Theorem numdenneg 30533

Description: Numerator and denominator of the negative. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Oct-2017.)

Assertion

Ref	Expression
numdenneg	⊢ (𝑄 ∈ ℚ → ((numer‘-𝑄) = -(numer‘𝑄) ∧ (denom‘-𝑄) = (denom‘𝑄)))

Proof of Theorem numdenneg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qnegcl 12366	. 2 ⊢ (𝑄 ∈ ℚ → -𝑄 ∈ ℚ)
2		qnumcl 16080	. . 3 ⊢ (𝑄 ∈ ℚ → (numer‘𝑄) ∈ ℤ)
3	2	znegcld 12090	. 2 ⊢ (𝑄 ∈ ℚ → -(numer‘𝑄) ∈ ℤ)
4		qdencl 16081	. 2 ⊢ (𝑄 ∈ ℚ → (denom‘𝑄) ∈ ℕ)
5	4	nnzd 12087	. . . 4 ⊢ (𝑄 ∈ ℚ → (denom‘𝑄) ∈ ℤ)
6		neggcd 15871	. . . 4 ⊢ (((numer‘𝑄) ∈ ℤ ∧ (denom‘𝑄) ∈ ℤ) → (-(numer‘𝑄) gcd (denom‘𝑄)) = ((numer‘𝑄) gcd (denom‘𝑄)))
7	2, 5, 6	syl2anc 586	. . 3 ⊢ (𝑄 ∈ ℚ → (-(numer‘𝑄) gcd (denom‘𝑄)) = ((numer‘𝑄) gcd (denom‘𝑄)))
8		qnumdencoprm 16085	. . 3 ⊢ (𝑄 ∈ ℚ → ((numer‘𝑄) gcd (denom‘𝑄)) = 1)
9	7, 8	eqtrd 2856	. 2 ⊢ (𝑄 ∈ ℚ → (-(numer‘𝑄) gcd (denom‘𝑄)) = 1)
10		qeqnumdivden 16086	. . . 4 ⊢ (𝑄 ∈ ℚ → 𝑄 = ((numer‘𝑄) / (denom‘𝑄)))
11	10	negeqd 10880	. . 3 ⊢ (𝑄 ∈ ℚ → -𝑄 = -((numer‘𝑄) / (denom‘𝑄)))
12	2	zcnd 12089	. . . 4 ⊢ (𝑄 ∈ ℚ → (numer‘𝑄) ∈ ℂ)
13	4	nncnd 11654	. . . 4 ⊢ (𝑄 ∈ ℚ → (denom‘𝑄) ∈ ℂ)
14	4	nnne0d 11688	. . . 4 ⊢ (𝑄 ∈ ℚ → (denom‘𝑄) ≠ 0)
15	12, 13, 14	divnegd 11429	. . 3 ⊢ (𝑄 ∈ ℚ → -((numer‘𝑄) / (denom‘𝑄)) = (-(numer‘𝑄) / (denom‘𝑄)))
16	11, 15	eqtrd 2856	. 2 ⊢ (𝑄 ∈ ℚ → -𝑄 = (-(numer‘𝑄) / (denom‘𝑄)))
17		qnumdenbi 16084	. . 3 ⊢ ((-𝑄 ∈ ℚ ∧ -(numer‘𝑄) ∈ ℤ ∧ (denom‘𝑄) ∈ ℕ) → (((-(numer‘𝑄) gcd (denom‘𝑄)) = 1 ∧ -𝑄 = (-(numer‘𝑄) / (denom‘𝑄))) ↔ ((numer‘-𝑄) = -(numer‘𝑄) ∧ (denom‘-𝑄) = (denom‘𝑄))))
18	17	biimpa 479	. 2 ⊢ (((-𝑄 ∈ ℚ ∧ -(numer‘𝑄) ∈ ℤ ∧ (denom‘𝑄) ∈ ℕ) ∧ ((-(numer‘𝑄) gcd (denom‘𝑄)) = 1 ∧ -𝑄 = (-(numer‘𝑄) / (denom‘𝑄)))) → ((numer‘-𝑄) = -(numer‘𝑄) ∧ (denom‘-𝑄) = (denom‘𝑄)))
19	1, 3, 4, 9, 16, 18	syl32anc 1374	1 ⊢ (𝑄 ∈ ℚ → ((numer‘-𝑄) = -(numer‘𝑄) ∧ (denom‘-𝑄) = (denom‘𝑄)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6355  (class class class)co 7156  1c1 10538  -cneg 10871   / cdiv 11297  ℕcn 11638  ℤcz 11982  ℚcq 12349   gcd cgcd 15843  numercnumer 16073  denomcdenom 16074

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614  ax-pre-sup 10615

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-iun 4921  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-pred 6148  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7581  df-1st 7689  df-2nd 7690  df-wrecs 7947  df-recs 8008  df-rdg 8046  df-er 8289  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-sup 8906  df-inf 8907  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-div 11298  df-nn 11639  df-2 11701  df-3 11702  df-n0 11899  df-z 11983  df-uz 12245  df-q 12350  df-rp 12391  df-fl 13163  df-mod 13239  df-seq 13371  df-exp 13431  df-cj 14458  df-re 14459  df-im 14460  df-sqrt 14594  df-abs 14595  df-dvds 15608  df-gcd 15844  df-numer 16075  df-denom 16076

This theorem is referenced by:  divnumden2  30534