MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  minveco Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem minveco 27868
Description: Minimizing vector theorem, or the Hilbert projection theorem. There is exactly one vector in a complete subspace 𝑊 that minimizes the distance to an arbitrary vector 𝐴 in a parent inner product space. Theorem 3.3-1 of [Kreyszig] p. 144, specialized to subspaces instead of convex subsets. (Contributed by NM, 11-Apr-2008.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 9-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
minveco.x 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
minveco.m 𝑀 = ( −𝑣𝑈)
minveco.n 𝑁 = (normCV𝑈)
minveco.y 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
minveco.u (𝜑𝑈 ∈ CPreHilOLD)
minveco.w (𝜑𝑊 ∈ ((SubSp‘𝑈) ∩ CBan))
minveco.a (𝜑𝐴𝑋)
Assertion
Ref Expression
minveco (𝜑 → ∃!𝑥𝑌𝑦𝑌 (𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑀   𝑥,𝑁,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝑈,𝑦   𝑥,𝑊,𝑦   𝑥,𝑋   𝑥,𝑌,𝑦
Allowed substitution hint:   𝑋(𝑦)

Proof of Theorem minveco
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 minveco.x . 2 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
2 minveco.m . 2 𝑀 = ( −𝑣𝑈)
3 minveco.n . 2 𝑁 = (normCV𝑈)
4 minveco.y . 2 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
5 minveco.u . 2 (𝜑𝑈 ∈ CPreHilOLD)
6 minveco.w . 2 (𝜑𝑊 ∈ ((SubSp‘𝑈) ∩ CBan))
7 minveco.a . 2 (𝜑𝐴𝑋)
8 eqid 2651 . 2 (IndMet‘𝑈) = (IndMet‘𝑈)
9 eqid 2651 . 2 (MetOpen‘(IndMet‘𝑈)) = (MetOpen‘(IndMet‘𝑈))
10 oveq2 6698 . . . . 5 (𝑗 = 𝑦 → (𝐴𝑀𝑗) = (𝐴𝑀𝑦))
1110fveq2d 6233 . . . 4 (𝑗 = 𝑦 → (𝑁‘(𝐴𝑀𝑗)) = (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))
1211cbvmptv 4783 . . 3 (𝑗𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑗))) = (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))
1312rneqi 5384 . 2 ran (𝑗𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑗))) = ran (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))
14 eqid 2651 . 2 inf(ran (𝑗𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑗))), ℝ, < ) = inf(ran (𝑗𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑗))), ℝ, < )
151, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 13, 14minvecolem7 27867 1 (𝜑 → ∃!𝑥𝑌𝑦𝑌 (𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1523  wcel 2030  wral 2941  ∃!wreu 2943  cin 3606   class class class wbr 4685  cmpt 4762  ran crn 5144  cfv 5926  (class class class)co 6690  infcinf 8388  cr 9973   < clt 10112  cle 10113  MetOpencmopn 19784  BaseSetcba 27569  𝑣 cnsb 27572  normCVcnmcv 27573  IndMetcims 27574  SubSpcss 27704  CPreHilOLDccphlo 27795  CBanccbn 27846
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cc 9295  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052  ax-addf 10053  ax-mulf 10054
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fi 8358  df-sup 8389  df-inf 8390  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-xneg 11984  df-xadd 11985  df-xmul 11986  df-ico 12219  df-icc 12220  df-fl 12633  df-seq 12842  df-exp 12901  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-rest 16130  df-topgen 16151  df-psmet 19786  df-xmet 19787  df-met 19788  df-bl 19789  df-mopn 19790  df-fbas 19791  df-fg 19792  df-top 20747  df-topon 20764  df-bases 20798  df-cld 20871  df-ntr 20872  df-cls 20873  df-nei 20950  df-lm 21081  df-haus 21167  df-fil 21697  df-fm 21789  df-flim 21790  df-flf 21791  df-cfil 23099  df-cau 23100  df-cmet 23101  df-grpo 27475  df-gid 27476  df-ginv 27477  df-gdiv 27478  df-ablo 27527  df-vc 27542  df-nv 27575  df-va 27578  df-ba 27579  df-sm 27580  df-0v 27581  df-vs 27582  df-nmcv 27583  df-ims 27584  df-ssp 27705  df-ph 27796  df-cbn 27847
This theorem is referenced by:  pjhthlem2  28379
  Copyright terms: Public domain W3C validator