MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  coecj Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem coecj 24079
Description: Double conjugation of a polynomial causes the coefficients to be conjugated. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
plycj.1 𝑁 = (deg‘𝐹)
plycj.2 𝐺 = ((∗ ∘ 𝐹) ∘ ∗)
coecj.3 𝐴 = (coeff‘𝐹)
Assertion
Ref Expression
coecj (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (coeff‘𝐺) = (∗ ∘ 𝐴))

Proof of Theorem coecj
Dummy variables 𝑥 𝑘 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 plycj.1 . . 3 𝑁 = (deg‘𝐹)
2 plycj.2 . . 3 𝐺 = ((∗ ∘ 𝐹) ∘ ∗)
3 cjcl 13889 . . . 4 (𝑥 ∈ ℂ → (∗‘𝑥) ∈ ℂ)
43adantl 481 . . 3 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (∗‘𝑥) ∈ ℂ)
5 plyssc 24001 . . . 4 (Poly‘𝑆) ⊆ (Poly‘ℂ)
65sseli 3632 . . 3 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐹 ∈ (Poly‘ℂ))
71, 2, 4, 6plycj 24078 . 2 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐺 ∈ (Poly‘ℂ))
8 dgrcl 24034 . . 3 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (deg‘𝐹) ∈ ℕ0)
91, 8syl5eqel 2734 . 2 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝑁 ∈ ℕ0)
10 cjf 13888 . . 3 ∗:ℂ⟶ℂ
11 coecj.3 . . . 4 𝐴 = (coeff‘𝐹)
1211coef3 24033 . . 3 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
13 fco 6096 . . 3 ((∗:ℂ⟶ℂ ∧ 𝐴:ℕ0⟶ℂ) → (∗ ∘ 𝐴):ℕ0⟶ℂ)
1410, 12, 13sylancr 696 . 2 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (∗ ∘ 𝐴):ℕ0⟶ℂ)
15 fvco3 6314 . . . . . . . . 9 ((𝐴:ℕ0⟶ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((∗ ∘ 𝐴)‘𝑘) = (∗‘(𝐴𝑘)))
1612, 15sylan 487 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((∗ ∘ 𝐴)‘𝑘) = (∗‘(𝐴𝑘)))
17 cj0 13942 . . . . . . . . . 10 (∗‘0) = 0
1817eqcomi 2660 . . . . . . . . 9 0 = (∗‘0)
1918a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 0 = (∗‘0))
2016, 19eqeq12d 2666 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((∗ ∘ 𝐴)‘𝑘) = 0 ↔ (∗‘(𝐴𝑘)) = (∗‘0)))
2112ffvelrnda 6399 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑘) ∈ ℂ)
22 0cnd 10071 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 0 ∈ ℂ)
23 cj11 13946 . . . . . . . 8 (((𝐴𝑘) ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ) → ((∗‘(𝐴𝑘)) = (∗‘0) ↔ (𝐴𝑘) = 0))
2421, 22, 23syl2anc 694 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((∗‘(𝐴𝑘)) = (∗‘0) ↔ (𝐴𝑘) = 0))
2520, 24bitrd 268 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((∗ ∘ 𝐴)‘𝑘) = 0 ↔ (𝐴𝑘) = 0))
2625necon3bid 2867 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((∗ ∘ 𝐴)‘𝑘) ≠ 0 ↔ (𝐴𝑘) ≠ 0))
2711, 1dgrub2 24036 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (𝐴 “ (ℤ‘(𝑁 + 1))) = {0})
28 plyco0 23993 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴:ℕ0⟶ℂ) → ((𝐴 “ (ℤ‘(𝑁 + 1))) = {0} ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐴𝑘) ≠ 0 → 𝑘𝑁)))
299, 12, 28syl2anc 694 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → ((𝐴 “ (ℤ‘(𝑁 + 1))) = {0} ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐴𝑘) ≠ 0 → 𝑘𝑁)))
3027, 29mpbid 222 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → ∀𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐴𝑘) ≠ 0 → 𝑘𝑁))
3130r19.21bi 2961 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴𝑘) ≠ 0 → 𝑘𝑁))
3226, 31sylbid 230 . . . 4 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((∗ ∘ 𝐴)‘𝑘) ≠ 0 → 𝑘𝑁))
3332ralrimiva 2995 . . 3 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → ∀𝑘 ∈ ℕ0 (((∗ ∘ 𝐴)‘𝑘) ≠ 0 → 𝑘𝑁))
34 plyco0 23993 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (∗ ∘ 𝐴):ℕ0⟶ℂ) → (((∗ ∘ 𝐴) “ (ℤ‘(𝑁 + 1))) = {0} ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (((∗ ∘ 𝐴)‘𝑘) ≠ 0 → 𝑘𝑁)))
359, 14, 34syl2anc 694 . . 3 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (((∗ ∘ 𝐴) “ (ℤ‘(𝑁 + 1))) = {0} ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (((∗ ∘ 𝐴)‘𝑘) ≠ 0 → 𝑘𝑁)))
3633, 35mpbird 247 . 2 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → ((∗ ∘ 𝐴) “ (ℤ‘(𝑁 + 1))) = {0})
371, 2, 11plycjlem 24077 . 2 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐺 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((∗ ∘ 𝐴)‘𝑘) · (𝑧𝑘))))
387, 9, 14, 36, 37coeeq 24028 1 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (coeff‘𝐺) = (∗ ∘ 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823  wral 2941  {csn 4210   class class class wbr 4685  cima 5146  ccom 5147  wf 5922  cfv 5926  (class class class)co 6690  cc 9972  0cc0 9974  1c1 9975   + caddc 9977  cle 10113  0cn0 11330  cuz 11725  ccj 13880  Polycply 23985  coeffccoe 23987  degcdgr 23988
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052  ax-addf 10053
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-rp 11871  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-fl 12633  df-seq 12842  df-exp 12901  df-hash 13158  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-clim 14263  df-rlim 14264  df-sum 14461  df-0p 23482  df-ply 23989  df-coe 23991  df-dgr 23992
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator