Theorem mdeglt 24661

Description: If there is an upper limit on the degree of a polynomial that is lower than the degree of some exponent bag, then that exponent bag is unrepresented in the polynomial. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Mar-2015.) (Proof shortened by AV, 27-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mdegval.d	⊢ 𝐷 = (𝐼 mDeg 𝑅)
mdegval.p	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mdegval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
mdegval.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
mdegval.a	⊢ 𝐴 = {𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑚 “ ℕ) ∈ Fin}
mdegval.h	⊢ 𝐻 = (ℎ ∈ 𝐴 ↦ (ℂfld Σg ℎ))
mdeglt.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
medglt.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐴)
mdeglt.lt	⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐹) < (𝐻‘𝑋))

Assertion

Ref	Expression
mdeglt	⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑋) = 0 )

Distinct variable groups:   𝐴,ℎ   𝑚,𝐼   0 ,ℎ   ℎ,𝐼,𝑚

Allowed substitution hints:   𝜑(ℎ,𝑚)   𝐴(𝑚)   𝐵(ℎ,𝑚)   𝐷(ℎ,𝑚)   𝑃(ℎ,𝑚)   𝑅(ℎ,𝑚)   𝐹(ℎ,𝑚)   𝐻(ℎ,𝑚)   𝑋(ℎ,𝑚)   0 (𝑚)

Proof of Theorem mdeglt

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mdeglt.lt	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐹) < (𝐻‘𝑋))
2		fveq2 6672	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝐻‘𝑥) = (𝐻‘𝑋))
3	2	breq2d 5080	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((𝐷‘𝐹) < (𝐻‘𝑥) ↔ (𝐷‘𝐹) < (𝐻‘𝑋)))
4		fveqeq2 6681	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((𝐹‘𝑥) = 0 ↔ (𝐹‘𝑋) = 0 ))
5	3, 4	imbi12d 347	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (((𝐷‘𝐹) < (𝐻‘𝑥) → (𝐹‘𝑥) = 0 ) ↔ ((𝐷‘𝐹) < (𝐻‘𝑋) → (𝐹‘𝑋) = 0 )))
6		mdeglt.f	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
7		mdegval.d	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐷 = (𝐼 mDeg 𝑅)
8		mdegval.p	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
9		mdegval.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
10		mdegval.z	. . . . . . . 8 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
11		mdegval.a	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 = {𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑚 “ ℕ) ∈ Fin}
12		mdegval.h	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐻 = (ℎ ∈ 𝐴 ↦ (ℂfld Σg ℎ))
13	7, 8, 9, 10, 11, 12	mdegval 24659	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → (𝐷‘𝐹) = sup((𝐻 “ (𝐹 supp 0 )), ℝ*, < ))
14	6, 13	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐹) = sup((𝐻 “ (𝐹 supp 0 )), ℝ*, < ))
15		imassrn 5942	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐻 “ (𝐹 supp 0 )) ⊆ ran 𝐻
16	8, 9	mplrcl 20272	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → 𝐼 ∈ V)
17	11, 12	tdeglem1 24654	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐼 ∈ V → 𝐻:𝐴⟶ℕ0)
18		frn 6522	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐻:𝐴⟶ℕ0 → ran 𝐻 ⊆ ℕ0)
19	6, 16, 17, 18	4syl 19	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ran 𝐻 ⊆ ℕ0)
20		nn0ssre 11904	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℕ0 ⊆ ℝ
21		ressxr 10687	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℝ ⊆ ℝ*
22	20, 21	sstri 3978	. . . . . . . . 9 ⊢ ℕ0 ⊆ ℝ*
23	19, 22	sstrdi 3981	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ran 𝐻 ⊆ ℝ*)
24	15, 23	sstrid 3980	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐻 “ (𝐹 supp 0 )) ⊆ ℝ*)
25		supxrcl 12711	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐻 “ (𝐹 supp 0 )) ⊆ ℝ* → sup((𝐻 “ (𝐹 supp 0 )), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
26	24, 25	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → sup((𝐻 “ (𝐹 supp 0 )), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
27	14, 26	eqeltrd 2915	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐹) ∈ ℝ*)
28	27	xrleidd 12548	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐹) ≤ (𝐷‘𝐹))
29	7, 8, 9, 10, 11, 12	mdegleb 24660	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘𝐹) ∈ ℝ*) → ((𝐷‘𝐹) ≤ (𝐷‘𝐹) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ((𝐷‘𝐹) < (𝐻‘𝑥) → (𝐹‘𝑥) = 0 )))
30	6, 27, 29	syl2anc 586	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐷‘𝐹) ≤ (𝐷‘𝐹) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ((𝐷‘𝐹) < (𝐻‘𝑥) → (𝐹‘𝑥) = 0 )))
31	28, 30	mpbid 234	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ((𝐷‘𝐹) < (𝐻‘𝑥) → (𝐹‘𝑥) = 0 ))
32		medglt.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐴)
33	5, 31, 32	rspcdva 3627	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐷‘𝐹) < (𝐻‘𝑋) → (𝐹‘𝑋) = 0 ))
34	1, 33	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑋) = 0 )

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  ∀wral 3140  {crab 3144  Vcvv 3496   ⊆ wss 3938   class class class wbr 5068   ↦ cmpt 5148  ^◡ccnv 5556  ran crn 5558   “ cima 5560  ⟶wf 6353  ‘cfv 6357  (class class class)co 7158   supp csupp 7832   ↑_m cmap 8408  Fincfn 8511  supcsup 8906  ℝcr 10538  ℝ^*cxr 10676   < clt 10677   ≤ cle 10678  ℕcn 11640  ℕ₀cn0 11900  Basecbs 16485  0_gc0g 16715   Σ_g cgsu 16716   mPoly cmpl 20135  ℂ_fldccnfld 20547   mDeg cmdg 24649

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-rep 5192  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-cnex 10595  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615  ax-pre-mulgt0 10616  ax-pre-sup 10617  ax-addf 10618  ax-mulf 10619

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rmo 3148  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-int 4879  df-iun 4923  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-se 5517  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-pred 6150  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-isom 6366  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-of 7411  df-om 7583  df-1st 7691  df-2nd 7692  df-supp 7833  df-wrecs 7949  df-recs 8010  df-rdg 8048  df-1o 8104  df-oadd 8108  df-er 8291  df-map 8410  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-fin 8515  df-fsupp 8836  df-sup 8908  df-oi 8976  df-card 9370  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-sub 10874  df-neg 10875  df-nn 11641  df-2 11703  df-3 11704  df-4 11705  df-5 11706  df-6 11707  df-7 11708  df-8 11709  df-9 11710  df-n0 11901  df-z 11985  df-dec 12102  df-uz 12247  df-fz 12896  df-fzo 13037  df-seq 13373  df-hash 13694  df-struct 16487  df-ndx 16488  df-slot 16489  df-base 16491  df-sets 16492  df-ress 16493  df-plusg 16580  df-mulr 16581  df-starv 16582  df-sca 16583  df-vsca 16584  df-tset 16586  df-ple 16587  df-ds 16589  df-unif 16590  df-0g 16717  df-gsum 16718  df-mgm 17854  df-sgrp 17903  df-mnd 17914  df-submnd 17959  df-grp 18108  df-minusg 18109  df-cntz 18449  df-cmn 18910  df-abl 18911  df-mgp 19242  df-ur 19254  df-ring 19301  df-cring 19302  df-psr 20138  df-mpl 20140  df-cnfld 20548  df-mdeg 24651

This theorem is referenced by:  mdegaddle  24670  mdegvscale  24671  mdegmullem  24674