Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  numdenneg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem numdenneg 29537
Description: Numerator and denominator of the negative. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Oct-2017.)
Assertion
Ref Expression
numdenneg (𝑄 ∈ ℚ → ((numer‘-𝑄) = -(numer‘𝑄) ∧ (denom‘-𝑄) = (denom‘𝑄)))

Proof of Theorem numdenneg
StepHypRef Expression
1 qnegcl 11790 . 2 (𝑄 ∈ ℚ → -𝑄 ∈ ℚ)
2 qnumcl 15429 . . 3 (𝑄 ∈ ℚ → (numer‘𝑄) ∈ ℤ)
32znegcld 11469 . 2 (𝑄 ∈ ℚ → -(numer‘𝑄) ∈ ℤ)
4 qdencl 15430 . 2 (𝑄 ∈ ℚ → (denom‘𝑄) ∈ ℕ)
54nnzd 11466 . . . 4 (𝑄 ∈ ℚ → (denom‘𝑄) ∈ ℤ)
6 neggcd 15225 . . . 4 (((numer‘𝑄) ∈ ℤ ∧ (denom‘𝑄) ∈ ℤ) → (-(numer‘𝑄) gcd (denom‘𝑄)) = ((numer‘𝑄) gcd (denom‘𝑄)))
72, 5, 6syl2anc 692 . . 3 (𝑄 ∈ ℚ → (-(numer‘𝑄) gcd (denom‘𝑄)) = ((numer‘𝑄) gcd (denom‘𝑄)))
8 qnumdencoprm 15434 . . 3 (𝑄 ∈ ℚ → ((numer‘𝑄) gcd (denom‘𝑄)) = 1)
97, 8eqtrd 2654 . 2 (𝑄 ∈ ℚ → (-(numer‘𝑄) gcd (denom‘𝑄)) = 1)
10 qeqnumdivden 15435 . . . 4 (𝑄 ∈ ℚ → 𝑄 = ((numer‘𝑄) / (denom‘𝑄)))
1110negeqd 10260 . . 3 (𝑄 ∈ ℚ → -𝑄 = -((numer‘𝑄) / (denom‘𝑄)))
122zcnd 11468 . . . 4 (𝑄 ∈ ℚ → (numer‘𝑄) ∈ ℂ)
134nncnd 11021 . . . 4 (𝑄 ∈ ℚ → (denom‘𝑄) ∈ ℂ)
144nnne0d 11050 . . . 4 (𝑄 ∈ ℚ → (denom‘𝑄) ≠ 0)
1512, 13, 14divnegd 10799 . . 3 (𝑄 ∈ ℚ → -((numer‘𝑄) / (denom‘𝑄)) = (-(numer‘𝑄) / (denom‘𝑄)))
1611, 15eqtrd 2654 . 2 (𝑄 ∈ ℚ → -𝑄 = (-(numer‘𝑄) / (denom‘𝑄)))
17 qnumdenbi 15433 . . 3 ((-𝑄 ∈ ℚ ∧ -(numer‘𝑄) ∈ ℤ ∧ (denom‘𝑄) ∈ ℕ) → (((-(numer‘𝑄) gcd (denom‘𝑄)) = 1 ∧ -𝑄 = (-(numer‘𝑄) / (denom‘𝑄))) ↔ ((numer‘-𝑄) = -(numer‘𝑄) ∧ (denom‘-𝑄) = (denom‘𝑄))))
1817biimpa 501 . 2 (((-𝑄 ∈ ℚ ∧ -(numer‘𝑄) ∈ ℤ ∧ (denom‘𝑄) ∈ ℕ) ∧ ((-(numer‘𝑄) gcd (denom‘𝑄)) = 1 ∧ -𝑄 = (-(numer‘𝑄) / (denom‘𝑄)))) → ((numer‘-𝑄) = -(numer‘𝑄) ∧ (denom‘-𝑄) = (denom‘𝑄)))
191, 3, 4, 9, 16, 18syl32anc 1332 1 (𝑄 ∈ ℚ → ((numer‘-𝑄) = -(numer‘𝑄) ∧ (denom‘-𝑄) = (denom‘𝑄)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  w3a 1036   = wceq 1481  wcel 1988  cfv 5876  (class class class)co 6635  1c1 9922  -cneg 10252   / cdiv 10669  cn 11005  cz 11362  cq 11773   gcd cgcd 15197  numercnumer 15422  denomcdenom 15423
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934  ax-cnex 9977  ax-resscn 9978  ax-1cn 9979  ax-icn 9980  ax-addcl 9981  ax-addrcl 9982  ax-mulcl 9983  ax-mulrcl 9984  ax-mulcom 9985  ax-addass 9986  ax-mulass 9987  ax-distr 9988  ax-i2m1 9989  ax-1ne0 9990  ax-1rid 9991  ax-rnegex 9992  ax-rrecex 9993  ax-cnre 9994  ax-pre-lttri 9995  ax-pre-lttrn 9996  ax-pre-ltadd 9997  ax-pre-mulgt0 9998  ax-pre-sup 9999
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-nel 2895  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rmo 2917  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-pss 3583  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-tp 4173  df-op 4175  df-uni 4428  df-iun 4513  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-tr 4744  df-id 5014  df-eprel 5019  df-po 5025  df-so 5026  df-fr 5063  df-we 5065  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-pred 5668  df-ord 5714  df-on 5715  df-lim 5716  df-suc 5717  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-riota 6596  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-mpt2 6640  df-om 7051  df-1st 7153  df-2nd 7154  df-wrecs 7392  df-recs 7453  df-rdg 7491  df-er 7727  df-en 7941  df-dom 7942  df-sdom 7943  df-sup 8333  df-inf 8334  df-pnf 10061  df-mnf 10062  df-xr 10063  df-ltxr 10064  df-le 10065  df-sub 10253  df-neg 10254  df-div 10670  df-nn 11006  df-2 11064  df-3 11065  df-n0 11278  df-z 11363  df-uz 11673  df-q 11774  df-rp 11818  df-fl 12576  df-mod 12652  df-seq 12785  df-exp 12844  df-cj 13820  df-re 13821  df-im 13822  df-sqrt 13956  df-abs 13957  df-dvds 14965  df-gcd 15198  df-numer 15424  df-denom 15425
This theorem is referenced by:  divnumden2  29538
  Copyright terms: Public domain W3C validator