MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pcprod Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pcprod 15523
Description: The product of the primes taken to their respective powers reconstructs the original number. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
pcprod.1 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1))
Assertion
Ref Expression
pcprod (𝑁 ∈ ℕ → (seq1( · , 𝐹)‘𝑁) = 𝑁)
Distinct variable group:   𝑛,𝑁
Allowed substitution hint:   𝐹(𝑛)

Proof of Theorem pcprod
Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pcprod.1 . . . . . 6 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1))
2 pccl 15478 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑛 pCnt 𝑁) ∈ ℕ0)
32ancoms 469 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ) → (𝑛 pCnt 𝑁) ∈ ℕ0)
43ralrimiva 2960 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → ∀𝑛 ∈ ℙ (𝑛 pCnt 𝑁) ∈ ℕ0)
54adantl 482 . . . . . 6 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ∀𝑛 ∈ ℙ (𝑛 pCnt 𝑁) ∈ ℕ0)
6 simpr 477 . . . . . 6 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℕ)
7 simpl 473 . . . . . 6 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑝 ∈ ℙ)
8 oveq1 6611 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑝 → (𝑛 pCnt 𝑁) = (𝑝 pCnt 𝑁))
91, 5, 6, 7, 8pcmpt 15520 . . . . 5 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑝 pCnt (seq1( · , 𝐹)‘𝑁)) = if(𝑝𝑁, (𝑝 pCnt 𝑁), 0))
10 iftrue 4064 . . . . . . 7 (𝑝𝑁 → if(𝑝𝑁, (𝑝 pCnt 𝑁), 0) = (𝑝 pCnt 𝑁))
1110adantl 482 . . . . . 6 (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑝𝑁) → if(𝑝𝑁, (𝑝 pCnt 𝑁), 0) = (𝑝 pCnt 𝑁))
12 iffalse 4067 . . . . . . . 8 𝑝𝑁 → if(𝑝𝑁, (𝑝 pCnt 𝑁), 0) = 0)
1312adantl 482 . . . . . . 7 (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑝𝑁) → if(𝑝𝑁, (𝑝 pCnt 𝑁), 0) = 0)
14 prmz 15313 . . . . . . . . . 10 (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℤ)
15 dvdsle 14956 . . . . . . . . . 10 ((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑝𝑁𝑝𝑁))
1614, 15sylan 488 . . . . . . . . 9 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑝𝑁𝑝𝑁))
1716con3dimp 457 . . . . . . . 8 (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑝𝑁) → ¬ 𝑝𝑁)
18 pceq0 15499 . . . . . . . . 9 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑝 pCnt 𝑁) = 0 ↔ ¬ 𝑝𝑁))
1918adantr 481 . . . . . . . 8 (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑝𝑁) → ((𝑝 pCnt 𝑁) = 0 ↔ ¬ 𝑝𝑁))
2017, 19mpbird 247 . . . . . . 7 (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑝𝑁) → (𝑝 pCnt 𝑁) = 0)
2113, 20eqtr4d 2658 . . . . . 6 (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑝𝑁) → if(𝑝𝑁, (𝑝 pCnt 𝑁), 0) = (𝑝 pCnt 𝑁))
2211, 21pm2.61dan 831 . . . . 5 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → if(𝑝𝑁, (𝑝 pCnt 𝑁), 0) = (𝑝 pCnt 𝑁))
239, 22eqtrd 2655 . . . 4 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑝 pCnt (seq1( · , 𝐹)‘𝑁)) = (𝑝 pCnt 𝑁))
2423ancoms 469 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt (seq1( · , 𝐹)‘𝑁)) = (𝑝 pCnt 𝑁))
2524ralrimiva 2960 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt (seq1( · , 𝐹)‘𝑁)) = (𝑝 pCnt 𝑁))
261, 4pcmptcl 15519 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ seq1( · , 𝐹):ℕ⟶ℕ))
2726simprd 479 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → seq1( · , 𝐹):ℕ⟶ℕ)
28 ffvelrn 6313 . . . . 5 ((seq1( · , 𝐹):ℕ⟶ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (seq1( · , 𝐹)‘𝑁) ∈ ℕ)
2927, 28mpancom 702 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (seq1( · , 𝐹)‘𝑁) ∈ ℕ)
3029nnnn0d 11295 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → (seq1( · , 𝐹)‘𝑁) ∈ ℕ0)
31 nnnn0 11243 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
32 pc11 15508 . . 3 (((seq1( · , 𝐹)‘𝑁) ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → ((seq1( · , 𝐹)‘𝑁) = 𝑁 ↔ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt (seq1( · , 𝐹)‘𝑁)) = (𝑝 pCnt 𝑁)))
3330, 31, 32syl2anc 692 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → ((seq1( · , 𝐹)‘𝑁) = 𝑁 ↔ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt (seq1( · , 𝐹)‘𝑁)) = (𝑝 pCnt 𝑁)))
3425, 33mpbird 247 1 (𝑁 ∈ ℕ → (seq1( · , 𝐹)‘𝑁) = 𝑁)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wral 2907  ifcif 4058   class class class wbr 4613  cmpt 4673  wf 5843  cfv 5847  (class class class)co 6604  0cc0 9880  1c1 9881   · cmul 9885  cle 10019  cn 10964  0cn0 11236  cz 11321  seqcseq 12741  cexp 12800  cdvds 14907  cprime 15309   pCnt cpc 15465
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-2o 7506  df-oadd 7509  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-sup 8292  df-inf 8293  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-q 11733  df-rp 11777  df-fz 12269  df-fl 12533  df-mod 12609  df-seq 12742  df-exp 12801  df-cj 13773  df-re 13774  df-im 13775  df-sqrt 13909  df-abs 13910  df-dvds 14908  df-gcd 15141  df-prm 15310  df-pc 15466
This theorem is referenced by:  pclogsum  24840
  Copyright terms: Public domain W3C validator