MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  miriso Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem miriso 25610
Description: The point inversion function is an isometry, i.e. it is conserves congruence. Because it is also a bijection, it is also a motion. Theorem 7.13 of [Schwabhauser] p. 50. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mirval.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
mirval.d = (dist‘𝐺)
mirval.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
mirval.l 𝐿 = (LineG‘𝐺)
mirval.s 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
mirval.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
mirval.a (𝜑𝐴𝑃)
mirfv.m 𝑀 = (𝑆𝐴)
miriso.1 (𝜑𝑋𝑃)
miriso.2 (𝜑𝑌𝑃)
Assertion
Ref Expression
miriso (𝜑 → ((𝑀𝑋) (𝑀𝑌)) = (𝑋 𝑌))

Proof of Theorem miriso
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑡 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 476 . . . 4 ((𝜑𝑋 = 𝐴) → 𝑋 = 𝐴)
21oveq1d 6705 . . 3 ((𝜑𝑋 = 𝐴) → (𝑋 𝑌) = (𝐴 𝑌))
3 mirval.p . . . 4 𝑃 = (Base‘𝐺)
4 mirval.d . . . 4 = (dist‘𝐺)
5 mirval.i . . . 4 𝐼 = (Itv‘𝐺)
6 mirval.l . . . 4 𝐿 = (LineG‘𝐺)
7 mirval.s . . . 4 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
8 mirval.g . . . . 5 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
98adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑋 = 𝐴) → 𝐺 ∈ TarskiG)
10 mirval.a . . . . 5 (𝜑𝐴𝑃)
1110adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑋 = 𝐴) → 𝐴𝑃)
12 mirfv.m . . . 4 𝑀 = (𝑆𝐴)
13 miriso.2 . . . . 5 (𝜑𝑌𝑃)
1413adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑋 = 𝐴) → 𝑌𝑃)
153, 4, 5, 6, 7, 9, 11, 12, 14mircgr 25597 . . 3 ((𝜑𝑋 = 𝐴) → (𝐴 (𝑀𝑌)) = (𝐴 𝑌))
16 miriso.1 . . . . . 6 (𝜑𝑋𝑃)
1716adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑋 = 𝐴) → 𝑋𝑃)
181eqcomd 2657 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 = 𝐴) → 𝐴 = 𝑋)
1918oveq2d 6706 . . . . 5 ((𝜑𝑋 = 𝐴) → (𝐴 𝐴) = (𝐴 𝑋))
203, 4, 5, 9, 11, 17tgbtwntriv1 25431 . . . . 5 ((𝜑𝑋 = 𝐴) → 𝐴 ∈ (𝐴𝐼𝑋))
213, 4, 5, 6, 7, 9, 11, 12, 17, 11, 19, 20ismir 25599 . . . 4 ((𝜑𝑋 = 𝐴) → 𝐴 = (𝑀𝑋))
2221oveq1d 6705 . . 3 ((𝜑𝑋 = 𝐴) → (𝐴 (𝑀𝑌)) = ((𝑀𝑋) (𝑀𝑌)))
232, 15, 223eqtr2rd 2692 . 2 ((𝜑𝑋 = 𝐴) → ((𝑀𝑋) (𝑀𝑌)) = (𝑋 𝑌))
248adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑋𝐴) → 𝐺 ∈ TarskiG)
2524ad2antrr 762 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) → 𝐺 ∈ TarskiG)
2625ad6antr 777 . . . . . . . 8 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → 𝐺 ∈ TarskiG)
27 simplr 807 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) → 𝑥𝑃)
2827ad6antr 777 . . . . . . . 8 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → 𝑥𝑃)
2916adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑋𝐴) → 𝑋𝑃)
3029ad8antr 785 . . . . . . . 8 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → 𝑋𝑃)
3110adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑋𝐴) → 𝐴𝑃)
3231ad2antrr 762 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) → 𝐴𝑃)
3332ad6antr 777 . . . . . . . 8 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → 𝐴𝑃)
3413adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑋𝐴) → 𝑌𝑃)
3534ad2antrr 762 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) → 𝑌𝑃)
3635ad6antr 777 . . . . . . . 8 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → 𝑌𝑃)
37 simp-4r 824 . . . . . . . 8 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → 𝑧𝑃)
383, 4, 5, 6, 7, 24, 31, 12, 29mircl 25601 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑋𝐴) → (𝑀𝑋) ∈ 𝑃)
3938ad2antrr 762 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) → (𝑀𝑋) ∈ 𝑃)
4039ad6antr 777 . . . . . . . 8 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → (𝑀𝑋) ∈ 𝑃)
413, 4, 5, 6, 7, 24, 31, 12, 34mircl 25601 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑋𝐴) → (𝑀𝑌) ∈ 𝑃)
4241ad8antr 785 . . . . . . . 8 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → (𝑀𝑌) ∈ 𝑃)
433, 4, 5, 6, 7, 26, 33, 12, 30mirbtwn 25598 . . . . . . . . . 10 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → 𝐴 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑋))
44 simp-7r 830 . . . . . . . . . . 11 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴)))
4544simpld 474 . . . . . . . . . 10 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → 𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥))
463, 4, 5, 26, 40, 33, 30, 28, 43, 45tgbtwnexch3 25434 . . . . . . . . 9 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → 𝑋 ∈ (𝐴𝐼𝑥))
473, 4, 5, 26, 33, 30, 28, 46tgbtwncom 25428 . . . . . . . 8 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → 𝑋 ∈ (𝑥𝐼𝐴))
483, 4, 5, 26, 40, 30, 28, 45tgbtwncom 25428 . . . . . . . . . . 11 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → 𝑋 ∈ (𝑥𝐼(𝑀𝑋)))
493, 4, 5, 26, 40, 33, 30, 43tgbtwncom 25428 . . . . . . . . . . 11 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → 𝐴 ∈ (𝑋𝐼(𝑀𝑋)))
503, 4, 5, 26, 28, 30, 33, 40, 48, 49tgbtwnexch2 25436 . . . . . . . . . 10 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → 𝐴 ∈ (𝑥𝐼(𝑀𝑋)))
51 simpllr 815 . . . . . . . . . . 11 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴)))
5251simpld 474 . . . . . . . . . 10 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → (𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧))
533, 4, 5, 26, 28, 33, 40, 37, 50, 52tgbtwnexch3 25434 . . . . . . . . 9 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → (𝑀𝑋) ∈ (𝐴𝐼𝑧))
543, 4, 5, 26, 33, 40, 37, 53tgbtwncom 25428 . . . . . . . 8 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → (𝑀𝑋) ∈ (𝑧𝐼𝐴))
55 simp-4r 824 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) → 𝑦𝑃)
5655ad2antrr 762 . . . . . . . . . . 11 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → 𝑦𝑃)
573, 4, 5, 6, 7, 26, 33, 12, 36mirbtwn 25598 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → 𝐴 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑌))
58 simp-5r 826 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴)))
5958simpld 474 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → 𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦))
603, 4, 5, 26, 42, 33, 36, 56, 57, 59tgbtwnexch3 25434 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → 𝑌 ∈ (𝐴𝐼𝑦))
613, 4, 5, 26, 33, 36, 56, 60tgbtwncom 25428 . . . . . . . . . . 11 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → 𝑌 ∈ (𝑦𝐼𝐴))
623, 4, 5, 6, 7, 26, 33, 12, 30mircgr 25597 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → (𝐴 (𝑀𝑋)) = (𝐴 𝑋))
6358simprd 478 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))
643, 4, 5, 26, 36, 56, 30, 33, 63tgcgrcomlr 25420 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → (𝑦 𝑌) = (𝐴 𝑋))
6562, 64eqtr4d 2688 . . . . . . . . . . 11 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → (𝐴 (𝑀𝑋)) = (𝑦 𝑌))
6651simprd 478 . . . . . . . . . . 11 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))
673, 4, 5, 26, 33, 40, 37, 56, 36, 33, 53, 61, 65, 66tgcgrextend 25425 . . . . . . . . . 10 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → (𝐴 𝑧) = (𝑦 𝐴))
6844simprd 478 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))
6968eqcomd 2657 . . . . . . . . . . 11 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → (𝑌 𝐴) = (𝑋 𝑥))
703, 4, 5, 26, 56, 36, 33, 33, 30, 28, 61, 46, 64, 69tgcgrextend 25425 . . . . . . . . . 10 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → (𝑦 𝐴) = (𝐴 𝑥))
7167, 70eqtr2d 2686 . . . . . . . . 9 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → (𝐴 𝑥) = (𝐴 𝑧))
723, 4, 5, 26, 33, 28, 33, 37, 71tgcgrcomlr 25420 . . . . . . . 8 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → (𝑥 𝐴) = (𝑧 𝐴))
7362eqcomd 2657 . . . . . . . . 9 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → (𝐴 𝑋) = (𝐴 (𝑀𝑋)))
743, 4, 5, 26, 33, 30, 33, 40, 73tgcgrcomlr 25420 . . . . . . . 8 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → (𝑋 𝐴) = ((𝑀𝑋) 𝐴))
75 simplr 807 . . . . . . . . . 10 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → 𝑡𝑃)
763, 4, 5, 26, 42, 36, 56, 59tgbtwncom 25428 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → 𝑌 ∈ (𝑦𝐼(𝑀𝑌)))
773, 4, 5, 26, 42, 33, 36, 57tgbtwncom 25428 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → 𝐴 ∈ (𝑌𝐼(𝑀𝑌)))
783, 4, 5, 26, 56, 36, 33, 42, 76, 77tgbtwnexch2 25436 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → 𝐴 ∈ (𝑦𝐼(𝑀𝑌)))
79 simpr 476 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴)))
8079simpld 474 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → (𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡))
813, 4, 5, 26, 56, 33, 42, 75, 78, 80tgbtwnexch3 25434 . . . . . . . . . . 11 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → (𝑀𝑌) ∈ (𝐴𝐼𝑡))
823, 4, 5, 26, 33, 42, 75, 81tgbtwncom 25428 . . . . . . . . . 10 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → (𝑀𝑌) ∈ (𝑡𝐼𝐴))
833, 4, 5, 26, 30, 28, 36, 33, 68tgcgrcomlr 25420 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → (𝑥 𝑋) = (𝐴 𝑌))
843, 4, 5, 6, 7, 26, 33, 12, 36mircgr 25597 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → (𝐴 (𝑀𝑌)) = (𝐴 𝑌))
8583, 84eqtr4d 2688 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → (𝑥 𝑋) = (𝐴 (𝑀𝑌)))
8679simprd 478 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))
8786eqcomd 2657 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → (𝑋 𝐴) = ((𝑀𝑌) 𝑡))
883, 4, 5, 26, 28, 30, 33, 33, 42, 75, 47, 81, 85, 87tgcgrextend 25425 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → (𝑥 𝐴) = (𝐴 𝑡))
893, 4, 5, 26, 33, 75axtgcgrrflx 25406 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → (𝐴 𝑡) = (𝑡 𝐴))
9088, 89eqtrd 2685 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → (𝑥 𝐴) = (𝑡 𝐴))
913, 4, 5, 26, 28, 33, 75, 33, 90tgcgrcomlr 25420 . . . . . . . . . . 11 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → (𝐴 𝑥) = (𝐴 𝑡))
9270, 91, 893eqtrd 2689 . . . . . . . . . 10 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → (𝑦 𝐴) = (𝑡 𝐴))
933, 4, 5, 26, 33, 42, 33, 36, 84tgcgrcomlr 25420 . . . . . . . . . . 11 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → ((𝑀𝑌) 𝐴) = (𝑌 𝐴))
9493eqcomd 2657 . . . . . . . . . 10 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → (𝑌 𝐴) = ((𝑀𝑌) 𝐴))
953, 4, 5, 26, 75, 37axtgcgrrflx 25406 . . . . . . . . . . 11 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → (𝑡 𝑧) = (𝑧 𝑡))
96 simp-9r 834 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → 𝑋𝐴)
9796neneqd 2828 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → ¬ 𝑋 = 𝐴)
9826adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑥 = 𝐴) → 𝐺 ∈ TarskiG)
9933adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑥 = 𝐴) → 𝐴𝑃)
10030adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑥 = 𝐴) → 𝑋𝑃)
10146adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑥 = 𝐴) → 𝑋 ∈ (𝐴𝐼𝑥))
102 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑥 = 𝐴) → 𝑥 = 𝐴)
103102oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑥 = 𝐴) → (𝐴𝐼𝑥) = (𝐴𝐼𝐴))
104101, 103eleqtrd 2732 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑥 = 𝐴) → 𝑋 ∈ (𝐴𝐼𝐴))
1053, 4, 5, 98, 99, 100, 104axtgbtwnid 25410 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑥 = 𝐴) → 𝐴 = 𝑋)
106105eqcomd 2657 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑥 = 𝐴) → 𝑋 = 𝐴)
10797, 106mtand 692 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → ¬ 𝑥 = 𝐴)
108107neqned 2830 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → 𝑥𝐴)
1093, 4, 5, 26, 28, 33, 40, 37, 50, 52tgbtwnexch 25438 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → 𝐴 ∈ (𝑥𝐼𝑧))
1103, 4, 5, 26, 56, 33, 42, 75, 78, 80tgbtwnexch 25438 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → 𝐴 ∈ (𝑦𝐼𝑡))
1113, 4, 5, 26, 56, 33, 75, 110tgbtwncom 25428 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → 𝐴 ∈ (𝑡𝐼𝑦))
1123, 4, 5, 26, 56, 33axtgcgrrflx 25406 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → (𝑦 𝐴) = (𝐴 𝑦))
11367, 112eqtrd 2685 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → (𝐴 𝑧) = (𝐴 𝑦))
1143, 4, 5, 26, 28, 75axtgcgrrflx 25406 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → (𝑥 𝑡) = (𝑡 𝑥))
11591eqcomd 2657 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → (𝐴 𝑡) = (𝐴 𝑥))
1163, 4, 5, 26, 28, 33, 37, 75, 33, 56, 75, 28, 108, 109, 111, 90, 113, 114, 115axtg5seg 25409 . . . . . . . . . . 11 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → (𝑧 𝑡) = (𝑦 𝑥))
11795, 116eqtr2d 2686 . . . . . . . . . 10 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → (𝑦 𝑥) = (𝑡 𝑧))
1183, 4, 5, 26, 56, 36, 33, 28, 75, 42, 33, 37, 61, 82, 92, 94, 117, 71tgifscgr 25448 . . . . . . . . 9 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → (𝑌 𝑥) = ((𝑀𝑌) 𝑧))
1193, 4, 5, 26, 36, 28, 42, 37, 118tgcgrcomlr 25420 . . . . . . . 8 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → (𝑥 𝑌) = (𝑧 (𝑀𝑌)))
12084eqcomd 2657 . . . . . . . 8 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → (𝐴 𝑌) = (𝐴 (𝑀𝑌)))
1213, 4, 5, 26, 28, 30, 33, 36, 37, 40, 33, 42, 47, 54, 72, 74, 119, 120tgifscgr 25448 . . . . . . 7 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → (𝑋 𝑌) = ((𝑀𝑋) (𝑀𝑌)))
122121eqcomd 2657 . . . . . 6 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → ((𝑀𝑋) (𝑀𝑌)) = (𝑋 𝑌))
123 simp-6l 827 . . . . . . 7 ((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) → (𝜑𝑋𝐴))
124 simpllr 815 . . . . . . 7 ((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) → (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴)))
12524ad2antrr 762 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) → 𝐺 ∈ TarskiG)
126 simplr 807 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) → 𝑦𝑃)
12741ad2antrr 762 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) → (𝑀𝑌) ∈ 𝑃)
12829ad2antrr 762 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) → 𝑋𝑃)
12931ad2antrr 762 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) → 𝐴𝑃)
1303, 4, 5, 125, 126, 127, 128, 129axtgsegcon 25408 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) → ∃𝑡𝑃 ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴)))
131123, 55, 124, 130syl21anc 1365 . . . . . 6 ((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) → ∃𝑡𝑃 ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴)))
132122, 131r19.29a 3107 . . . . 5 ((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) → ((𝑀𝑋) (𝑀𝑌)) = (𝑋 𝑌))
1333, 4, 5, 25, 27, 39, 35, 32axtgsegcon 25408 . . . . . 6 ((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) → ∃𝑧𝑃 ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴)))
134133ad2antrr 762 . . . . 5 ((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) → ∃𝑧𝑃 ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴)))
135132, 134r19.29a 3107 . . . 4 ((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) → ((𝑀𝑋) (𝑀𝑌)) = (𝑋 𝑌))
1363, 4, 5, 24, 41, 34, 29, 31axtgsegcon 25408 . . . . 5 ((𝜑𝑋𝐴) → ∃𝑦𝑃 (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴)))
137136ad2antrr 762 . . . 4 ((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) → ∃𝑦𝑃 (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴)))
138135, 137r19.29a 3107 . . 3 ((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) → ((𝑀𝑋) (𝑀𝑌)) = (𝑋 𝑌))
1393, 4, 5, 24, 38, 29, 34, 31axtgsegcon 25408 . . 3 ((𝜑𝑋𝐴) → ∃𝑥𝑃 (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴)))
140138, 139r19.29a 3107 . 2 ((𝜑𝑋𝐴) → ((𝑀𝑋) (𝑀𝑌)) = (𝑋 𝑌))
14123, 140pm2.61dane 2910 1 (𝜑 → ((𝑀𝑋) (𝑀𝑌)) = (𝑋 𝑌))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823  wrex 2942  cfv 5926  (class class class)co 6690  Basecbs 15904  distcds 15997  TarskiGcstrkg 25374  Itvcitv 25380  LineGclng 25381  pInvGcmir 25592
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-card 8803  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-n0 11331  df-xnn0 11402  df-z 11416  df-uz 11726  df-fz 12365  df-hash 13158  df-trkgc 25392  df-trkgb 25393  df-trkgcb 25394  df-trkg 25397  df-mir 25593
This theorem is referenced by:  mirbtwni  25611  mircgrs  25613  mirmot  25615  miduniq  25625  ragcom  25638  colperpexlem1  25667  lmiisolem  25733  hypcgrlem2  25737  hypcgr  25738
  Copyright terms: Public domain W3C validator