃 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑃)) → ((𝑧↑2) ≤ 𝑃 ↔ (√‘(𝑧↑2)) ≤ (√‘𝑃)))
27		sqrtsq 14629	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑧) → (√‘(𝑧↑2)) = 𝑧)
28	27	breq1d 5076	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑧) → ((√‘(𝑧↑2)) ≤ (√‘𝑃) ↔ 𝑧 ≤ (√‘𝑃)))
29	28	adantr 483	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑧 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑧) ∧ (𝑃 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑃)) → ((√‘(𝑧↑2)) ≤ (√‘𝑃) ↔ 𝑧 ≤ (√‘𝑃)))
30	26, 29	bitrd 281	. . . . . 6 ⊢ (((𝑧 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑧) ∧ (𝑃 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑃)) → ((𝑧↑2) ≤ 𝑃 ↔ 𝑧 ≤ (√‘𝑃)))
31	11, 20, 30	syl2anr 598	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ ℙ) → ((𝑧↑2) ≤ 𝑃 ↔ 𝑧 ≤ (√‘𝑃)))
32	31	imbi1d 344	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ ℙ) → (((𝑧↑2) ≤ 𝑃 → ¬ 𝑧 ∥ 𝑃) ↔ (𝑧 ≤ (√‘𝑃) → ¬ 𝑧 ∥ 𝑃)))
33	32	ralbidva 3196	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → (∀𝑧 ∈ ℙ ((𝑧↑2) ≤ 𝑃 → ¬ 𝑧 ∥ 𝑃) ↔ ∀𝑧 ∈ ℙ (𝑧 ≤ (√‘𝑃) → ¬ 𝑧 ∥ 𝑃)))
34	33	pm5.32i 577	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑧 ∈ ℙ ((𝑧↑2) ≤ 𝑃 → ¬ 𝑧 ∥ 𝑃)) ↔ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑧 ∈ ℙ (𝑧 ≤ (√‘𝑃) → ¬ 𝑧 ∥ 𝑃)))
35		impexp 453	. . . . 5 ⊢ (((𝑧 ∈ ℙ ∧ 𝑧 ≤ (√‘𝑃)) → ¬ 𝑧 ∥ 𝑃) ↔ (𝑧 ∈ ℙ → (𝑧 ≤ (√‘𝑃) → ¬ 𝑧 ∥ 𝑃)))
36	12, 19	resqrtcld 14777	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → (√‘𝑃) ∈ ℝ)
37	36	flcld 13169	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → (⌊‘(√‘𝑃)) ∈ ℤ)
38	37, 2	anim12i 614	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ ℙ) → ((⌊‘(√‘𝑃)) ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ))
39	38	adantr 483	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ ℙ) ∧ 𝑧 ≤ (√‘𝑃)) → ((⌊‘(√‘𝑃)) ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ))
40		prmuz2 16040	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 ∈ ℙ → 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2))
41		eluzle 12257	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 ∈ (ℤ≥‘2) → 2 ≤ 𝑧)
42	40, 41	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 ∈ ℙ → 2 ≤ 𝑧)
43	42	ad2antlr 725	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ ℙ) ∧ 𝑧 ≤ (√‘𝑃)) → 2 ≤ 𝑧)
44		flge 13176	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((√‘𝑃) ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝑧 ≤ (√‘𝑃) ↔ 𝑧 ≤ (⌊‘(√‘𝑃))))
45	36, 2, 44	syl2an 597	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ ℙ) → (𝑧 ≤ (√‘𝑃) ↔ 𝑧 ≤ (⌊‘(√‘𝑃))))
46	45	biimpa 479	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ ℙ) ∧ 𝑧 ≤ (√‘𝑃)) → 𝑧 ≤ (⌊‘(√‘𝑃)))
47		2z 12015	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℤ
48		elfz4 12902	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((2 ∈ ℤ ∧ (⌊‘(√‘𝑃)) ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ (2 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ (⌊‘(√‘𝑃)))) → 𝑧 ∈ (2...(⌊‘(√‘𝑃))))
49	47, 48	mp3anl1 1451	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((⌊‘(√‘𝑃)) ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ (2 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ (⌊‘(√‘𝑃)))) → 𝑧 ∈ (2...(⌊‘(√‘𝑃))))
50	39, 43, 46, 49	syl12anc 834	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ ℙ) ∧ 𝑧 ≤ (√‘𝑃)) → 𝑧 ∈ (2...(⌊‘(√‘𝑃))))
51	50	anasss 469	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℙ ∧ 𝑧 ≤ (√‘𝑃))) → 𝑧 ∈ (2...(⌊‘(√‘𝑃))))
52		simprl 769	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℙ ∧ 𝑧 ≤ (√‘𝑃))) → 𝑧 ∈ ℙ)
53	51, 52	elind 4171	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℙ ∧ 𝑧 ≤ (√‘𝑃))) → 𝑧 ∈ ((2...(⌊‘(√‘𝑃))) ∩ ℙ))
54	53	ex 415	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝑧 ∈ ℙ ∧ 𝑧 ≤ (√‘𝑃)) → 𝑧 ∈ ((2...(⌊‘(√‘𝑃))) ∩ ℙ)))
55		elin 4169	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ ((2...(⌊‘(√‘𝑃))) ∩ ℙ) ↔ (𝑧 ∈ (2...(⌊‘(√‘𝑃))) ∧ 𝑧 ∈ ℙ))
56		elfzelz 12909	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 ∈ (2...(⌊‘(√‘𝑃))) → 𝑧 ∈ ℤ)
57	56	zred 12088	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 ∈ (2...(⌊‘(√‘𝑃))) → 𝑧 ∈ ℝ)
58	57	adantl 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (2...(⌊‘(√‘𝑃)))) → 𝑧 ∈ ℝ)
59		reflcl 13167	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((√‘𝑃) ∈ ℝ → (⌊‘(√‘𝑃)) ∈ ℝ)
60	36, 59	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → (⌊‘(√‘𝑃)) ∈ ℝ)
61	60	adantr 483	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (2...(⌊‘(√‘𝑃)))) → (⌊‘(√‘𝑃)) ∈ ℝ)
62	36	adantr 483	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (2...(⌊‘(√‘𝑃)))) → (√‘𝑃) ∈ ℝ)
63		elfzle2 12912	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 ∈ (2...(⌊‘(√‘𝑃))) → 𝑧 ≤ (⌊‘(√‘𝑃)))
64	63	adantl 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (2...(⌊‘(√‘𝑃)))) → 𝑧 ≤ (⌊‘(√‘𝑃)))
65		flle 13170	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((√‘𝑃) ∈ ℝ → (⌊‘(√‘𝑃)) ≤ (√‘𝑃))
66	36, 65	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → (⌊‘(√‘𝑃)) ≤ (√‘𝑃))
67	66	adantr 483	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (2...(⌊‘(√‘𝑃)))) → (⌊‘(√‘𝑃)) ≤ (√‘𝑃))
68	58, 61, 62, 64, 67	letrd 10797	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (2...(⌊‘(√‘𝑃)))) → 𝑧 ≤ (√‘𝑃))
69	68	ex 415	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑧 ∈ (2...(⌊‘(√‘𝑃))) → 𝑧 ≤ (√‘𝑃)))
70	69	anim1d 612	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝑧 ∈ (2...(⌊‘(√‘𝑃))) ∧ 𝑧 ∈ ℙ) → (𝑧 ≤ (√‘𝑃) ∧ 𝑧 ∈ ℙ)))
71	55, 70	syl5bi 244	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑧 ∈ ((2...(⌊‘(√‘𝑃))) ∩ ℙ) → (𝑧 ≤ (√‘𝑃) ∧ 𝑧 ∈ ℙ)))
72		ancom 463	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ≤ (√‘𝑃) ∧ 𝑧 ∈ ℙ) ↔ (𝑧 ∈ ℙ ∧ 𝑧 ≤ (√‘𝑃)))
73	71, 72	syl6ib 253	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑧 ∈ ((2...(⌊‘(√‘𝑃))) ∩ ℙ) → (𝑧 ∈ ℙ ∧ 𝑧 ≤ (√‘𝑃))))
74	54, 73	impbid 214	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝑧 ∈ ℙ ∧ 𝑧 ≤ (√‘𝑃)) ↔ 𝑧 ∈ ((2...(⌊‘(√‘𝑃))) ∩ ℙ)))
75	74	imbi1d 344	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → (((𝑧 ∈ ℙ ∧ 𝑧 ≤ (√‘𝑃)) → ¬ 𝑧 ∥ 𝑃) ↔ (𝑧 ∈ ((2...(⌊‘(√‘𝑃))) ∩ ℙ) → ¬ 𝑧 ∥ 𝑃)))
76	35, 75	syl5bbr 287	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝑧 ∈ ℙ → (𝑧 ≤ (√‘𝑃) → ¬ 𝑧 ∥ 𝑃)) ↔ (𝑧 ∈ ((2...(⌊‘(√‘𝑃))) ∩ ℙ) → ¬ 𝑧 ∥ 𝑃)))
77	76	ralbidv2 3195	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → (∀𝑧 ∈ ℙ (𝑧 ≤ (√‘𝑃) → ¬ 𝑧 ∥ 𝑃) ↔ ∀𝑧 ∈ ((2...(⌊‘(√‘𝑃))) ∩ ℙ) ¬ 𝑧 ∥ 𝑃))
78	77	pm5.32i 577	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑧 ∈ ℙ (𝑧 ≤ (√‘𝑃) → ¬ 𝑧 ∥ 𝑃)) ↔ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑧 ∈ ((2...(⌊‘(√‘𝑃))) ∩ ℙ) ¬ 𝑧 ∥ 𝑃))
79	1, 34, 78	3bitri 299	1 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ ↔ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑧 ∈ ((2...(⌊‘(√‘𝑃))) ∩ ℙ) ¬ 𝑧 ∥ 𝑃))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∈ wcel 2114  ∀wral 3138   ∩ cin 3935   class class class wbr 5066  ‘cfv 6355  (class class class)co 7156  ℝcr 10536  0cc0 10537  1c1 10538   < clt 10675   ≤ cle 10676  2c2 11693  ℤcz 11982  ℤ_≥cuz 12244  ...cfz 12893  ⌊cfl 13161  ↑cexp 13430  √csqrt 14592   ∥ cdvds 15607  ℙcprime 16015

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614  ax-pre-sup 10615

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-iun 4921  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-pred 6148  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7581  df-1st 7689  df-2nd 7690  df-wrecs 7947  df-recs 8008  df-rdg 8046  df-1o 8102  df-2o 8103  df-er 8289  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-fin 8513  df-sup 8906  df-inf 8907  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-div 11298  df-nn 11639  df-2 11701  df-3 11702  df-n0 11899  df-z 11983  df-uz 12245  df-rp 12391  df-fz 12894  df-fl 13163  df-seq 13371  df-exp 13431  df-cj 14458  df-re 14459  df-im 14460  df-sqrt 14594  df-abs 14595  df-dvds 15608  df-prm 16016

This theorem is referenced by:  fmtno4prm  43757  31prm  43780