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Theorem miriso 25610
 Description: The point inversion function is an isometry, i.e. it is conserves congruence. Because it is also a bijection, it is also a motion. Theorem 7.13 of [Schwabhauser] p. 50. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mirval.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
mirval.d = (dist‘𝐺)
mirval.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
mirval.l 𝐿 = (LineG‘𝐺)
mirval.s 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
mirval.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
mirval.a (𝜑𝐴𝑃)
mirfv.m 𝑀 = (𝑆𝐴)
miriso.1 (𝜑𝑋𝑃)
miriso.2 (𝜑𝑌𝑃)
Assertion
Ref Expression
miriso (𝜑 → ((𝑀𝑋) (𝑀𝑌)) = (𝑋 𝑌))

Proof of Theorem miriso
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑡 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 476 . . . 4 ((𝜑𝑋 = 𝐴) → 𝑋 = 𝐴)
21oveq1d 6705 . . 3 ((𝜑𝑋 = 𝐴) → (𝑋 𝑌) = (𝐴 𝑌))
3 mirval.p . . . 4 𝑃 = (Base‘𝐺)
4 mirval.d . . . 4 = (dist‘𝐺)
5 mirval.i . . . 4 𝐼 = (Itv‘𝐺)
6 mirval.l . . . 4 𝐿 = (LineG‘𝐺)
7 mirval.s . . . 4 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
8 mirval.g . . . . 5 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
98adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑋 = 𝐴) → 𝐺 ∈ TarskiG)
10 mirval.a . . . . 5 (𝜑𝐴𝑃)
1110adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑋 = 𝐴) → 𝐴𝑃)
12 mirfv.m . . . 4 𝑀 = (𝑆𝐴)
13 miriso.2 . . . . 5 (𝜑𝑌𝑃)
1413adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑋 = 𝐴) → 𝑌𝑃)
153, 4, 5, 6, 7, 9, 11, 12, 14mircgr 25597 . . 3 ((𝜑𝑋 = 𝐴) → (𝐴 (𝑀𝑌)) = (𝐴 𝑌))
16 miriso.1 . . . . . 6 (𝜑𝑋𝑃)
1716adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑋 = 𝐴) → 𝑋𝑃)
181eqcomd 2657 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 = 𝐴) → 𝐴 = 𝑋)
1918oveq2d 6706 . . . . 5 ((𝜑𝑋 = 𝐴) → (𝐴 𝐴) = (𝐴 𝑋))
203, 4, 5, 9, 11, 17tgbtwntriv1 25431 . . . . 5 ((𝜑𝑋 = 𝐴) → 𝐴 ∈ (𝐴𝐼𝑋))
213, 4, 5, 6, 7, 9, 11, 12, 17, 11, 19, 20ismir 25599 . . . 4 ((𝜑𝑋 = 𝐴) → 𝐴 = (𝑀𝑋))
2221oveq1d 6705 . . 3 ((𝜑𝑋 = 𝐴) → (𝐴 (𝑀𝑌)) = ((𝑀𝑋) (𝑀𝑌)))
232, 15, 223eqtr2rd 2692 . 2 ((𝜑𝑋 = 𝐴) → ((𝑀𝑋) (𝑀𝑌)) = (𝑋 𝑌))
248adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑋𝐴) → 𝐺 ∈ TarskiG)
2524ad2antrr 762 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) → 𝐺 ∈ TarskiG)
2625ad6antr 777 . . . . . . . 8 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → 𝐺 ∈ TarskiG)
27 simplr 807 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) → 𝑥𝑃)
2827ad6antr 777 . . . . . . . 8 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → 𝑥𝑃)
2916adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑋𝐴) → 𝑋𝑃)
3029ad8antr 785 . . . . . . . 8 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → 𝑋𝑃)
3110adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑋𝐴) → 𝐴𝑃)
3231ad2antrr 762 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) → 𝐴𝑃)
3332ad6antr 777 . . . . . . . 8 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → 𝐴𝑃)
3413adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑋𝐴) → 𝑌𝑃)
3534ad2antrr 762 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) → 𝑌𝑃)
3635ad6antr 777 . . . . . . . 8 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → 𝑌𝑃)
37 simp-4r 824 . . . . . . . 8 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → 𝑧𝑃)
383, 4, 5, 6, 7, 24, 31, 12, 29mircl 25601 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑋𝐴) → (𝑀𝑋) ∈ 𝑃)
3938ad2antrr 762 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) → (𝑀𝑋) ∈ 𝑃)
4039ad6antr 777 . . . . . . . 8 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → (𝑀𝑋) ∈ 𝑃)
413, 4, 5, 6, 7, 24, 31, 12, 34mircl 25601 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑋𝐴) → (𝑀𝑌) ∈ 𝑃)
4241ad8antr 785 . . . . . . . 8 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → (𝑀𝑌) ∈ 𝑃)
433, 4, 5, 6, 7, 26, 33, 12, 30mirbtwn 25598 . . . . . . . . . 10 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → 𝐴 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑋))
44 simp-7r 830 . . . . . . . . . . 11 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴)))
4544simpld 474 . . . . . . . . . 10 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → 𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥))
463, 4, 5, 26, 40, 33, 30, 28, 43, 45tgbtwnexch3 25434 . . . . . . . . 9 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → 𝑋 ∈ (𝐴𝐼𝑥))
473, 4, 5, 26, 33, 30, 28, 46tgbtwncom 25428 . . . . . . . 8 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → 𝑋 ∈ (𝑥𝐼𝐴))
483, 4, 5, 26, 40, 30, 28, 45tgbtwncom 25428 . . . . . . . . . . 11 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → 𝑋 ∈ (𝑥𝐼(𝑀𝑋)))
493, 4, 5, 26, 40, 33, 30, 43tgbtwncom 25428 . . . . . . . . . . 11 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → 𝐴 ∈ (𝑋𝐼(𝑀𝑋)))
503, 4, 5, 26, 28, 30, 33, 40, 48, 49tgbtwnexch2 25436 . . . . . . . . . 10 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → 𝐴 ∈ (𝑥𝐼(𝑀𝑋)))
51 simpllr 815 . . . . . . . . . . 11 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴)))
5251simpld 474 . . . . . . . . . 10 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → (𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧))
533, 4, 5, 26, 28, 33, 40, 37, 50, 52tgbtwnexch3 25434 . . . . . . . . 9 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → (𝑀𝑋) ∈ (𝐴𝐼𝑧))
543, 4, 5, 26, 33, 40, 37, 53tgbtwncom 25428 . . . . . . . 8 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → (𝑀𝑋) ∈ (𝑧𝐼𝐴))
55 simp-4r 824 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) → 𝑦𝑃)
5655ad2antrr 762 . . . . . . . . . . 11 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → 𝑦𝑃)
573, 4, 5, 6, 7, 26, 33, 12, 36mirbtwn 25598 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → 𝐴 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑌))
58 simp-5r 826 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴)))
5958simpld 474 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → 𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦))
603, 4, 5, 26, 42, 33, 36, 56, 57, 59tgbtwnexch3 25434 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → 𝑌 ∈ (𝐴𝐼𝑦))
613, 4, 5, 26, 33, 36, 56, 60tgbtwncom 25428 . . . . . . . . . . 11 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → 𝑌 ∈ (𝑦𝐼𝐴))
623, 4, 5, 6, 7, 26, 33, 12, 30mircgr 25597 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → (𝐴 (𝑀𝑋)) = (𝐴 𝑋))
6358simprd 478 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))
643, 4, 5, 26, 36, 56, 30, 33, 63tgcgrcomlr 25420 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → (𝑦 𝑌) = (𝐴 𝑋))
6562, 64eqtr4d 2688 . . . . . . . . . . 11 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → (𝐴 (𝑀𝑋)) = (𝑦 𝑌))
6651simprd 478 . . . . . . . . . . 11 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))
673, 4, 5, 26, 33, 40, 37, 56, 36, 33, 53, 61, 65, 66tgcgrextend 25425 . . . . . . . . . 10 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → (𝐴 𝑧) = (𝑦 𝐴))
6844simprd 478 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))
6968eqcomd 2657 . . . . . . . . . . 11 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → (𝑌 𝐴) = (𝑋 𝑥))
703, 4, 5, 26, 56, 36, 33, 33, 30, 28, 61, 46, 64, 69tgcgrextend 25425 . . . . . . . . . 10 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → (𝑦 𝐴) = (𝐴 𝑥))
7167, 70eqtr2d 2686 . . . . . . . . 9 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → (𝐴 𝑥) = (𝐴 𝑧))
723, 4, 5, 26, 33, 28, 33, 37, 71tgcgrcomlr 25420 . . . . . . . 8 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → (𝑥 𝐴) = (𝑧 𝐴))
7362eqcomd 2657 . . . . . . . . 9 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → (𝐴 𝑋) = (𝐴 (𝑀𝑋)))
743, 4, 5, 26, 33, 30, 33, 40, 73tgcgrcomlr 25420 . . . . . . . 8 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → (𝑋 𝐴) = ((𝑀𝑋) 𝐴))
75 simplr 807 . . . . . . . . . 10 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → 𝑡𝑃)
763, 4, 5, 26, 42, 36, 56, 59tgbtwncom 25428 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → 𝑌 ∈ (𝑦𝐼(𝑀𝑌)))
773, 4, 5, 26, 42, 33, 36, 57tgbtwncom 25428 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → 𝐴 ∈ (𝑌𝐼(𝑀𝑌)))
783, 4, 5, 26, 56, 36, 33, 42, 76, 77tgbtwnexch2 25436 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → 𝐴 ∈ (𝑦𝐼(𝑀𝑌)))
79 simpr 476 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴)))
8079simpld 474 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → (𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡))
813, 4, 5, 26, 56, 33, 42, 75, 78, 80tgbtwnexch3 25434 . . . . . . . . . . 11 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → (𝑀𝑌) ∈ (𝐴𝐼𝑡))
823, 4, 5, 26, 33, 42, 75, 81tgbtwncom 25428 . . . . . . . . . 10 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → (𝑀𝑌) ∈ (𝑡𝐼𝐴))
833, 4, 5, 26, 30, 28, 36, 33, 68tgcgrcomlr 25420 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → (𝑥 𝑋) = (𝐴 𝑌))
843, 4, 5, 6, 7, 26, 33, 12, 36mircgr 25597 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → (𝐴 (𝑀𝑌)) = (𝐴 𝑌))
8583, 84eqtr4d 2688 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → (𝑥 𝑋) = (𝐴 (𝑀𝑌)))
8679simprd 478 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))
8786eqcomd 2657 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → (𝑋 𝐴) = ((𝑀𝑌) 𝑡))
883, 4, 5, 26, 28, 30, 33, 33, 42, 75, 47, 81, 85, 87tgcgrextend 25425 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → (𝑥 𝐴) = (𝐴 𝑡))
893, 4, 5, 26, 33, 75axtgcgrrflx 25406 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → (𝐴 𝑡) = (𝑡 𝐴))
9088, 89eqtrd 2685 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → (𝑥 𝐴) = (𝑡 𝐴))
913, 4, 5, 26, 28, 33, 75, 33, 90tgcgrcomlr 25420 . . . . . . . . . . 11 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → (𝐴 𝑥) = (𝐴 𝑡))
9270, 91, 893eqtrd 2689 . . . . . . . . . 10 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → (𝑦 𝐴) = (𝑡 𝐴))
933, 4, 5, 26, 33, 42, 33, 36, 84tgcgrcomlr 25420 . . . . . . . . . . 11 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → ((𝑀𝑌) 𝐴) = (𝑌 𝐴))
9493eqcomd 2657 . . . . . . . . . 10 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → (𝑌 𝐴) = ((𝑀𝑌) 𝐴))
953, 4, 5, 26, 75, 37axtgcgrrflx 25406 . . . . . . . . . . 11 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → (𝑡 𝑧) = (𝑧 𝑡))
96 simp-9r 834 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → 𝑋𝐴)
9796neneqd 2828 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → ¬ 𝑋 = 𝐴)
9826adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑥 = 𝐴) → 𝐺 ∈ TarskiG)
9933adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑥 = 𝐴) → 𝐴𝑃)
10030adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑥 = 𝐴) → 𝑋𝑃)
10146adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑥 = 𝐴) → 𝑋 ∈ (𝐴𝐼𝑥))
102 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑥 = 𝐴) → 𝑥 = 𝐴)
103102oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑥 = 𝐴) → (𝐴𝐼𝑥) = (𝐴𝐼𝐴))
104101, 103eleqtrd 2732 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑥 = 𝐴) → 𝑋 ∈ (𝐴𝐼𝐴))
1053, 4, 5, 98, 99, 100, 104axtgbtwnid 25410 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑥 = 𝐴) → 𝐴 = 𝑋)
106105eqcomd 2657 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑥 = 𝐴) → 𝑋 = 𝐴)
10797, 106mtand 692 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → ¬ 𝑥 = 𝐴)
108107neqned 2830 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → 𝑥𝐴)
1093, 4, 5, 26, 28, 33, 40, 37, 50, 52tgbtwnexch 25438 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → 𝐴 ∈ (𝑥𝐼𝑧))
1103, 4, 5, 26, 56, 33, 42, 75, 78, 80tgbtwnexch 25438 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → 𝐴 ∈ (𝑦𝐼𝑡))
1113, 4, 5, 26, 56, 33, 75, 110tgbtwncom 25428 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → 𝐴 ∈ (𝑡𝐼𝑦))
1123, 4, 5, 26, 56, 33axtgcgrrflx 25406 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → (𝑦 𝐴) = (𝐴 𝑦))
11367, 112eqtrd 2685 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → (𝐴 𝑧) = (𝐴 𝑦))
1143, 4, 5, 26, 28, 75axtgcgrrflx 25406 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → (𝑥 𝑡) = (𝑡 𝑥))
11591eqcomd 2657 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → (𝐴 𝑡) = (𝐴 𝑥))
1163, 4, 5, 26, 28, 33, 37, 75, 33, 56, 75, 28, 108, 109, 111, 90, 113, 114, 115axtg5seg 25409 . . . . . . . . . . 11 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → (𝑧 𝑡) = (𝑦 𝑥))
11795, 116eqtr2d 2686 . . . . . . . . . 10 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → (𝑦 𝑥) = (𝑡 𝑧))
1183, 4, 5, 26, 56, 36, 33, 28, 75, 42, 33, 37, 61, 82, 92, 94, 117, 71tgifscgr 25448 . . . . . . . . 9 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → (𝑌 𝑥) = ((𝑀𝑌) 𝑧))
1193, 4, 5, 26, 36, 28, 42, 37, 118tgcgrcomlr 25420 . . . . . . . 8 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → (𝑥 𝑌) = (𝑧 (𝑀𝑌)))
12084eqcomd 2657 . . . . . . . 8 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → (𝐴 𝑌) = (𝐴 (𝑀𝑌)))
1213, 4, 5, 26, 28, 30, 33, 36, 37, 40, 33, 42, 47, 54, 72, 74, 119, 120tgifscgr 25448 . . . . . . 7 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → (𝑋 𝑌) = ((𝑀𝑋) (𝑀𝑌)))
122121eqcomd 2657 . . . . . 6 ((((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴))) → ((𝑀𝑋) (𝑀𝑌)) = (𝑋 𝑌))
123 simp-6l 827 . . . . . . 7 ((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) → (𝜑𝑋𝐴))
124 simpllr 815 . . . . . . 7 ((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) → (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴)))
12524ad2antrr 762 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) → 𝐺 ∈ TarskiG)
126 simplr 807 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) → 𝑦𝑃)
12741ad2antrr 762 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) → (𝑀𝑌) ∈ 𝑃)
12829ad2antrr 762 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) → 𝑋𝑃)
12931ad2antrr 762 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) → 𝐴𝑃)
1303, 4, 5, 125, 126, 127, 128, 129axtgsegcon 25408 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) → ∃𝑡𝑃 ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴)))
131123, 55, 124, 130syl21anc 1365 . . . . . 6 ((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) → ∃𝑡𝑃 ((𝑀𝑌) ∈ (𝑦𝐼𝑡) ∧ ((𝑀𝑌) 𝑡) = (𝑋 𝐴)))
132122, 131r19.29a 3107 . . . . 5 ((((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴))) → ((𝑀𝑋) (𝑀𝑌)) = (𝑋 𝑌))
1333, 4, 5, 25, 27, 39, 35, 32axtgsegcon 25408 . . . . . 6 ((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) → ∃𝑧𝑃 ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴)))
134133ad2antrr 762 . . . . 5 ((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) → ∃𝑧𝑃 ((𝑀𝑋) ∈ (𝑥𝐼𝑧) ∧ ((𝑀𝑋) 𝑧) = (𝑌 𝐴)))
135132, 134r19.29a 3107 . . . 4 ((((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴))) → ((𝑀𝑋) (𝑀𝑌)) = (𝑋 𝑌))
1363, 4, 5, 24, 41, 34, 29, 31axtgsegcon 25408 . . . . 5 ((𝜑𝑋𝐴) → ∃𝑦𝑃 (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴)))
137136ad2antrr 762 . . . 4 ((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) → ∃𝑦𝑃 (𝑌 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼𝑦) ∧ (𝑌 𝑦) = (𝑋 𝐴)))
138135, 137r19.29a 3107 . . 3 ((((𝜑𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴))) → ((𝑀𝑋) (𝑀𝑌)) = (𝑋 𝑌))
1393, 4, 5, 24, 38, 29, 34, 31axtgsegcon 25408 . . 3 ((𝜑𝑋𝐴) → ∃𝑥𝑃 (𝑋 ∈ ((𝑀𝑋)𝐼𝑥) ∧ (𝑋 𝑥) = (𝑌 𝐴)))
140138, 139r19.29a 3107 . 2 ((𝜑𝑋𝐴) → ((𝑀𝑋) (𝑀𝑌)) = (𝑋 𝑌))
14123, 140pm2.61dane 2910 1 (𝜑 → ((𝑀𝑋) (𝑀𝑌)) = (𝑋 𝑌))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1523   ∈ wcel 2030   ≠ wne 2823  ∃wrex 2942  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690  Basecbs 15904  distcds 15997  TarskiGcstrkg 25374  Itvcitv 25380  LineGclng 25381  pInvGcmir 25592 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-card 8803  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-n0 11331  df-xnn0 11402  df-z 11416  df-uz 11726  df-fz 12365  df-hash 13158  df-trkgc 25392  df-trkgb 25393  df-trkgcb 25394  df-trkg 25397  df-mir 25593 This theorem is referenced by:  mirbtwni  25611  mircgrs  25613  mirmot  25615  miduniq  25625  ragcom  25638  colperpexlem1  25667  lmiisolem  25733  hypcgrlem2  25737  hypcgr  25738
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