Theorem coecj 24868

Description: Double conjugation of a polynomial causes the coefficients to be conjugated. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
plycj.1	⊢ 𝑁 = (deg‘𝐹)
plycj.2	⊢ 𝐺 = ((∗ ∘ 𝐹) ∘ ∗)
coecj.3	⊢ 𝐴 = (coeff‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
coecj	⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (coeff‘𝐺) = (∗ ∘ 𝐴))

Proof of Theorem coecj

Dummy variables 𝑥 𝑘 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		plycj.1	. . 3 ⊢ 𝑁 = (deg‘𝐹)
2		plycj.2	. . 3 ⊢ 𝐺 = ((∗ ∘ 𝐹) ∘ ∗)
3		cjcl 14464	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (∗‘𝑥) ∈ ℂ)
4	3	adantl 484	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (∗‘𝑥) ∈ ℂ)
5		plyssc 24790	. . . 4 ⊢ (Poly‘𝑆) ⊆ (Poly‘ℂ)
6	5	sseli 3963	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐹 ∈ (Poly‘ℂ))
7	1, 2, 4, 6	plycj 24867	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐺 ∈ (Poly‘ℂ))
8		dgrcl 24823	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (deg‘𝐹) ∈ ℕ0)
9	1, 8	eqeltrid 2917	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝑁 ∈ ℕ0)
10		cjf 14463	. . 3 ⊢ ∗:ℂ⟶ℂ
11		coecj.3	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (coeff‘𝐹)
12	11	coef3 24822	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
13		fco 6531	. . 3 ⊢ ((∗:ℂ⟶ℂ ∧ 𝐴:ℕ0⟶ℂ) → (∗ ∘ 𝐴):ℕ0⟶ℂ)
14	10, 12, 13	sylancr 589	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (∗ ∘ 𝐴):ℕ0⟶ℂ)
15		fvco3 6760	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴:ℕ0⟶ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((∗ ∘ 𝐴)‘𝑘) = (∗‘(𝐴‘𝑘)))
16	12, 15	sylan 582	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((∗ ∘ 𝐴)‘𝑘) = (∗‘(𝐴‘𝑘)))
17		cj0 14517	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∗‘0) = 0
18	17	eqcomi 2830	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 = (∗‘0)
19	18	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 0 = (∗‘0))
20	16, 19	eqeq12d 2837	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((∗ ∘ 𝐴)‘𝑘) = 0 ↔ (∗‘(𝐴‘𝑘)) = (∗‘0)))
21	12	ffvelrnda 6851	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴‘𝑘) ∈ ℂ)
22		0cnd 10634	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 0 ∈ ℂ)
23		cj11 14521	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴‘𝑘) ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ) → ((∗‘(𝐴‘𝑘)) = (∗‘0) ↔ (𝐴‘𝑘) = 0))
24	21, 22, 23	syl2anc 586	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((∗‘(𝐴‘𝑘)) = (∗‘0) ↔ (𝐴‘𝑘) = 0))
25	20, 24	bitrd 281	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((∗ ∘ 𝐴)‘𝑘) = 0 ↔ (𝐴‘𝑘) = 0))
26	25	necon3bid 3060	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((∗ ∘ 𝐴)‘𝑘) ≠ 0 ↔ (𝐴‘𝑘) ≠ 0))
27	11, 1	dgrub2 24825	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (𝐴 “ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) = {0})
28		plyco0 24782	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴:ℕ0⟶ℂ) → ((𝐴 “ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) = {0} ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐴‘𝑘) ≠ 0 → 𝑘 ≤ 𝑁)))
29	9, 12, 28	syl2anc 586	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → ((𝐴 “ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) = {0} ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐴‘𝑘) ≠ 0 → 𝑘 ≤ 𝑁)))
30	27, 29	mpbid 234	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → ∀𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐴‘𝑘) ≠ 0 → 𝑘 ≤ 𝑁))
31	30	r19.21bi 3208	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴‘𝑘) ≠ 0 → 𝑘 ≤ 𝑁))
32	26, 31	sylbid 242	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((∗ ∘ 𝐴)‘𝑘) ≠ 0 → 𝑘 ≤ 𝑁))
33	32	ralrimiva 3182	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → ∀𝑘 ∈ ℕ0 (((∗ ∘ 𝐴)‘𝑘) ≠ 0 → 𝑘 ≤ 𝑁))
34		plyco0 24782	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (∗ ∘ 𝐴):ℕ0⟶ℂ) → (((∗ ∘ 𝐴) “ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) = {0} ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (((∗ ∘ 𝐴)‘𝑘) ≠ 0 → 𝑘 ≤ 𝑁)))
35	9, 14, 34	syl2anc 586	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (((∗ ∘ 𝐴) “ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) = {0} ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (((∗ ∘ 𝐴)‘𝑘) ≠ 0 → 𝑘 ≤ 𝑁)))
36	33, 35	mpbird 259	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → ((∗ ∘ 𝐴) “ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) = {0})
37	1, 2, 11	plycjlem 24866	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐺 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((∗ ∘ 𝐴)‘𝑘) · (𝑧↑𝑘))))
38	7, 9, 14, 36, 37	coeeq 24817	1 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (coeff‘𝐺) = (∗ ∘ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   ≠ wne 3016  ∀wral 3138  {csn 4567   class class class wbr 5066   “ cima 5558   ∘ ccom 5559  ⟶wf 6351  ‘cfv 6355  (class class class)co 7156  ℂcc 10535  0cc0 10537  1c1 10538   + caddc 10540   ≤ cle 10676  ℕ₀cn0 11898  ℤ_≥cuz 12244  ∗ccj 14455  Polycply 24774  coeffccoe 24776  degcdgr 24777

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-rep 5190  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-inf2 9104  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614  ax-pre-sup 10615  ax-addf 10616

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-int 4877  df-iun 4921  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-se 5515  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-pred 6148  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-isom 6364  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-of 7409  df-om 7581  df-1st 7689  df-2nd 7690  df-wrecs 7947  df-recs 8008  df-rdg 8046  df-1o 8102  df-oadd 8106  df-er 8289  df-map 8408  df-pm 8409  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-fin 8513  df-sup 8906  df-inf 8907  df-oi 8974  df-card 9368  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-div 11298  df-nn 11639  df-2 11701  df-3 11702  df-n0 11899  df-z 11983  df-uz 12245  df-rp 12391  df-fz 12894  df-fzo 13035  df-fl 13163  df-seq 13371  df-exp 13431  df-hash 13692  df-cj 14458  df-re 14459  df-im 14460  df-sqrt 14594  df-abs 14595  df-clim 14845  df-rlim 14846  df-sum 15043  df-0p 24271  df-ply 24778  df-coe 24780  df-dgr 24781

This theorem is referenced by: (None)