MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  minvecolem7 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem minvecolem7 27969
Description: Lemma for minveco 27970. Since any two minimal points are distance zero away from each other, the minimal point is unique. (Contributed by Mario Carneiro, 9-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
minveco.x 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
minveco.m 𝑀 = ( −𝑣𝑈)
minveco.n 𝑁 = (normCV𝑈)
minveco.y 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
minveco.u (𝜑𝑈 ∈ CPreHilOLD)
minveco.w (𝜑𝑊 ∈ ((SubSp‘𝑈) ∩ CBan))
minveco.a (𝜑𝐴𝑋)
minveco.d 𝐷 = (IndMet‘𝑈)
minveco.j 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
minveco.r 𝑅 = ran (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))
minveco.s 𝑆 = inf(𝑅, ℝ, < )
Assertion
Ref Expression
minvecolem7 (𝜑 → ∃!𝑥𝑌𝑦𝑌 (𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐽   𝑥,𝑀,𝑦   𝑥,𝑁,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝑅   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐷,𝑦   𝑥,𝑈,𝑦   𝑥,𝑊,𝑦   𝑥,𝑋   𝑥,𝑌,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑅(𝑦)   𝑋(𝑦)

Proof of Theorem minvecolem7
Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 minveco.x . . 3 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
2 minveco.m . . 3 𝑀 = ( −𝑣𝑈)
3 minveco.n . . 3 𝑁 = (normCV𝑈)
4 minveco.y . . 3 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
5 minveco.u . . 3 (𝜑𝑈 ∈ CPreHilOLD)
6 minveco.w . . 3 (𝜑𝑊 ∈ ((SubSp‘𝑈) ∩ CBan))
7 minveco.a . . 3 (𝜑𝐴𝑋)
8 minveco.d . . 3 𝐷 = (IndMet‘𝑈)
9 minveco.j . . 3 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
10 minveco.r . . 3 𝑅 = ran (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))
11 minveco.s . . 3 𝑆 = inf(𝑅, ℝ, < )
121, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11minvecolem5 27967 . 2 (𝜑 → ∃𝑥𝑌𝑦𝑌 (𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))
135ad2antrr 764 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑌𝑤𝑌)) ∧ (((𝐴𝐷𝑥)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0) ∧ ((𝐴𝐷𝑤)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0))) → 𝑈 ∈ CPreHilOLD)
146ad2antrr 764 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑌𝑤𝑌)) ∧ (((𝐴𝐷𝑥)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0) ∧ ((𝐴𝐷𝑤)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0))) → 𝑊 ∈ ((SubSp‘𝑈) ∩ CBan))
157ad2antrr 764 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑌𝑤𝑌)) ∧ (((𝐴𝐷𝑥)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0) ∧ ((𝐴𝐷𝑤)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0))) → 𝐴𝑋)
16 0re 10153 . . . . . . 7 0 ∈ ℝ
1716a1i 11 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑌𝑤𝑌)) ∧ (((𝐴𝐷𝑥)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0) ∧ ((𝐴𝐷𝑤)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0))) → 0 ∈ ℝ)
18 0le0 11223 . . . . . . 7 0 ≤ 0
1918a1i 11 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑌𝑤𝑌)) ∧ (((𝐴𝐷𝑥)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0) ∧ ((𝐴𝐷𝑤)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0))) → 0 ≤ 0)
20 simplrl 819 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑌𝑤𝑌)) ∧ (((𝐴𝐷𝑥)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0) ∧ ((𝐴𝐷𝑤)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0))) → 𝑥𝑌)
21 simplrr 820 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑌𝑤𝑌)) ∧ (((𝐴𝐷𝑥)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0) ∧ ((𝐴𝐷𝑤)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0))) → 𝑤𝑌)
22 simprl 811 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑌𝑤𝑌)) ∧ (((𝐴𝐷𝑥)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0) ∧ ((𝐴𝐷𝑤)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0))) → ((𝐴𝐷𝑥)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0))
23 simprr 813 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑌𝑤𝑌)) ∧ (((𝐴𝐷𝑥)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0) ∧ ((𝐴𝐷𝑤)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0))) → ((𝐴𝐷𝑤)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0))
241, 2, 3, 4, 13, 14, 15, 8, 9, 10, 11, 17, 19, 20, 21, 22, 23minvecolem2 27961 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑌𝑤𝑌)) ∧ (((𝐴𝐷𝑥)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0) ∧ ((𝐴𝐷𝑤)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0))) → ((𝑥𝐷𝑤)↑2) ≤ (4 · 0))
2524ex 449 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑌𝑤𝑌)) → ((((𝐴𝐷𝑥)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0) ∧ ((𝐴𝐷𝑤)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0)) → ((𝑥𝐷𝑤)↑2) ≤ (4 · 0)))
261, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11minvecolem6 27968 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑌) → (((𝐴𝐷𝑥)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0) ↔ ∀𝑦𝑌 (𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦))))
2726adantrr 755 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑌𝑤𝑌)) → (((𝐴𝐷𝑥)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0) ↔ ∀𝑦𝑌 (𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦))))
281, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11minvecolem6 27968 . . . . . 6 ((𝜑𝑤𝑌) → (((𝐴𝐷𝑤)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0) ↔ ∀𝑦𝑌 (𝑁‘(𝐴𝑀𝑤)) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦))))
2928adantrl 754 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑌𝑤𝑌)) → (((𝐴𝐷𝑤)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0) ↔ ∀𝑦𝑌 (𝑁‘(𝐴𝑀𝑤)) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦))))
3027, 29anbi12d 749 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑌𝑤𝑌)) → ((((𝐴𝐷𝑥)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0) ∧ ((𝐴𝐷𝑤)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0)) ↔ (∀𝑦𝑌 (𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)) ∧ ∀𝑦𝑌 (𝑁‘(𝐴𝑀𝑤)) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))))
31 4cn 11211 . . . . . . 7 4 ∈ ℂ
3231mul01i 10339 . . . . . 6 (4 · 0) = 0
3332breq2i 4768 . . . . 5 (((𝑥𝐷𝑤)↑2) ≤ (4 · 0) ↔ ((𝑥𝐷𝑤)↑2) ≤ 0)
34 phnv 27899 . . . . . . . . . . . 12 (𝑈 ∈ CPreHilOLD𝑈 ∈ NrmCVec)
355, 34syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑈 ∈ NrmCVec)
3635adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑌𝑤𝑌)) → 𝑈 ∈ NrmCVec)
371, 8imsmet 27776 . . . . . . . . . 10 (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
3836, 37syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑌𝑤𝑌)) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
39 inss1 3941 . . . . . . . . . . . . 13 ((SubSp‘𝑈) ∩ CBan) ⊆ (SubSp‘𝑈)
4039, 6sseldi 3707 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑊 ∈ (SubSp‘𝑈))
41 eqid 2724 . . . . . . . . . . . . 13 (SubSp‘𝑈) = (SubSp‘𝑈)
421, 4, 41sspba 27812 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ (SubSp‘𝑈)) → 𝑌𝑋)
4335, 40, 42syl2anc 696 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑌𝑋)
4443adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑌𝑤𝑌)) → 𝑌𝑋)
45 simprl 811 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑌𝑤𝑌)) → 𝑥𝑌)
4644, 45sseldd 3710 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑌𝑤𝑌)) → 𝑥𝑋)
47 simprr 813 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑌𝑤𝑌)) → 𝑤𝑌)
4844, 47sseldd 3710 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑌𝑤𝑌)) → 𝑤𝑋)
49 metcl 22259 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋𝑤𝑋) → (𝑥𝐷𝑤) ∈ ℝ)
5038, 46, 48, 49syl3anc 1439 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑌𝑤𝑌)) → (𝑥𝐷𝑤) ∈ ℝ)
5150sqge0d 13151 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑌𝑤𝑌)) → 0 ≤ ((𝑥𝐷𝑤)↑2))
5251biantrud 529 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑌𝑤𝑌)) → (((𝑥𝐷𝑤)↑2) ≤ 0 ↔ (((𝑥𝐷𝑤)↑2) ≤ 0 ∧ 0 ≤ ((𝑥𝐷𝑤)↑2))))
5350resqcld 13150 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑌𝑤𝑌)) → ((𝑥𝐷𝑤)↑2) ∈ ℝ)
54 letri3 10236 . . . . . . 7 ((((𝑥𝐷𝑤)↑2) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (((𝑥𝐷𝑤)↑2) = 0 ↔ (((𝑥𝐷𝑤)↑2) ≤ 0 ∧ 0 ≤ ((𝑥𝐷𝑤)↑2))))
5553, 16, 54sylancl 697 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑌𝑤𝑌)) → (((𝑥𝐷𝑤)↑2) = 0 ↔ (((𝑥𝐷𝑤)↑2) ≤ 0 ∧ 0 ≤ ((𝑥𝐷𝑤)↑2))))
5650recnd 10181 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑌𝑤𝑌)) → (𝑥𝐷𝑤) ∈ ℂ)
57 sqeq0 13042 . . . . . . . 8 ((𝑥𝐷𝑤) ∈ ℂ → (((𝑥𝐷𝑤)↑2) = 0 ↔ (𝑥𝐷𝑤) = 0))
5856, 57syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑌𝑤𝑌)) → (((𝑥𝐷𝑤)↑2) = 0 ↔ (𝑥𝐷𝑤) = 0))
59 meteq0 22266 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋𝑤𝑋) → ((𝑥𝐷𝑤) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑤))
6038, 46, 48, 59syl3anc 1439 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑌𝑤𝑌)) → ((𝑥𝐷𝑤) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑤))
6158, 60bitrd 268 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑌𝑤𝑌)) → (((𝑥𝐷𝑤)↑2) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑤))
6252, 55, 613bitr2d 296 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑌𝑤𝑌)) → (((𝑥𝐷𝑤)↑2) ≤ 0 ↔ 𝑥 = 𝑤))
6333, 62syl5bb 272 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑌𝑤𝑌)) → (((𝑥𝐷𝑤)↑2) ≤ (4 · 0) ↔ 𝑥 = 𝑤))
6425, 30, 633imtr3d 282 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑌𝑤𝑌)) → ((∀𝑦𝑌 (𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)) ∧ ∀𝑦𝑌 (𝑁‘(𝐴𝑀𝑤)) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦))) → 𝑥 = 𝑤))
6564ralrimivva 3073 . 2 (𝜑 → ∀𝑥𝑌𝑤𝑌 ((∀𝑦𝑌 (𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)) ∧ ∀𝑦𝑌 (𝑁‘(𝐴𝑀𝑤)) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦))) → 𝑥 = 𝑤))
66 oveq2 6773 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑤 → (𝐴𝑀𝑥) = (𝐴𝑀𝑤))
6766fveq2d 6308 . . . . 5 (𝑥 = 𝑤 → (𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)) = (𝑁‘(𝐴𝑀𝑤)))
6867breq1d 4770 . . . 4 (𝑥 = 𝑤 → ((𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)) ↔ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑤)) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦))))
6968ralbidv 3088 . . 3 (𝑥 = 𝑤 → (∀𝑦𝑌 (𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)) ↔ ∀𝑦𝑌 (𝑁‘(𝐴𝑀𝑤)) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦))))
7069reu4 3506 . 2 (∃!𝑥𝑌𝑦𝑌 (𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)) ↔ (∃𝑥𝑌𝑦𝑌 (𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)) ∧ ∀𝑥𝑌𝑤𝑌 ((∀𝑦𝑌 (𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)) ∧ ∀𝑦𝑌 (𝑁‘(𝐴𝑀𝑤)) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦))) → 𝑥 = 𝑤)))
7112, 65, 70sylanbrc 701 1 (𝜑 → ∃!𝑥𝑌𝑦𝑌 (𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1596  wcel 2103  wral 3014  wrex 3015  ∃!wreu 3016  cin 3679  wss 3680   class class class wbr 4760  cmpt 4837  ran crn 5219  cfv 6001  (class class class)co 6765  infcinf 8463  cc 10047  cr 10048  0cc0 10049   + caddc 10052   · cmul 10054   < clt 10187  cle 10188  2c2 11183  4c4 11185  cexp 12975  Metcme 19855  MetOpencmopn 19859  NrmCVeccnv 27669  BaseSetcba 27671  𝑣 cnsb 27674  normCVcnmcv 27675  IndMetcims 27676  SubSpcss 27806  CPreHilOLDccphlo 27897  CBanccbn 27948
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1835  ax-4 1850  ax-5 1952  ax-6 2018  ax-7 2054  ax-8 2105  ax-9 2112  ax-10 2132  ax-11 2147  ax-12 2160  ax-13 2355  ax-ext 2704  ax-rep 4879  ax-sep 4889  ax-nul 4897  ax-pow 4948  ax-pr 5011  ax-un 7066  ax-inf2 8651  ax-cc 9370  ax-cnex 10105  ax-resscn 10106  ax-1cn 10107  ax-icn 10108  ax-addcl 10109  ax-addrcl 10110  ax-mulcl 10111  ax-mulrcl 10112  ax-mulcom 10113  ax-addass 10114  ax-mulass 10115  ax-distr 10116  ax-i2m1 10117  ax-1ne0 10118  ax-1rid 10119  ax-rnegex 10120  ax-rrecex 10121  ax-cnre 10122  ax-pre-lttri 10123  ax-pre-lttrn 10124  ax-pre-ltadd 10125  ax-pre-mulgt0 10126  ax-pre-sup 10127  ax-addf 10128  ax-mulf 10129
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1599  df-ex 1818  df-nf 1823  df-sb 2011  df-eu 2575  df-mo 2576  df-clab 2711  df-cleq 2717  df-clel 2720  df-nfc 2855  df-ne 2897  df-nel 3000  df-ral 3019  df-rex 3020  df-reu 3021  df-rmo 3022  df-rab 3023  df-v 3306  df-sbc 3542  df-csb 3640  df-dif 3683  df-un 3685  df-in 3687  df-ss 3694  df-pss 3696  df-nul 4024  df-if 4195  df-pw 4268  df-sn 4286  df-pr 4288  df-tp 4290  df-op 4292  df-uni 4545  df-int 4584  df-iun 4630  df-iin 4631  df-br 4761  df-opab 4821  df-mpt 4838  df-tr 4861  df-id 5128  df-eprel 5133  df-po 5139  df-so 5140  df-fr 5177  df-we 5179  df-xp 5224  df-rel 5225  df-cnv 5226  df-co 5227  df-dm 5228  df-rn 5229  df-res 5230  df-ima 5231  df-pred 5793  df-ord 5839  df-on 5840  df-lim 5841  df-suc 5842  df-iota 5964  df-fun 6003  df-fn 6004  df-f 6005  df-f1 6006  df-fo 6007  df-f1o 6008  df-fv 6009  df-riota 6726  df-ov 6768  df-oprab 6769  df-mpt2 6770  df-om 7183  df-1st 7285  df-2nd 7286  df-wrecs 7527  df-recs 7588  df-rdg 7626  df-oadd 7684  df-er 7862  df-map 7976  df-pm 7977  df-en 8073  df-dom 8074  df-sdom 8075  df-fin 8076  df-fi 8433  df-sup 8464  df-inf 8465  df-pnf 10189  df-mnf 10190  df-xr 10191  df-ltxr 10192  df-le 10193  df-sub 10381  df-neg 10382  df-div 10798  df-nn 11134  df-2 11192  df-3 11193  df-4 11194  df-n0 11406  df-z 11491  df-uz 11801  df-q 11903  df-rp 11947  df-xneg 12060  df-xadd 12061  df-xmul 12062  df-ico 12295  df-icc 12296  df-fl 12708  df-seq 12917  df-exp 12976  df-cj 13959  df-re 13960  df-im 13961  df-sqrt 14095  df-abs 14096  df-rest 16206  df-topgen 16227  df-psmet 19861  df-xmet 19862  df-met 19863  df-bl 19864  df-mopn 19865  df-fbas 19866  df-fg 19867  df-top 20822  df-topon 20839  df-bases 20873  df-cld 20946  df-ntr 20947  df-cls 20948  df-nei 21025  df-lm 21156  df-haus 21242  df-fil 21772  df-fm 21864  df-flim 21865  df-flf 21866  df-cfil 23174  df-cau 23175  df-cmet 23176  df-grpo 27577  df-gid 27578  df-ginv 27579  df-gdiv 27580  df-ablo 27629  df-vc 27644  df-nv 27677  df-va 27680  df-ba 27681  df-sm 27682  df-0v 27683  df-vs 27684  df-nmcv 27685  df-ims 27686  df-ssp 27807  df-ph 27898  df-cbn 27949
This theorem is referenced by:  minveco  27970
  Copyright terms: Public domain W3C validator