Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  plycj Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem plycj 24078
 Description: The double conjugation of a polynomial is a polynomial. (The single conjugation is not because our definition of polynomial includes only holomorphic functions, i.e. no dependence on (∗‘𝑧) independently of 𝑧.) (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
plycj.1 𝑁 = (deg‘𝐹)
plycj.2 𝐺 = ((∗ ∘ 𝐹) ∘ ∗)
plycj.3 ((𝜑𝑥𝑆) → (∗‘𝑥) ∈ 𝑆)
plycj.4 (𝜑𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
Assertion
Ref Expression
plycj (𝜑𝐺 ∈ (Poly‘𝑆))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝑁   𝜑,𝑥   𝑥,𝑆
Allowed substitution hint:   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem plycj
Dummy variables 𝑘 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 plycj.4 . . . 4 (𝜑𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
2 plycj.1 . . . . 5 𝑁 = (deg‘𝐹)
3 plycj.2 . . . . 5 𝐺 = ((∗ ∘ 𝐹) ∘ ∗)
4 eqid 2651 . . . . 5 (coeff‘𝐹) = (coeff‘𝐹)
52, 3, 4plycjlem 24077 . . . 4 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐺 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((∗ ∘ (coeff‘𝐹))‘𝑘) · (𝑧𝑘))))
61, 5syl 17 . . 3 (𝜑𝐺 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((∗ ∘ (coeff‘𝐹))‘𝑘) · (𝑧𝑘))))
7 plybss 23995 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝑆 ⊆ ℂ)
81, 7syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑆 ⊆ ℂ)
9 0cnd 10071 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ∈ ℂ)
109snssd 4372 . . . . 5 (𝜑 → {0} ⊆ ℂ)
118, 10unssd 3822 . . . 4 (𝜑 → (𝑆 ∪ {0}) ⊆ ℂ)
12 dgrcl 24034 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (deg‘𝐹) ∈ ℕ0)
131, 12syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (deg‘𝐹) ∈ ℕ0)
142, 13syl5eqel 2734 . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
154coef 24031 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (coeff‘𝐹):ℕ0⟶(𝑆 ∪ {0}))
161, 15syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (coeff‘𝐹):ℕ0⟶(𝑆 ∪ {0}))
17 elfznn0 12471 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (0...𝑁) → 𝑘 ∈ ℕ0)
18 fvco3 6314 . . . . . 6 (((coeff‘𝐹):ℕ0⟶(𝑆 ∪ {0}) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((∗ ∘ (coeff‘𝐹))‘𝑘) = (∗‘((coeff‘𝐹)‘𝑘)))
1916, 17, 18syl2an 493 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((∗ ∘ (coeff‘𝐹))‘𝑘) = (∗‘((coeff‘𝐹)‘𝑘)))
20 ffvelrn 6397 . . . . . . 7 (((coeff‘𝐹):ℕ0⟶(𝑆 ∪ {0}) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((coeff‘𝐹)‘𝑘) ∈ (𝑆 ∪ {0}))
2116, 17, 20syl2an 493 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((coeff‘𝐹)‘𝑘) ∈ (𝑆 ∪ {0}))
22 plycj.3 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝑆) → (∗‘𝑥) ∈ 𝑆)
2322ralrimiva 2995 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ∀𝑥𝑆 (∗‘𝑥) ∈ 𝑆)
24 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = ((coeff‘𝐹)‘𝑘) → (∗‘𝑥) = (∗‘((coeff‘𝐹)‘𝑘)))
2524eleq1d 2715 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = ((coeff‘𝐹)‘𝑘) → ((∗‘𝑥) ∈ 𝑆 ↔ (∗‘((coeff‘𝐹)‘𝑘)) ∈ 𝑆))
2625rspccv 3337 . . . . . . . . . 10 (∀𝑥𝑆 (∗‘𝑥) ∈ 𝑆 → (((coeff‘𝐹)‘𝑘) ∈ 𝑆 → (∗‘((coeff‘𝐹)‘𝑘)) ∈ 𝑆))
2723, 26syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((coeff‘𝐹)‘𝑘) ∈ 𝑆 → (∗‘((coeff‘𝐹)‘𝑘)) ∈ 𝑆))
28 elsni 4227 . . . . . . . . . . . . 13 (((coeff‘𝐹)‘𝑘) ∈ {0} → ((coeff‘𝐹)‘𝑘) = 0)
2928fveq2d 6233 . . . . . . . . . . . 12 (((coeff‘𝐹)‘𝑘) ∈ {0} → (∗‘((coeff‘𝐹)‘𝑘)) = (∗‘0))
30 cj0 13942 . . . . . . . . . . . 12 (∗‘0) = 0
3129, 30syl6eq 2701 . . . . . . . . . . 11 (((coeff‘𝐹)‘𝑘) ∈ {0} → (∗‘((coeff‘𝐹)‘𝑘)) = 0)
32 fvex 6239 . . . . . . . . . . . 12 (∗‘((coeff‘𝐹)‘𝑘)) ∈ V
3332elsn 4225 . . . . . . . . . . 11 ((∗‘((coeff‘𝐹)‘𝑘)) ∈ {0} ↔ (∗‘((coeff‘𝐹)‘𝑘)) = 0)
3431, 33sylibr 224 . . . . . . . . . 10 (((coeff‘𝐹)‘𝑘) ∈ {0} → (∗‘((coeff‘𝐹)‘𝑘)) ∈ {0})
3534a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((coeff‘𝐹)‘𝑘) ∈ {0} → (∗‘((coeff‘𝐹)‘𝑘)) ∈ {0}))
3627, 35orim12d 901 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((((coeff‘𝐹)‘𝑘) ∈ 𝑆 ∨ ((coeff‘𝐹)‘𝑘) ∈ {0}) → ((∗‘((coeff‘𝐹)‘𝑘)) ∈ 𝑆 ∨ (∗‘((coeff‘𝐹)‘𝑘)) ∈ {0})))
37 elun 3786 . . . . . . . 8 (((coeff‘𝐹)‘𝑘) ∈ (𝑆 ∪ {0}) ↔ (((coeff‘𝐹)‘𝑘) ∈ 𝑆 ∨ ((coeff‘𝐹)‘𝑘) ∈ {0}))
38 elun 3786 . . . . . . . 8 ((∗‘((coeff‘𝐹)‘𝑘)) ∈ (𝑆 ∪ {0}) ↔ ((∗‘((coeff‘𝐹)‘𝑘)) ∈ 𝑆 ∨ (∗‘((coeff‘𝐹)‘𝑘)) ∈ {0}))
3936, 37, 383imtr4g 285 . . . . . . 7 (𝜑 → (((coeff‘𝐹)‘𝑘) ∈ (𝑆 ∪ {0}) → (∗‘((coeff‘𝐹)‘𝑘)) ∈ (𝑆 ∪ {0})))
4039adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (((coeff‘𝐹)‘𝑘) ∈ (𝑆 ∪ {0}) → (∗‘((coeff‘𝐹)‘𝑘)) ∈ (𝑆 ∪ {0})))
4121, 40mpd 15 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (∗‘((coeff‘𝐹)‘𝑘)) ∈ (𝑆 ∪ {0}))
4219, 41eqeltrd 2730 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((∗ ∘ (coeff‘𝐹))‘𝑘) ∈ (𝑆 ∪ {0}))
4311, 14, 42elplyd 24003 . . 3 (𝜑 → (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((∗ ∘ (coeff‘𝐹))‘𝑘) · (𝑧𝑘))) ∈ (Poly‘(𝑆 ∪ {0})))
446, 43eqeltrd 2730 . 2 (𝜑𝐺 ∈ (Poly‘(𝑆 ∪ {0})))
45 plyun0 23998 . 2 (Poly‘(𝑆 ∪ {0})) = (Poly‘𝑆)
4644, 45syl6eleq 2740 1 (𝜑𝐺 ∈ (Poly‘𝑆))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∨ wo 382   ∧ wa 383   = wceq 1523   ∈ wcel 2030  ∀wral 2941   ∪ cun 3605   ⊆ wss 3607  {csn 4210   ↦ cmpt 4762   ∘ ccom 5147  ⟶wf 5922  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690  ℂcc 9972  0cc0 9974   · cmul 9979  ℕ0cn0 11330  ...cfz 12364  ↑cexp 12900  ∗ccj 13880  Σcsu 14460  Polycply 23985  coeffccoe 23987  degcdgr 23988 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052  ax-addf 10053 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-rp 11871  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-fl 12633  df-seq 12842  df-exp 12901  df-hash 13158  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-clim 14263  df-rlim 14264  df-sum 14461  df-0p 23482  df-ply 23989  df-coe 23991  df-dgr 23992 This theorem is referenced by:  coecj  24079
 Copyright terms: Public domain W3C validator