Theorem minveco 26958

Description: Minimizing vector theorem, or the Hilbert projection theorem. There is exactly one vector in a complete subspace 𝑊 that minimizes the distance to an arbitrary vector 𝐴 in a parent inner product space. Theorem 3.3-1 of [Kreyszig] p. 144, specialized to subspaces instead of convex subsets. (Contributed by NM, 11-Apr-2008.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 9-May-2014.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
minveco.x	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
minveco.m	⊢ 𝑀 = ( −𝑣 ‘𝑈)
minveco.n	⊢ 𝑁 = (normCV‘𝑈)
minveco.y	⊢ 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
minveco.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ CPreHilOLD)
minveco.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ ((SubSp‘𝑈) ∩ CBan))
minveco.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
minveco	⊢ (𝜑 → ∃!𝑥 ∈ 𝑌 ∀𝑦 ∈ 𝑌 (𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑀   𝑥,𝑁,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝑈,𝑦   𝑥,𝑊,𝑦   𝑥,𝑋   𝑥,𝑌,𝑦

Allowed substitution hint:   𝑋(𝑦)

Proof of Theorem minveco

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		minveco.x	. 2 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
2		minveco.m	. 2 ⊢ 𝑀 = ( −𝑣 ‘𝑈)
3		minveco.n	. 2 ⊢ 𝑁 = (normCV‘𝑈)
4		minveco.y	. 2 ⊢ 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
5		minveco.u	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ CPreHilOLD)
6		minveco.w	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ ((SubSp‘𝑈) ∩ CBan))
7		minveco.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
8		eqid 2609	. 2 ⊢ (IndMet‘𝑈) = (IndMet‘𝑈)
9		eqid 2609	. 2 ⊢ (MetOpen‘(IndMet‘𝑈)) = (MetOpen‘(IndMet‘𝑈))
10		oveq2 6535	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑦 → (𝐴𝑀𝑗) = (𝐴𝑀𝑦))
11	10	fveq2d 6092	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 𝑦 → (𝑁‘(𝐴𝑀𝑗)) = (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))
12	11	cbvmptv 4672	. . 3 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑗))) = (𝑦 ∈ 𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))
13	12	rneqi 5260	. 2 ⊢ ran (𝑗 ∈ 𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑗))) = ran (𝑦 ∈ 𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))
14		eqid 2609	. 2 ⊢ inf(ran (𝑗 ∈ 𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑗))), ℝ, < ) = inf(ran (𝑗 ∈ 𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑗))), ℝ, < )
15	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 13, 14	minvecolem7 26957	1 ⊢ (𝜑 → ∃!𝑥 ∈ 𝑌 ∀𝑦 ∈ 𝑌 (𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1474   ∈ wcel 1976  ∀wral 2895  ∃!wreu 2897   ∩ cin 3538   class class class wbr 4577   ↦ cmpt 4637  ran crn 5029  ‘cfv 5790  (class class class)co 6527  infcinf 8208  ℝcr 9792   < clt 9931   ≤ cle 9932  MetOpencmopn 19506  BaseSetcba 26637   −_𝑣 cnsb 26640  norm_CVcnmcv 26641  IndMetcims 26642  SubSpcss 26792  CPreHil_OLDccphlo 26885  CBanccbn 26936

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6825  ax-inf2 8399  ax-cc 9118  ax-cnex 9849  ax-resscn 9850  ax-1cn 9851  ax-icn 9852  ax-addcl 9853  ax-addrcl 9854  ax-mulcl 9855  ax-mulrcl 9856  ax-mulcom 9857  ax-addass 9858  ax-mulass 9859  ax-distr 9860  ax-i2m1 9861  ax-1ne0 9862  ax-1rid 9863  ax-rnegex 9864  ax-rrecex 9865  ax-cnre 9866  ax-pre-lttri 9867  ax-pre-lttrn 9868  ax-pre-ltadd 9869  ax-pre-mulgt0 9870  ax-pre-sup 9871  ax-addf 9872  ax-mulf 9873

This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-iin 4452  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-om 6936  df-1st 7037  df-2nd 7038  df-wrecs 7272  df-recs 7333  df-rdg 7371  df-oadd 7429  df-er 7607  df-map 7724  df-pm 7725  df-en 7820  df-dom 7821  df-sdom 7822  df-fin 7823  df-fi 8178  df-sup 8209  df-inf 8210  df-pnf 9933  df-mnf 9934  df-xr 9935  df-ltxr 9936  df-le 9937  df-sub 10120  df-neg 10121  df-div 10537  df-nn 10871  df-2 10929  df-3 10930  df-4 10931  df-n0 11143  df-z 11214  df-uz 11523  df-q 11624  df-rp 11668  df-xneg 11781  df-xadd 11782  df-xmul 11783  df-ico 12011  df-icc 12012  df-fl 12413  df-seq 12622  df-exp 12681  df-cj 13636  df-re 13637  df-im 13638  df-sqrt 13772  df-abs 13773  df-rest 15855  df-topgen 15876  df-psmet 19508  df-xmet 19509  df-met 19510  df-bl 19511  df-mopn 19512  df-fbas 19513  df-fg 19514  df-top 20469  df-bases 20470  df-topon 20471  df-cld 20581  df-ntr 20582  df-cls 20583  df-nei 20660  df-lm 20791  df-haus 20877  df-fil 21408  df-fm 21500  df-flim 21501  df-flf 21502  df-cfil 22806  df-cau 22807  df-cmet 22808  df-grpo 26525  df-gid 26526  df-ginv 26527  df-gdiv 26528  df-ablo 26580  df-vc 26595  df-nv 26643  df-va 26646  df-ba 26647  df-sm 26648  df-0v 26649  df-vs 26650  df-nmcv 26651  df-ims 26652  df-ssp 26793  df-ph 26886  df-cbn 26937

This theorem is referenced by:  pjhthlem2  27469