HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  normlem7 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem normlem7 27813
Description: Lemma used to derive properties of norm. Part of Theorem 3.3(ii) of [Beran] p. 97. (Contributed by NM, 11-Aug-1999.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
normlem1.1 𝑆 ∈ ℂ
normlem1.2 𝐹 ∈ ℋ
normlem1.3 𝐺 ∈ ℋ
normlem7.4 (abs‘𝑆) = 1
Assertion
Ref Expression
normlem7 (((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹))) ≤ (2 · ((√‘(𝐺 ·ih 𝐺)) · (√‘(𝐹 ·ih 𝐹))))

Proof of Theorem normlem7
StepHypRef Expression
1 normlem1.1 . . . . . 6 𝑆 ∈ ℂ
2 normlem1.2 . . . . . 6 𝐹 ∈ ℋ
3 normlem1.3 . . . . . 6 𝐺 ∈ ℋ
4 eqid 2626 . . . . . 6 -(((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹))) = -(((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹)))
51, 2, 3, 4normlem2 27808 . . . . 5 -(((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹))) ∈ ℝ
61cjcli 13838 . . . . . . . 8 (∗‘𝑆) ∈ ℂ
72, 3hicli 27778 . . . . . . . 8 (𝐹 ·ih 𝐺) ∈ ℂ
86, 7mulcli 9990 . . . . . . 7 ((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) ∈ ℂ
93, 2hicli 27778 . . . . . . . 8 (𝐺 ·ih 𝐹) ∈ ℂ
101, 9mulcli 9990 . . . . . . 7 (𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹)) ∈ ℂ
118, 10addcli 9989 . . . . . 6 (((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹))) ∈ ℂ
1211negrebi 10300 . . . . 5 (-(((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹))) ∈ ℝ ↔ (((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹))) ∈ ℝ)
135, 12mpbi 220 . . . 4 (((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹))) ∈ ℝ
1413leabsi 14048 . . 3 (((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹))) ≤ (abs‘(((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹))))
1511absnegi 14068 . . 3 (abs‘-(((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹)))) = (abs‘(((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹))))
1614, 15breqtrri 4645 . 2 (((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹))) ≤ (abs‘-(((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹))))
17 eqid 2626 . . 3 (𝐺 ·ih 𝐺) = (𝐺 ·ih 𝐺)
18 eqid 2626 . . 3 (𝐹 ·ih 𝐹) = (𝐹 ·ih 𝐹)
19 normlem7.4 . . 3 (abs‘𝑆) = 1
201, 2, 3, 4, 17, 18, 19normlem6 27812 . 2 (abs‘-(((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹)))) ≤ (2 · ((√‘(𝐺 ·ih 𝐺)) · (√‘(𝐹 ·ih 𝐹))))
2111negcli 10294 . . . 4 -(((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹))) ∈ ℂ
2221abscli 14063 . . 3 (abs‘-(((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹)))) ∈ ℝ
23 2re 11035 . . . 4 2 ∈ ℝ
24 hiidge0 27795 . . . . . 6 (𝐺 ∈ ℋ → 0 ≤ (𝐺 ·ih 𝐺))
25 hiidrcl 27792 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ ℋ → (𝐺 ·ih 𝐺) ∈ ℝ)
263, 25ax-mp 5 . . . . . . 7 (𝐺 ·ih 𝐺) ∈ ℝ
2726sqrtcli 14040 . . . . . 6 (0 ≤ (𝐺 ·ih 𝐺) → (√‘(𝐺 ·ih 𝐺)) ∈ ℝ)
283, 24, 27mp2b 10 . . . . 5 (√‘(𝐺 ·ih 𝐺)) ∈ ℝ
29 hiidge0 27795 . . . . . 6 (𝐹 ∈ ℋ → 0 ≤ (𝐹 ·ih 𝐹))
30 hiidrcl 27792 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ ℋ → (𝐹 ·ih 𝐹) ∈ ℝ)
312, 30ax-mp 5 . . . . . . 7 (𝐹 ·ih 𝐹) ∈ ℝ
3231sqrtcli 14040 . . . . . 6 (0 ≤ (𝐹 ·ih 𝐹) → (√‘(𝐹 ·ih 𝐹)) ∈ ℝ)
332, 29, 32mp2b 10 . . . . 5 (√‘(𝐹 ·ih 𝐹)) ∈ ℝ
3428, 33remulcli 9999 . . . 4 ((√‘(𝐺 ·ih 𝐺)) · (√‘(𝐹 ·ih 𝐹))) ∈ ℝ
3523, 34remulcli 9999 . . 3 (2 · ((√‘(𝐺 ·ih 𝐺)) · (√‘(𝐹 ·ih 𝐹)))) ∈ ℝ
3613, 22, 35letri 10111 . 2 (((((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹))) ≤ (abs‘-(((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹)))) ∧ (abs‘-(((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹)))) ≤ (2 · ((√‘(𝐺 ·ih 𝐺)) · (√‘(𝐹 ·ih 𝐹))))) → (((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹))) ≤ (2 · ((√‘(𝐺 ·ih 𝐺)) · (√‘(𝐹 ·ih 𝐹)))))
3716, 20, 36mp2an 707 1 (((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹))) ≤ (2 · ((√‘(𝐺 ·ih 𝐺)) · (√‘(𝐹 ·ih 𝐹))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1480  wcel 1992   class class class wbr 4618  cfv 5850  (class class class)co 6605  cc 9879  cr 9880  0cc0 9881  1c1 9882   + caddc 9884   · cmul 9886  cle 10020  -cneg 10212  2c2 11015  ccj 13765  csqrt 13902  abscabs 13903  chil 27616   ·ih csp 27619
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-cnex 9937  ax-resscn 9938  ax-1cn 9939  ax-icn 9940  ax-addcl 9941  ax-addrcl 9942  ax-mulcl 9943  ax-mulrcl 9944  ax-mulcom 9945  ax-addass 9946  ax-mulass 9947  ax-distr 9948  ax-i2m1 9949  ax-1ne0 9950  ax-1rid 9951  ax-rnegex 9952  ax-rrecex 9953  ax-cnre 9954  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956  ax-pre-ltadd 9957  ax-pre-mulgt0 9958  ax-pre-sup 9959  ax-hfvadd 27697  ax-hv0cl 27700  ax-hfvmul 27702  ax-hvmulass 27704  ax-hvmul0 27707  ax-hfi 27776  ax-his1 27779  ax-his2 27780  ax-his3 27781  ax-his4 27782
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5642  df-ord 5688  df-on 5689  df-lim 5690  df-suc 5691  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-riota 6566  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-om 7014  df-2nd 7117  df-wrecs 7353  df-recs 7414  df-rdg 7452  df-er 7688  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-sup 8293  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-xr 10023  df-ltxr 10024  df-le 10025  df-sub 10213  df-neg 10214  df-div 10630  df-nn 10966  df-2 11024  df-3 11025  df-4 11026  df-n0 11238  df-z 11323  df-uz 11632  df-rp 11777  df-seq 12739  df-exp 12798  df-cj 13768  df-re 13769  df-im 13770  df-sqrt 13904  df-abs 13905  df-hvsub 27668
This theorem is referenced by:  normlem7tALT  27816  norm-ii-i  27834
  Copyright terms: Public domain W3C validator