MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nlmvscn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nlmvscn 22431
Description: The scalar multiplication of a normed module is continuous. Lemma for nrgtrg 22434 and nlmtlm 22438. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
nlmvscn.f 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
nlmvscn.sf · = ( ·sf𝑊)
nlmvscn.j 𝐽 = (TopOpen‘𝑊)
nlmvscn.kf 𝐾 = (TopOpen‘𝐹)
Assertion
Ref Expression
nlmvscn (𝑊 ∈ NrmMod → · ∈ ((𝐾 ×t 𝐽) Cn 𝐽))

Proof of Theorem nlmvscn
Dummy variables 𝑟 𝑥 𝑦 𝑠 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nlmlmod 22422 . . . 4 (𝑊 ∈ NrmMod → 𝑊 ∈ LMod)
2 eqid 2621 . . . . 5 (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
3 nlmvscn.f . . . . 5 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
4 eqid 2621 . . . . 5 (Base‘𝐹) = (Base‘𝐹)
5 nlmvscn.sf . . . . 5 · = ( ·sf𝑊)
62, 3, 4, 5lmodscaf 18825 . . . 4 (𝑊 ∈ LMod → · :((Base‘𝐹) × (Base‘𝑊))⟶(Base‘𝑊))
71, 6syl 17 . . 3 (𝑊 ∈ NrmMod → · :((Base‘𝐹) × (Base‘𝑊))⟶(Base‘𝑊))
8 eqid 2621 . . . . . . 7 (dist‘𝑊) = (dist‘𝑊)
9 eqid 2621 . . . . . . 7 (dist‘𝐹) = (dist‘𝐹)
10 eqid 2621 . . . . . . 7 (norm‘𝑊) = (norm‘𝑊)
11 eqid 2621 . . . . . . 7 (norm‘𝐹) = (norm‘𝐹)
12 eqid 2621 . . . . . . 7 ( ·𝑠𝑊) = ( ·𝑠𝑊)
13 eqid 2621 . . . . . . 7 ((𝑟 / 2) / (((norm‘𝐹)‘𝑥) + 1)) = ((𝑟 / 2) / (((norm‘𝐹)‘𝑥) + 1))
14 eqid 2621 . . . . . . 7 ((𝑟 / 2) / (((norm‘𝑊)‘𝑦) + ((𝑟 / 2) / (((norm‘𝐹)‘𝑥) + 1)))) = ((𝑟 / 2) / (((norm‘𝑊)‘𝑦) + ((𝑟 / 2) / (((norm‘𝐹)‘𝑥) + 1))))
15 simpll 789 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 𝑊 ∈ NrmMod)
16 simpr 477 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 𝑟 ∈ ℝ+)
17 simplrl 799 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐹))
18 simplrr 800 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))
193, 2, 4, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18nlmvscnlem1 22430 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ∃𝑠 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (Base‘𝐹)∀𝑤 ∈ (Base‘𝑊)(((𝑥(dist‘𝐹)𝑧) < 𝑠 ∧ (𝑦(dist‘𝑊)𝑤) < 𝑠) → ((𝑥( ·𝑠𝑊)𝑦)(dist‘𝑊)(𝑧( ·𝑠𝑊)𝑤)) < 𝑟))
2019ralrimiva 2962 . . . . 5 ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))) → ∀𝑟 ∈ ℝ+𝑠 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (Base‘𝐹)∀𝑤 ∈ (Base‘𝑊)(((𝑥(dist‘𝐹)𝑧) < 𝑠 ∧ (𝑦(dist‘𝑊)𝑤) < 𝑠) → ((𝑥( ·𝑠𝑊)𝑦)(dist‘𝑊)(𝑧( ·𝑠𝑊)𝑤)) < 𝑟))
21 simplrl 799 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))) ∧ (𝑧 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑤 ∈ (Base‘𝑊))) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐹))
22 simprl 793 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))) ∧ (𝑧 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑤 ∈ (Base‘𝑊))) → 𝑧 ∈ (Base‘𝐹))
2321, 22ovresd 6766 . . . . . . . . . . 11 (((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))) ∧ (𝑧 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑤 ∈ (Base‘𝑊))) → (𝑥((dist‘𝐹) ↾ ((Base‘𝐹) × (Base‘𝐹)))𝑧) = (𝑥(dist‘𝐹)𝑧))
2423breq1d 4633 . . . . . . . . . 10 (((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))) ∧ (𝑧 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑤 ∈ (Base‘𝑊))) → ((𝑥((dist‘𝐹) ↾ ((Base‘𝐹) × (Base‘𝐹)))𝑧) < 𝑠 ↔ (𝑥(dist‘𝐹)𝑧) < 𝑠))
25 simplrr 800 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))) ∧ (𝑧 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑤 ∈ (Base‘𝑊))) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))
26 simprr 795 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))) ∧ (𝑧 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑤 ∈ (Base‘𝑊))) → 𝑤 ∈ (Base‘𝑊))
2725, 26ovresd 6766 . . . . . . . . . . 11 (((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))) ∧ (𝑧 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑤 ∈ (Base‘𝑊))) → (𝑦((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊)))𝑤) = (𝑦(dist‘𝑊)𝑤))
2827breq1d 4633 . . . . . . . . . 10 (((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))) ∧ (𝑧 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑤 ∈ (Base‘𝑊))) → ((𝑦((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊)))𝑤) < 𝑠 ↔ (𝑦(dist‘𝑊)𝑤) < 𝑠))
2924, 28anbi12d 746 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))) ∧ (𝑧 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑤 ∈ (Base‘𝑊))) → (((𝑥((dist‘𝐹) ↾ ((Base‘𝐹) × (Base‘𝐹)))𝑧) < 𝑠 ∧ (𝑦((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊)))𝑤) < 𝑠) ↔ ((𝑥(dist‘𝐹)𝑧) < 𝑠 ∧ (𝑦(dist‘𝑊)𝑤) < 𝑠)))
302, 3, 4, 5, 12scafval 18822 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊)) → (𝑥 · 𝑦) = (𝑥( ·𝑠𝑊)𝑦))
3130ad2antlr 762 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))) ∧ (𝑧 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑤 ∈ (Base‘𝑊))) → (𝑥 · 𝑦) = (𝑥( ·𝑠𝑊)𝑦))
322, 3, 4, 5, 12scafval 18822 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑧 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑤 ∈ (Base‘𝑊)) → (𝑧 · 𝑤) = (𝑧( ·𝑠𝑊)𝑤))
3332adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))) ∧ (𝑧 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑤 ∈ (Base‘𝑊))) → (𝑧 · 𝑤) = (𝑧( ·𝑠𝑊)𝑤))
3431, 33oveq12d 6633 . . . . . . . . . . 11 (((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))) ∧ (𝑧 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑤 ∈ (Base‘𝑊))) → ((𝑥 · 𝑦)((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊)))(𝑧 · 𝑤)) = ((𝑥( ·𝑠𝑊)𝑦)((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊)))(𝑧( ·𝑠𝑊)𝑤)))
351ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))) ∧ (𝑧 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑤 ∈ (Base‘𝑊))) → 𝑊 ∈ LMod)
362, 3, 12, 4lmodvscl 18820 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊)) → (𝑥( ·𝑠𝑊)𝑦) ∈ (Base‘𝑊))
3735, 21, 25, 36syl3anc 1323 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))) ∧ (𝑧 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑤 ∈ (Base‘𝑊))) → (𝑥( ·𝑠𝑊)𝑦) ∈ (Base‘𝑊))
382, 3, 12, 4lmodvscl 18820 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑤 ∈ (Base‘𝑊)) → (𝑧( ·𝑠𝑊)𝑤) ∈ (Base‘𝑊))
3935, 22, 26, 38syl3anc 1323 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))) ∧ (𝑧 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑤 ∈ (Base‘𝑊))) → (𝑧( ·𝑠𝑊)𝑤) ∈ (Base‘𝑊))
4037, 39ovresd 6766 . . . . . . . . . . 11 (((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))) ∧ (𝑧 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑤 ∈ (Base‘𝑊))) → ((𝑥( ·𝑠𝑊)𝑦)((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊)))(𝑧( ·𝑠𝑊)𝑤)) = ((𝑥( ·𝑠𝑊)𝑦)(dist‘𝑊)(𝑧( ·𝑠𝑊)𝑤)))
4134, 40eqtrd 2655 . . . . . . . . . 10 (((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))) ∧ (𝑧 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑤 ∈ (Base‘𝑊))) → ((𝑥 · 𝑦)((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊)))(𝑧 · 𝑤)) = ((𝑥( ·𝑠𝑊)𝑦)(dist‘𝑊)(𝑧( ·𝑠𝑊)𝑤)))
4241breq1d 4633 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))) ∧ (𝑧 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑤 ∈ (Base‘𝑊))) → (((𝑥 · 𝑦)((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊)))(𝑧 · 𝑤)) < 𝑟 ↔ ((𝑥( ·𝑠𝑊)𝑦)(dist‘𝑊)(𝑧( ·𝑠𝑊)𝑤)) < 𝑟))
4329, 42imbi12d 334 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))) ∧ (𝑧 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑤 ∈ (Base‘𝑊))) → ((((𝑥((dist‘𝐹) ↾ ((Base‘𝐹) × (Base‘𝐹)))𝑧) < 𝑠 ∧ (𝑦((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊)))𝑤) < 𝑠) → ((𝑥 · 𝑦)((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊)))(𝑧 · 𝑤)) < 𝑟) ↔ (((𝑥(dist‘𝐹)𝑧) < 𝑠 ∧ (𝑦(dist‘𝑊)𝑤) < 𝑠) → ((𝑥( ·𝑠𝑊)𝑦)(dist‘𝑊)(𝑧( ·𝑠𝑊)𝑤)) < 𝑟)))
44432ralbidva 2984 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))) → (∀𝑧 ∈ (Base‘𝐹)∀𝑤 ∈ (Base‘𝑊)(((𝑥((dist‘𝐹) ↾ ((Base‘𝐹) × (Base‘𝐹)))𝑧) < 𝑠 ∧ (𝑦((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊)))𝑤) < 𝑠) → ((𝑥 · 𝑦)((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊)))(𝑧 · 𝑤)) < 𝑟) ↔ ∀𝑧 ∈ (Base‘𝐹)∀𝑤 ∈ (Base‘𝑊)(((𝑥(dist‘𝐹)𝑧) < 𝑠 ∧ (𝑦(dist‘𝑊)𝑤) < 𝑠) → ((𝑥( ·𝑠𝑊)𝑦)(dist‘𝑊)(𝑧( ·𝑠𝑊)𝑤)) < 𝑟)))
4544rexbidv 3047 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))) → (∃𝑠 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (Base‘𝐹)∀𝑤 ∈ (Base‘𝑊)(((𝑥((dist‘𝐹) ↾ ((Base‘𝐹) × (Base‘𝐹)))𝑧) < 𝑠 ∧ (𝑦((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊)))𝑤) < 𝑠) → ((𝑥 · 𝑦)((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊)))(𝑧 · 𝑤)) < 𝑟) ↔ ∃𝑠 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (Base‘𝐹)∀𝑤 ∈ (Base‘𝑊)(((𝑥(dist‘𝐹)𝑧) < 𝑠 ∧ (𝑦(dist‘𝑊)𝑤) < 𝑠) → ((𝑥( ·𝑠𝑊)𝑦)(dist‘𝑊)(𝑧( ·𝑠𝑊)𝑤)) < 𝑟)))
4645ralbidv 2982 . . . . 5 ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))) → (∀𝑟 ∈ ℝ+𝑠 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (Base‘𝐹)∀𝑤 ∈ (Base‘𝑊)(((𝑥((dist‘𝐹) ↾ ((Base‘𝐹) × (Base‘𝐹)))𝑧) < 𝑠 ∧ (𝑦((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊)))𝑤) < 𝑠) → ((𝑥 · 𝑦)((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊)))(𝑧 · 𝑤)) < 𝑟) ↔ ∀𝑟 ∈ ℝ+𝑠 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (Base‘𝐹)∀𝑤 ∈ (Base‘𝑊)(((𝑥(dist‘𝐹)𝑧) < 𝑠 ∧ (𝑦(dist‘𝑊)𝑤) < 𝑠) → ((𝑥( ·𝑠𝑊)𝑦)(dist‘𝑊)(𝑧( ·𝑠𝑊)𝑤)) < 𝑟)))
4720, 46mpbird 247 . . . 4 ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))) → ∀𝑟 ∈ ℝ+𝑠 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (Base‘𝐹)∀𝑤 ∈ (Base‘𝑊)(((𝑥((dist‘𝐹) ↾ ((Base‘𝐹) × (Base‘𝐹)))𝑧) < 𝑠 ∧ (𝑦((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊)))𝑤) < 𝑠) → ((𝑥 · 𝑦)((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊)))(𝑧 · 𝑤)) < 𝑟))
4847ralrimivva 2967 . . 3 (𝑊 ∈ NrmMod → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐹)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑊)∀𝑟 ∈ ℝ+𝑠 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (Base‘𝐹)∀𝑤 ∈ (Base‘𝑊)(((𝑥((dist‘𝐹) ↾ ((Base‘𝐹) × (Base‘𝐹)))𝑧) < 𝑠 ∧ (𝑦((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊)))𝑤) < 𝑠) → ((𝑥 · 𝑦)((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊)))(𝑧 · 𝑤)) < 𝑟))
493nlmngp2 22424 . . . . . 6 (𝑊 ∈ NrmMod → 𝐹 ∈ NrmGrp)
50 ngpms 22344 . . . . . 6 (𝐹 ∈ NrmGrp → 𝐹 ∈ MetSp)
5149, 50syl 17 . . . . 5 (𝑊 ∈ NrmMod → 𝐹 ∈ MetSp)
52 msxms 22199 . . . . 5 (𝐹 ∈ MetSp → 𝐹 ∈ ∞MetSp)
53 eqid 2621 . . . . . 6 ((dist‘𝐹) ↾ ((Base‘𝐹) × (Base‘𝐹))) = ((dist‘𝐹) ↾ ((Base‘𝐹) × (Base‘𝐹)))
544, 53xmsxmet 22201 . . . . 5 (𝐹 ∈ ∞MetSp → ((dist‘𝐹) ↾ ((Base‘𝐹) × (Base‘𝐹))) ∈ (∞Met‘(Base‘𝐹)))
5551, 52, 543syl 18 . . . 4 (𝑊 ∈ NrmMod → ((dist‘𝐹) ↾ ((Base‘𝐹) × (Base‘𝐹))) ∈ (∞Met‘(Base‘𝐹)))
56 nlmngp 22421 . . . . . 6 (𝑊 ∈ NrmMod → 𝑊 ∈ NrmGrp)
57 ngpms 22344 . . . . . 6 (𝑊 ∈ NrmGrp → 𝑊 ∈ MetSp)
5856, 57syl 17 . . . . 5 (𝑊 ∈ NrmMod → 𝑊 ∈ MetSp)
59 msxms 22199 . . . . 5 (𝑊 ∈ MetSp → 𝑊 ∈ ∞MetSp)
60 eqid 2621 . . . . . 6 ((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊))) = ((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊)))
612, 60xmsxmet 22201 . . . . 5 (𝑊 ∈ ∞MetSp → ((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊))) ∈ (∞Met‘(Base‘𝑊)))
6258, 59, 613syl 18 . . . 4 (𝑊 ∈ NrmMod → ((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊))) ∈ (∞Met‘(Base‘𝑊)))
63 eqid 2621 . . . . 5 (MetOpen‘((dist‘𝐹) ↾ ((Base‘𝐹) × (Base‘𝐹)))) = (MetOpen‘((dist‘𝐹) ↾ ((Base‘𝐹) × (Base‘𝐹))))
64 eqid 2621 . . . . 5 (MetOpen‘((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊)))) = (MetOpen‘((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊))))
6563, 64, 64txmetcn 22293 . . . 4 ((((dist‘𝐹) ↾ ((Base‘𝐹) × (Base‘𝐹))) ∈ (∞Met‘(Base‘𝐹)) ∧ ((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊))) ∈ (∞Met‘(Base‘𝑊)) ∧ ((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊))) ∈ (∞Met‘(Base‘𝑊))) → ( · ∈ (((MetOpen‘((dist‘𝐹) ↾ ((Base‘𝐹) × (Base‘𝐹)))) ×t (MetOpen‘((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊))))) Cn (MetOpen‘((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊))))) ↔ ( · :((Base‘𝐹) × (Base‘𝑊))⟶(Base‘𝑊) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐹)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑊)∀𝑟 ∈ ℝ+𝑠 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (Base‘𝐹)∀𝑤 ∈ (Base‘𝑊)(((𝑥((dist‘𝐹) ↾ ((Base‘𝐹) × (Base‘𝐹)))𝑧) < 𝑠 ∧ (𝑦((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊)))𝑤) < 𝑠) → ((𝑥 · 𝑦)((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊)))(𝑧 · 𝑤)) < 𝑟))))
6655, 62, 62, 65syl3anc 1323 . . 3 (𝑊 ∈ NrmMod → ( · ∈ (((MetOpen‘((dist‘𝐹) ↾ ((Base‘𝐹) × (Base‘𝐹)))) ×t (MetOpen‘((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊))))) Cn (MetOpen‘((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊))))) ↔ ( · :((Base‘𝐹) × (Base‘𝑊))⟶(Base‘𝑊) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐹)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑊)∀𝑟 ∈ ℝ+𝑠 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (Base‘𝐹)∀𝑤 ∈ (Base‘𝑊)(((𝑥((dist‘𝐹) ↾ ((Base‘𝐹) × (Base‘𝐹)))𝑧) < 𝑠 ∧ (𝑦((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊)))𝑤) < 𝑠) → ((𝑥 · 𝑦)((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊)))(𝑧 · 𝑤)) < 𝑟))))
677, 48, 66mpbir2and 956 . 2 (𝑊 ∈ NrmMod → · ∈ (((MetOpen‘((dist‘𝐹) ↾ ((Base‘𝐹) × (Base‘𝐹)))) ×t (MetOpen‘((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊))))) Cn (MetOpen‘((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊))))))
68 nlmvscn.kf . . . . . 6 𝐾 = (TopOpen‘𝐹)
6968, 4, 53mstopn 22197 . . . . 5 (𝐹 ∈ MetSp → 𝐾 = (MetOpen‘((dist‘𝐹) ↾ ((Base‘𝐹) × (Base‘𝐹)))))
7051, 69syl 17 . . . 4 (𝑊 ∈ NrmMod → 𝐾 = (MetOpen‘((dist‘𝐹) ↾ ((Base‘𝐹) × (Base‘𝐹)))))
71 nlmvscn.j . . . . . 6 𝐽 = (TopOpen‘𝑊)
7271, 2, 60mstopn 22197 . . . . 5 (𝑊 ∈ MetSp → 𝐽 = (MetOpen‘((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊)))))
7358, 72syl 17 . . . 4 (𝑊 ∈ NrmMod → 𝐽 = (MetOpen‘((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊)))))
7470, 73oveq12d 6633 . . 3 (𝑊 ∈ NrmMod → (𝐾 ×t 𝐽) = ((MetOpen‘((dist‘𝐹) ↾ ((Base‘𝐹) × (Base‘𝐹)))) ×t (MetOpen‘((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊))))))
7574, 73oveq12d 6633 . 2 (𝑊 ∈ NrmMod → ((𝐾 ×t 𝐽) Cn 𝐽) = (((MetOpen‘((dist‘𝐹) ↾ ((Base‘𝐹) × (Base‘𝐹)))) ×t (MetOpen‘((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊))))) Cn (MetOpen‘((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊))))))
7667, 75eleqtrrd 2701 1 (𝑊 ∈ NrmMod → · ∈ ((𝐾 ×t 𝐽) Cn 𝐽))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wral 2908  wrex 2909   class class class wbr 4623   × cxp 5082  cres 5086  wf 5853  cfv 5857  (class class class)co 6615  1c1 9897   + caddc 9899   < clt 10034   / cdiv 10644  2c2 11030  +crp 11792  Basecbs 15800  Scalarcsca 15884   ·𝑠 cvsca 15885  distcds 15890  TopOpenctopn 16022  LModclmod 18803   ·sf cscaf 18804  ∞Metcxmt 19671  MetOpencmopn 19676   Cn ccn 20968   ×t ctx 21303  ∞MetSpcxme 22062  MetSpcmt 22063  normcnm 22321  NrmGrpcngp 22322  NrmModcnlm 22325
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4741  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-inf2 8498  ax-cnex 9952  ax-resscn 9953  ax-1cn 9954  ax-icn 9955  ax-addcl 9956  ax-addrcl 9957  ax-mulcl 9958  ax-mulrcl 9959  ax-mulcom 9960  ax-addass 9961  ax-mulass 9962  ax-distr 9963  ax-i2m1 9964  ax-1ne0 9965  ax-1rid 9966  ax-rnegex 9967  ax-rrecex 9968  ax-cnre 9969  ax-pre-lttri 9970  ax-pre-lttrn 9971  ax-pre-ltadd 9972  ax-pre-mulgt0 9973  ax-pre-sup 9974
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rmo 2916  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-tp 4160  df-op 4162  df-uni 4410  df-int 4448  df-iun 4494  df-iin 4495  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-se 5044  df-we 5045  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-pred 5649  df-ord 5695  df-on 5696  df-lim 5697  df-suc 5698  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-isom 5866  df-riota 6576  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-of 6862  df-om 7028  df-1st 7128  df-2nd 7129  df-supp 7256  df-wrecs 7367  df-recs 7428  df-rdg 7466  df-1o 7520  df-2o 7521  df-oadd 7524  df-er 7702  df-map 7819  df-ixp 7869  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-fin 7919  df-fsupp 8236  df-fi 8277  df-sup 8308  df-inf 8309  df-oi 8375  df-card 8725  df-cda 8950  df-pnf 10036  df-mnf 10037  df-xr 10038  df-ltxr 10039  df-le 10040  df-sub 10228  df-neg 10229  df-div 10645  df-nn 10981  df-2 11039  df-3 11040  df-4 11041  df-5 11042  df-6 11043  df-7 11044  df-8 11045  df-9 11046  df-n0 11253  df-z 11338  df-dec 11454  df-uz 11648  df-q 11749  df-rp 11793  df-xneg 11906  df-xadd 11907  df-xmul 11908  df-icc 12140  df-fz 12285  df-fzo 12423  df-seq 12758  df-exp 12817  df-hash 13074  df-cj 13789  df-re 13790  df-im 13791  df-sqrt 13925  df-abs 13926  df-struct 15802  df-ndx 15803  df-slot 15804  df-base 15805  df-sets 15806  df-ress 15807  df-plusg 15894  df-mulr 15895  df-sca 15897  df-vsca 15898  df-ip 15899  df-tset 15900  df-ple 15901  df-ds 15904  df-hom 15906  df-cco 15907  df-rest 16023  df-topn 16024  df-0g 16042  df-gsum 16043  df-topgen 16044  df-pt 16045  df-prds 16048  df-xrs 16102  df-qtop 16107  df-imas 16108  df-xps 16110  df-mre 16186  df-mrc 16187  df-acs 16189  df-mgm 17182  df-sgrp 17224  df-mnd 17235  df-submnd 17276  df-grp 17365  df-minusg 17366  df-sbg 17367  df-mulg 17481  df-cntz 17690  df-cmn 18135  df-mgp 18430  df-ur 18442  df-ring 18489  df-lmod 18805  df-scaf 18806  df-psmet 19678  df-xmet 19679  df-met 19680  df-bl 19681  df-mopn 19682  df-top 20639  df-topon 20656  df-topsp 20677  df-bases 20690  df-cn 20971  df-cnp 20972  df-tx 21305  df-hmeo 21498  df-xms 22065  df-ms 22066  df-tms 22067  df-nm 22327  df-ngp 22328  df-nrg 22330  df-nlm 22331
This theorem is referenced by:  nrgtrg  22434  nlmtlm  22438
  Copyright terms: Public domain W3C validator