MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  exprmfct Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem exprmfct 15340
Description: Every integer greater than or equal to 2 has a prime factor. (Contributed by Paul Chapman, 26-Oct-2012.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
exprmfct (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝𝑁)
Distinct variable group:   𝑁,𝑝

Proof of Theorem exprmfct
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eluz2nn 11670 . 2 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 𝑁 ∈ ℕ)
2 eleq1 2686 . . . 4 (𝑥 = 1 → (𝑥 ∈ (ℤ‘2) ↔ 1 ∈ (ℤ‘2)))
32imbi1d 331 . . 3 (𝑥 = 1 → ((𝑥 ∈ (ℤ‘2) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝𝑥) ↔ (1 ∈ (ℤ‘2) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝𝑥)))
4 eleq1 2686 . . . 4 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ∈ (ℤ‘2) ↔ 𝑦 ∈ (ℤ‘2)))
5 breq2 4617 . . . . 5 (𝑥 = 𝑦 → (𝑝𝑥𝑝𝑦))
65rexbidv 3045 . . . 4 (𝑥 = 𝑦 → (∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝𝑥 ↔ ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝𝑦))
74, 6imbi12d 334 . . 3 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥 ∈ (ℤ‘2) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝𝑥) ↔ (𝑦 ∈ (ℤ‘2) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝𝑦)))
8 eleq1 2686 . . . 4 (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 ∈ (ℤ‘2) ↔ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)))
9 breq2 4617 . . . . 5 (𝑥 = 𝑧 → (𝑝𝑥𝑝𝑧))
109rexbidv 3045 . . . 4 (𝑥 = 𝑧 → (∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝𝑥 ↔ ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝𝑧))
118, 10imbi12d 334 . . 3 (𝑥 = 𝑧 → ((𝑥 ∈ (ℤ‘2) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝𝑥) ↔ (𝑧 ∈ (ℤ‘2) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝𝑧)))
12 eleq1 2686 . . . 4 (𝑥 = (𝑦 · 𝑧) → (𝑥 ∈ (ℤ‘2) ↔ (𝑦 · 𝑧) ∈ (ℤ‘2)))
13 breq2 4617 . . . . 5 (𝑥 = (𝑦 · 𝑧) → (𝑝𝑥𝑝 ∥ (𝑦 · 𝑧)))
1413rexbidv 3045 . . . 4 (𝑥 = (𝑦 · 𝑧) → (∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝𝑥 ↔ ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ (𝑦 · 𝑧)))
1512, 14imbi12d 334 . . 3 (𝑥 = (𝑦 · 𝑧) → ((𝑥 ∈ (ℤ‘2) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝𝑥) ↔ ((𝑦 · 𝑧) ∈ (ℤ‘2) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ (𝑦 · 𝑧))))
16 eleq1 2686 . . . 4 (𝑥 = 𝑁 → (𝑥 ∈ (ℤ‘2) ↔ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)))
17 breq2 4617 . . . . 5 (𝑥 = 𝑁 → (𝑝𝑥𝑝𝑁))
1817rexbidv 3045 . . . 4 (𝑥 = 𝑁 → (∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝𝑥 ↔ ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝𝑁))
1916, 18imbi12d 334 . . 3 (𝑥 = 𝑁 → ((𝑥 ∈ (ℤ‘2) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝𝑥) ↔ (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝𝑁)))
20 1m1e0 11033 . . . . 5 (1 − 1) = 0
21 uz2m1nn 11707 . . . . 5 (1 ∈ (ℤ‘2) → (1 − 1) ∈ ℕ)
2220, 21syl5eqelr 2703 . . . 4 (1 ∈ (ℤ‘2) → 0 ∈ ℕ)
23 0nnn 10996 . . . . 5 ¬ 0 ∈ ℕ
2423pm2.21i 116 . . . 4 (0 ∈ ℕ → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝𝑥)
2522, 24syl 17 . . 3 (1 ∈ (ℤ‘2) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝𝑥)
26 prmz 15313 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℙ → 𝑥 ∈ ℤ)
27 iddvds 14919 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥𝑥)
2826, 27syl 17 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℙ → 𝑥𝑥)
29 breq1 4616 . . . . . 6 (𝑝 = 𝑥 → (𝑝𝑥𝑥𝑥))
3029rspcev 3295 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℙ ∧ 𝑥𝑥) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝𝑥)
3128, 30mpdan 701 . . . 4 (𝑥 ∈ ℙ → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝𝑥)
3231a1d 25 . . 3 (𝑥 ∈ ℙ → (𝑥 ∈ (ℤ‘2) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝𝑥))
33 simpl 473 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) → 𝑦 ∈ (ℤ‘2))
34 eluzelz 11641 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ (ℤ‘2) → 𝑦 ∈ ℤ)
3534ad2antrr 761 . . . . . . . . 9 (((𝑦 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑦 ∈ ℤ)
36 eluzelz 11641 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ (ℤ‘2) → 𝑧 ∈ ℤ)
3736ad2antlr 762 . . . . . . . . 9 (((𝑦 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑧 ∈ ℤ)
38 dvdsmul1 14927 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → 𝑦 ∥ (𝑦 · 𝑧))
3935, 37, 38syl2anc 692 . . . . . . . 8 (((𝑦 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑦 ∥ (𝑦 · 𝑧))
40 prmz 15313 . . . . . . . . . 10 (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℤ)
4140adantl 482 . . . . . . . . 9 (((𝑦 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑝 ∈ ℤ)
4235, 37zmulcld 11432 . . . . . . . . 9 (((𝑦 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑦 · 𝑧) ∈ ℤ)
43 dvdstr 14942 . . . . . . . . 9 ((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ (𝑦 · 𝑧) ∈ ℤ) → ((𝑝𝑦𝑦 ∥ (𝑦 · 𝑧)) → 𝑝 ∥ (𝑦 · 𝑧)))
4441, 35, 42, 43syl3anc 1323 . . . . . . . 8 (((𝑦 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝𝑦𝑦 ∥ (𝑦 · 𝑧)) → 𝑝 ∥ (𝑦 · 𝑧)))
4539, 44mpan2d 709 . . . . . . 7 (((𝑦 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝𝑦𝑝 ∥ (𝑦 · 𝑧)))
4645reximdva 3011 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) → (∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝𝑦 → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ (𝑦 · 𝑧)))
4733, 46embantd 59 . . . . 5 ((𝑦 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) → ((𝑦 ∈ (ℤ‘2) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝𝑦) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ (𝑦 · 𝑧)))
4847a1dd 50 . . . 4 ((𝑦 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) → ((𝑦 ∈ (ℤ‘2) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝𝑦) → ((𝑦 · 𝑧) ∈ (ℤ‘2) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ (𝑦 · 𝑧))))
4948adantrd 484 . . 3 ((𝑦 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) → (((𝑦 ∈ (ℤ‘2) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝𝑦) ∧ (𝑧 ∈ (ℤ‘2) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝𝑧)) → ((𝑦 · 𝑧) ∈ (ℤ‘2) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ (𝑦 · 𝑧))))
503, 7, 11, 15, 19, 25, 32, 49prmind 15323 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝𝑁))
511, 50mpcom 38 1 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝𝑁)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wrex 2908   class class class wbr 4613  cfv 5847  (class class class)co 6604  0cc0 9880  1c1 9881   · cmul 9885  cmin 10210  cn 10964  2c2 11014  cz 11321  cuz 11631  cdvds 14907  cprime 15309
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-2o 7506  df-oadd 7509  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-sup 8292  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-rp 11777  df-fz 12269  df-seq 12742  df-exp 12801  df-cj 13773  df-re 13774  df-im 13775  df-sqrt 13909  df-abs 13910  df-dvds 14908  df-prm 15310
This theorem is referenced by:  prmdvdsfz  15341  isprm5  15343  maxprmfct  15345  rpexp  15356  pc2dvds  15507  oddprmdvds  15531  prmunb  15542  ablfacrplem  18385  muval1  24759  musum  24817  lgsne0  24960  dchrisum0flb  25099  frgrreggt1  27105  nn0prpwlem  31956  prmdvdsfmtnof1lem1  40792  prmdvdsfmtnof  40794
  Copyright terms: Public domain W3C validator