MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  minvecolem7 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem minvecolem7 27579
Description: Lemma for minveco 27580. Since any two minimal points are distance zero away from each other, the minimal point is unique. (Contributed by Mario Carneiro, 9-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
minveco.x 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
minveco.m 𝑀 = ( −𝑣𝑈)
minveco.n 𝑁 = (normCV𝑈)
minveco.y 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
minveco.u (𝜑𝑈 ∈ CPreHilOLD)
minveco.w (𝜑𝑊 ∈ ((SubSp‘𝑈) ∩ CBan))
minveco.a (𝜑𝐴𝑋)
minveco.d 𝐷 = (IndMet‘𝑈)
minveco.j 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
minveco.r 𝑅 = ran (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))
minveco.s 𝑆 = inf(𝑅, ℝ, < )
Assertion
Ref Expression
minvecolem7 (𝜑 → ∃!𝑥𝑌𝑦𝑌 (𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐽   𝑥,𝑀,𝑦   𝑥,𝑁,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝑅   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐷,𝑦   𝑥,𝑈,𝑦   𝑥,𝑊,𝑦   𝑥,𝑋   𝑥,𝑌,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑅(𝑦)   𝑋(𝑦)

Proof of Theorem minvecolem7
Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 minveco.x . . 3 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
2 minveco.m . . 3 𝑀 = ( −𝑣𝑈)
3 minveco.n . . 3 𝑁 = (normCV𝑈)
4 minveco.y . . 3 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
5 minveco.u . . 3 (𝜑𝑈 ∈ CPreHilOLD)
6 minveco.w . . 3 (𝜑𝑊 ∈ ((SubSp‘𝑈) ∩ CBan))
7 minveco.a . . 3 (𝜑𝐴𝑋)
8 minveco.d . . 3 𝐷 = (IndMet‘𝑈)
9 minveco.j . . 3 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
10 minveco.r . . 3 𝑅 = ran (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))
11 minveco.s . . 3 𝑆 = inf(𝑅, ℝ, < )
121, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11minvecolem5 27577 . 2 (𝜑 → ∃𝑥𝑌𝑦𝑌 (𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))
135ad2antrr 761 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑌𝑤𝑌)) ∧ (((𝐴𝐷𝑥)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0) ∧ ((𝐴𝐷𝑤)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0))) → 𝑈 ∈ CPreHilOLD)
146ad2antrr 761 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑌𝑤𝑌)) ∧ (((𝐴𝐷𝑥)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0) ∧ ((𝐴𝐷𝑤)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0))) → 𝑊 ∈ ((SubSp‘𝑈) ∩ CBan))
157ad2antrr 761 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑌𝑤𝑌)) ∧ (((𝐴𝐷𝑥)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0) ∧ ((𝐴𝐷𝑤)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0))) → 𝐴𝑋)
16 0re 9985 . . . . . . 7 0 ∈ ℝ
1716a1i 11 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑌𝑤𝑌)) ∧ (((𝐴𝐷𝑥)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0) ∧ ((𝐴𝐷𝑤)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0))) → 0 ∈ ℝ)
18 0le0 11055 . . . . . . 7 0 ≤ 0
1918a1i 11 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑌𝑤𝑌)) ∧ (((𝐴𝐷𝑥)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0) ∧ ((𝐴𝐷𝑤)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0))) → 0 ≤ 0)
20 simplrl 799 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑌𝑤𝑌)) ∧ (((𝐴𝐷𝑥)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0) ∧ ((𝐴𝐷𝑤)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0))) → 𝑥𝑌)
21 simplrr 800 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑌𝑤𝑌)) ∧ (((𝐴𝐷𝑥)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0) ∧ ((𝐴𝐷𝑤)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0))) → 𝑤𝑌)
22 simprl 793 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑌𝑤𝑌)) ∧ (((𝐴𝐷𝑥)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0) ∧ ((𝐴𝐷𝑤)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0))) → ((𝐴𝐷𝑥)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0))
23 simprr 795 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑌𝑤𝑌)) ∧ (((𝐴𝐷𝑥)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0) ∧ ((𝐴𝐷𝑤)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0))) → ((𝐴𝐷𝑤)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0))
241, 2, 3, 4, 13, 14, 15, 8, 9, 10, 11, 17, 19, 20, 21, 22, 23minvecolem2 27571 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑌𝑤𝑌)) ∧ (((𝐴𝐷𝑥)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0) ∧ ((𝐴𝐷𝑤)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0))) → ((𝑥𝐷𝑤)↑2) ≤ (4 · 0))
2524ex 450 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑌𝑤𝑌)) → ((((𝐴𝐷𝑥)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0) ∧ ((𝐴𝐷𝑤)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0)) → ((𝑥𝐷𝑤)↑2) ≤ (4 · 0)))
261, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11minvecolem6 27578 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑌) → (((𝐴𝐷𝑥)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0) ↔ ∀𝑦𝑌 (𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦))))
2726adantrr 752 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑌𝑤𝑌)) → (((𝐴𝐷𝑥)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0) ↔ ∀𝑦𝑌 (𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦))))
281, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11minvecolem6 27578 . . . . . 6 ((𝜑𝑤𝑌) → (((𝐴𝐷𝑤)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0) ↔ ∀𝑦𝑌 (𝑁‘(𝐴𝑀𝑤)) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦))))
2928adantrl 751 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑌𝑤𝑌)) → (((𝐴𝐷𝑤)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0) ↔ ∀𝑦𝑌 (𝑁‘(𝐴𝑀𝑤)) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦))))
3027, 29anbi12d 746 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑌𝑤𝑌)) → ((((𝐴𝐷𝑥)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0) ∧ ((𝐴𝐷𝑤)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0)) ↔ (∀𝑦𝑌 (𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)) ∧ ∀𝑦𝑌 (𝑁‘(𝐴𝑀𝑤)) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))))
31 4cn 11043 . . . . . . 7 4 ∈ ℂ
3231mul01i 10171 . . . . . 6 (4 · 0) = 0
3332breq2i 4626 . . . . 5 (((𝑥𝐷𝑤)↑2) ≤ (4 · 0) ↔ ((𝑥𝐷𝑤)↑2) ≤ 0)
34 phnv 27509 . . . . . . . . . . . 12 (𝑈 ∈ CPreHilOLD𝑈 ∈ NrmCVec)
355, 34syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑈 ∈ NrmCVec)
3635adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑌𝑤𝑌)) → 𝑈 ∈ NrmCVec)
371, 8imsmet 27386 . . . . . . . . . 10 (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
3836, 37syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑌𝑤𝑌)) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
39 inss1 3816 . . . . . . . . . . . . 13 ((SubSp‘𝑈) ∩ CBan) ⊆ (SubSp‘𝑈)
4039, 6sseldi 3586 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑊 ∈ (SubSp‘𝑈))
41 eqid 2626 . . . . . . . . . . . . 13 (SubSp‘𝑈) = (SubSp‘𝑈)
421, 4, 41sspba 27422 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ (SubSp‘𝑈)) → 𝑌𝑋)
4335, 40, 42syl2anc 692 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑌𝑋)
4443adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑌𝑤𝑌)) → 𝑌𝑋)
45 simprl 793 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑌𝑤𝑌)) → 𝑥𝑌)
4644, 45sseldd 3589 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑌𝑤𝑌)) → 𝑥𝑋)
47 simprr 795 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑌𝑤𝑌)) → 𝑤𝑌)
4844, 47sseldd 3589 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑌𝑤𝑌)) → 𝑤𝑋)
49 metcl 22042 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋𝑤𝑋) → (𝑥𝐷𝑤) ∈ ℝ)
5038, 46, 48, 49syl3anc 1323 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑌𝑤𝑌)) → (𝑥𝐷𝑤) ∈ ℝ)
5150sqge0d 12973 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑌𝑤𝑌)) → 0 ≤ ((𝑥𝐷𝑤)↑2))
5251biantrud 528 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑌𝑤𝑌)) → (((𝑥𝐷𝑤)↑2) ≤ 0 ↔ (((𝑥𝐷𝑤)↑2) ≤ 0 ∧ 0 ≤ ((𝑥𝐷𝑤)↑2))))
5350resqcld 12972 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑌𝑤𝑌)) → ((𝑥𝐷𝑤)↑2) ∈ ℝ)
54 letri3 10068 . . . . . . 7 ((((𝑥𝐷𝑤)↑2) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (((𝑥𝐷𝑤)↑2) = 0 ↔ (((𝑥𝐷𝑤)↑2) ≤ 0 ∧ 0 ≤ ((𝑥𝐷𝑤)↑2))))
5553, 16, 54sylancl 693 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑌𝑤𝑌)) → (((𝑥𝐷𝑤)↑2) = 0 ↔ (((𝑥𝐷𝑤)↑2) ≤ 0 ∧ 0 ≤ ((𝑥𝐷𝑤)↑2))))
5650recnd 10013 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑌𝑤𝑌)) → (𝑥𝐷𝑤) ∈ ℂ)
57 sqeq0 12864 . . . . . . . 8 ((𝑥𝐷𝑤) ∈ ℂ → (((𝑥𝐷𝑤)↑2) = 0 ↔ (𝑥𝐷𝑤) = 0))
5856, 57syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑌𝑤𝑌)) → (((𝑥𝐷𝑤)↑2) = 0 ↔ (𝑥𝐷𝑤) = 0))
59 meteq0 22049 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋𝑤𝑋) → ((𝑥𝐷𝑤) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑤))
6038, 46, 48, 59syl3anc 1323 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑌𝑤𝑌)) → ((𝑥𝐷𝑤) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑤))
6158, 60bitrd 268 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑌𝑤𝑌)) → (((𝑥𝐷𝑤)↑2) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑤))
6252, 55, 613bitr2d 296 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑌𝑤𝑌)) → (((𝑥𝐷𝑤)↑2) ≤ 0 ↔ 𝑥 = 𝑤))
6333, 62syl5bb 272 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑌𝑤𝑌)) → (((𝑥𝐷𝑤)↑2) ≤ (4 · 0) ↔ 𝑥 = 𝑤))
6425, 30, 633imtr3d 282 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑌𝑤𝑌)) → ((∀𝑦𝑌 (𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)) ∧ ∀𝑦𝑌 (𝑁‘(𝐴𝑀𝑤)) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦))) → 𝑥 = 𝑤))
6564ralrimivva 2970 . 2 (𝜑 → ∀𝑥𝑌𝑤𝑌 ((∀𝑦𝑌 (𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)) ∧ ∀𝑦𝑌 (𝑁‘(𝐴𝑀𝑤)) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦))) → 𝑥 = 𝑤))
66 oveq2 6613 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑤 → (𝐴𝑀𝑥) = (𝐴𝑀𝑤))
6766fveq2d 6154 . . . . 5 (𝑥 = 𝑤 → (𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)) = (𝑁‘(𝐴𝑀𝑤)))
6867breq1d 4628 . . . 4 (𝑥 = 𝑤 → ((𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)) ↔ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑤)) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦))))
6968ralbidv 2985 . . 3 (𝑥 = 𝑤 → (∀𝑦𝑌 (𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)) ↔ ∀𝑦𝑌 (𝑁‘(𝐴𝑀𝑤)) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦))))
7069reu4 3387 . 2 (∃!𝑥𝑌𝑦𝑌 (𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)) ↔ (∃𝑥𝑌𝑦𝑌 (𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)) ∧ ∀𝑥𝑌𝑤𝑌 ((∀𝑦𝑌 (𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)) ∧ ∀𝑦𝑌 (𝑁‘(𝐴𝑀𝑤)) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦))) → 𝑥 = 𝑤)))
7112, 65, 70sylanbrc 697 1 (𝜑 → ∃!𝑥𝑌𝑦𝑌 (𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wcel 1992  wral 2912  wrex 2913  ∃!wreu 2914  cin 3559  wss 3560   class class class wbr 4618  cmpt 4678  ran crn 5080  cfv 5850  (class class class)co 6605  infcinf 8292  cc 9879  cr 9880  0cc0 9881   + caddc 9884   · cmul 9886   < clt 10019  cle 10020  2c2 11015  4c4 11017  cexp 12797  Metcme 19646  MetOpencmopn 19650  NrmCVeccnv 27279  BaseSetcba 27281  𝑣 cnsb 27284  normCVcnmcv 27285  IndMetcims 27286  SubSpcss 27416  CPreHilOLDccphlo 27507  CBanccbn 27558
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-inf2 8483  ax-cc 9202  ax-cnex 9937  ax-resscn 9938  ax-1cn 9939  ax-icn 9940  ax-addcl 9941  ax-addrcl 9942  ax-mulcl 9943  ax-mulrcl 9944  ax-mulcom 9945  ax-addass 9946  ax-mulass 9947  ax-distr 9948  ax-i2m1 9949  ax-1ne0 9950  ax-1rid 9951  ax-rnegex 9952  ax-rrecex 9953  ax-cnre 9954  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956  ax-pre-ltadd 9957  ax-pre-mulgt0 9958  ax-pre-sup 9959  ax-addf 9960  ax-mulf 9961
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-iin 4493  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5642  df-ord 5688  df-on 5689  df-lim 5690  df-suc 5691  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-riota 6566  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-om 7014  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-wrecs 7353  df-recs 7414  df-rdg 7452  df-oadd 7510  df-er 7688  df-map 7805  df-pm 7806  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-fin 7904  df-fi 8262  df-sup 8293  df-inf 8294  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-xr 10023  df-ltxr 10024  df-le 10025  df-sub 10213  df-neg 10214  df-div 10630  df-nn 10966  df-2 11024  df-3 11025  df-4 11026  df-n0 11238  df-z 11323  df-uz 11632  df-q 11733  df-rp 11777  df-xneg 11890  df-xadd 11891  df-xmul 11892  df-ico 12120  df-icc 12121  df-fl 12530  df-seq 12739  df-exp 12798  df-cj 13768  df-re 13769  df-im 13770  df-sqrt 13904  df-abs 13905  df-rest 15999  df-topgen 16020  df-psmet 19652  df-xmet 19653  df-met 19654  df-bl 19655  df-mopn 19656  df-fbas 19657  df-fg 19658  df-top 20616  df-bases 20617  df-topon 20618  df-cld 20728  df-ntr 20729  df-cls 20730  df-nei 20807  df-lm 20938  df-haus 21024  df-fil 21555  df-fm 21647  df-flim 21648  df-flf 21649  df-cfil 22956  df-cau 22957  df-cmet 22958  df-grpo 27187  df-gid 27188  df-ginv 27189  df-gdiv 27190  df-ablo 27239  df-vc 27254  df-nv 27287  df-va 27290  df-ba 27291  df-sm 27292  df-0v 27293  df-vs 27294  df-nmcv 27295  df-ims 27296  df-ssp 27417  df-ph 27508  df-cbn 27559
This theorem is referenced by:  minveco  27580
  Copyright terms: Public domain W3C validator