HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  normlem7 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem normlem7 28171
Description: Lemma used to derive properties of norm. Part of Theorem 3.3(ii) of [Beran] p. 97. (Contributed by NM, 11-Aug-1999.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
normlem1.1 𝑆 ∈ ℂ
normlem1.2 𝐹 ∈ ℋ
normlem1.3 𝐺 ∈ ℋ
normlem7.4 (abs‘𝑆) = 1
Assertion
Ref Expression
normlem7 (((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹))) ≤ (2 · ((√‘(𝐺 ·ih 𝐺)) · (√‘(𝐹 ·ih 𝐹))))

Proof of Theorem normlem7
StepHypRef Expression
1 normlem1.1 . . . . . 6 𝑆 ∈ ℂ
2 normlem1.2 . . . . . 6 𝐹 ∈ ℋ
3 normlem1.3 . . . . . 6 𝐺 ∈ ℋ
4 eqid 2692 . . . . . 6 -(((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹))) = -(((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹)))
51, 2, 3, 4normlem2 28166 . . . . 5 -(((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹))) ∈ ℝ
61cjcli 13997 . . . . . . . 8 (∗‘𝑆) ∈ ℂ
72, 3hicli 28136 . . . . . . . 8 (𝐹 ·ih 𝐺) ∈ ℂ
86, 7mulcli 10126 . . . . . . 7 ((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) ∈ ℂ
93, 2hicli 28136 . . . . . . . 8 (𝐺 ·ih 𝐹) ∈ ℂ
101, 9mulcli 10126 . . . . . . 7 (𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹)) ∈ ℂ
118, 10addcli 10125 . . . . . 6 (((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹))) ∈ ℂ
1211negrebi 10436 . . . . 5 (-(((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹))) ∈ ℝ ↔ (((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹))) ∈ ℝ)
135, 12mpbi 220 . . . 4 (((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹))) ∈ ℝ
1413leabsi 14207 . . 3 (((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹))) ≤ (abs‘(((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹))))
1511absnegi 14227 . . 3 (abs‘-(((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹)))) = (abs‘(((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹))))
1614, 15breqtrri 4755 . 2 (((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹))) ≤ (abs‘-(((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹))))
17 eqid 2692 . . 3 (𝐺 ·ih 𝐺) = (𝐺 ·ih 𝐺)
18 eqid 2692 . . 3 (𝐹 ·ih 𝐹) = (𝐹 ·ih 𝐹)
19 normlem7.4 . . 3 (abs‘𝑆) = 1
201, 2, 3, 4, 17, 18, 19normlem6 28170 . 2 (abs‘-(((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹)))) ≤ (2 · ((√‘(𝐺 ·ih 𝐺)) · (√‘(𝐹 ·ih 𝐹))))
2111negcli 10430 . . . 4 -(((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹))) ∈ ℂ
2221abscli 14222 . . 3 (abs‘-(((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹)))) ∈ ℝ
23 2re 11171 . . . 4 2 ∈ ℝ
24 hiidge0 28153 . . . . . 6 (𝐺 ∈ ℋ → 0 ≤ (𝐺 ·ih 𝐺))
25 hiidrcl 28150 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ ℋ → (𝐺 ·ih 𝐺) ∈ ℝ)
263, 25ax-mp 5 . . . . . . 7 (𝐺 ·ih 𝐺) ∈ ℝ
2726sqrtcli 14199 . . . . . 6 (0 ≤ (𝐺 ·ih 𝐺) → (√‘(𝐺 ·ih 𝐺)) ∈ ℝ)
283, 24, 27mp2b 10 . . . . 5 (√‘(𝐺 ·ih 𝐺)) ∈ ℝ
29 hiidge0 28153 . . . . . 6 (𝐹 ∈ ℋ → 0 ≤ (𝐹 ·ih 𝐹))
30 hiidrcl 28150 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ ℋ → (𝐹 ·ih 𝐹) ∈ ℝ)
312, 30ax-mp 5 . . . . . . 7 (𝐹 ·ih 𝐹) ∈ ℝ
3231sqrtcli 14199 . . . . . 6 (0 ≤ (𝐹 ·ih 𝐹) → (√‘(𝐹 ·ih 𝐹)) ∈ ℝ)
332, 29, 32mp2b 10 . . . . 5 (√‘(𝐹 ·ih 𝐹)) ∈ ℝ
3428, 33remulcli 10135 . . . 4 ((√‘(𝐺 ·ih 𝐺)) · (√‘(𝐹 ·ih 𝐹))) ∈ ℝ
3523, 34remulcli 10135 . . 3 (2 · ((√‘(𝐺 ·ih 𝐺)) · (√‘(𝐹 ·ih 𝐹)))) ∈ ℝ
3613, 22, 35letri 10247 . 2 (((((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹))) ≤ (abs‘-(((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹)))) ∧ (abs‘-(((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹)))) ≤ (2 · ((√‘(𝐺 ·ih 𝐺)) · (√‘(𝐹 ·ih 𝐹))))) → (((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹))) ≤ (2 · ((√‘(𝐺 ·ih 𝐺)) · (√‘(𝐹 ·ih 𝐹)))))
3716, 20, 36mp2an 710 1 (((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹))) ≤ (2 · ((√‘(𝐺 ·ih 𝐺)) · (√‘(𝐹 ·ih 𝐹))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1564  wcel 2071   class class class wbr 4728  cfv 5969  (class class class)co 6733  cc 10015  cr 10016  0cc0 10017  1c1 10018   + caddc 10020   · cmul 10022  cle 10156  -cneg 10348  2c2 11151  ccj 13924  csqrt 14061  abscabs 14062  chil 27974   ·ih csp 27977
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1818  ax-5 1920  ax-6 1986  ax-7 2022  ax-8 2073  ax-9 2080  ax-10 2100  ax-11 2115  ax-12 2128  ax-13 2323  ax-ext 2672  ax-sep 4857  ax-nul 4865  ax-pow 4916  ax-pr 4979  ax-un 7034  ax-cnex 10073  ax-resscn 10074  ax-1cn 10075  ax-icn 10076  ax-addcl 10077  ax-addrcl 10078  ax-mulcl 10079  ax-mulrcl 10080  ax-mulcom 10081  ax-addass 10082  ax-mulass 10083  ax-distr 10084  ax-i2m1 10085  ax-1ne0 10086  ax-1rid 10087  ax-rnegex 10088  ax-rrecex 10089  ax-cnre 10090  ax-pre-lttri 10091  ax-pre-lttrn 10092  ax-pre-ltadd 10093  ax-pre-mulgt0 10094  ax-pre-sup 10095  ax-hfvadd 28055  ax-hv0cl 28058  ax-hfvmul 28060  ax-hvmulass 28062  ax-hvmul0 28065  ax-hfi 28134  ax-his1 28137  ax-his2 28138  ax-his3 28139  ax-his4 28140
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1567  df-ex 1786  df-nf 1791  df-sb 1979  df-eu 2543  df-mo 2544  df-clab 2679  df-cleq 2685  df-clel 2688  df-nfc 2823  df-ne 2865  df-nel 2968  df-ral 2987  df-rex 2988  df-reu 2989  df-rmo 2990  df-rab 2991  df-v 3274  df-sbc 3510  df-csb 3608  df-dif 3651  df-un 3653  df-in 3655  df-ss 3662  df-pss 3664  df-nul 3992  df-if 4163  df-pw 4236  df-sn 4254  df-pr 4256  df-tp 4258  df-op 4260  df-uni 4513  df-iun 4598  df-br 4729  df-opab 4789  df-mpt 4806  df-tr 4829  df-id 5096  df-eprel 5101  df-po 5107  df-so 5108  df-fr 5145  df-we 5147  df-xp 5192  df-rel 5193  df-cnv 5194  df-co 5195  df-dm 5196  df-rn 5197  df-res 5198  df-ima 5199  df-pred 5761  df-ord 5807  df-on 5808  df-lim 5809  df-suc 5810  df-iota 5932  df-fun 5971  df-fn 5972  df-f 5973  df-f1 5974  df-fo 5975  df-f1o 5976  df-fv 5977  df-riota 6694  df-ov 6736  df-oprab 6737  df-mpt2 6738  df-om 7151  df-2nd 7254  df-wrecs 7495  df-recs 7556  df-rdg 7594  df-er 7830  df-en 8041  df-dom 8042  df-sdom 8043  df-sup 8432  df-pnf 10157  df-mnf 10158  df-xr 10159  df-ltxr 10160  df-le 10161  df-sub 10349  df-neg 10350  df-div 10766  df-nn 11102  df-2 11160  df-3 11161  df-4 11162  df-n0 11374  df-z 11459  df-uz 11769  df-rp 11915  df-seq 12885  df-exp 12944  df-cj 13927  df-re 13928  df-im 13929  df-sqrt 14063  df-abs 14064  df-hvsub 28026
This theorem is referenced by:  normlem7tALT  28174  norm-ii-i  28192
  Copyright terms: Public domain W3C validator