Theorem elfznn0 13001

Description: A member of a finite set of sequential nonnegative integers is a nonnegative integer. (Contributed by NM, 5-Aug-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfznn0	⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝐾 ∈ ℕ0)

Proof of Theorem elfznn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfz2nn0 12999	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ↔ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁))
2	1	simp1bi 1141	1 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝐾 ∈ ℕ0)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5066  (class class class)co 7156  0cc0 10537   ≤ cle 10676  ℕ₀cn0 11898  ...cfz 12893

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-iun 4921  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-pred 6148  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7581  df-1st 7689  df-2nd 7690  df-wrecs 7947  df-recs 8008  df-rdg 8046  df-er 8289  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-nn 11639  df-n0 11899  df-z 11983  df-uz 12245  df-fz 12894

This theorem is referenced by:  fz0ssnn0  13003  fz0fzdiffz0  13017  difelfzle  13021  bcrpcl  13669  bccmpl  13670  bcp1n  13677  bcp1nk  13678  bcval5  13679  permnn  13687  pfxmpt  14040  pfxfv  14044  pfxlen  14045  addlenpfx  14053  pfxswrd  14068  swrdpfx  14069  pfxpfx  14070  pfxpfxid  14071  swrdccatin1  14087  pfxccat3  14096  pfxccatpfx1  14098  pfxccat3a  14100  swrdccat3blem  14101  splfv2a  14118  repswpfx  14147  2cshwcshw  14187  cshwcsh2id  14190  pfxco  14200  binomlem  15184  binom1p  15186  binom1dif  15188  bcxmas  15190  climcnds  15206  arisum  15215  arisum2  15216  pwdif  15223  pwm1geoserOLD  15225  geolim  15226  geo2sum  15229  mertenslem1  15240  mertenslem2  15241  mertens  15242  risefacval2  15364  fallfacval2  15365  fallfacval3  15366  risefaccllem  15367  fallfaccllem  15368  risefacp1  15383  fallfacp1  15384  fallfacfwd  15390  binomfallfaclem1  15393  binomfallfaclem2  15394  binomrisefac  15396  bcfallfac  15398  bpolylem  15402  bpolysum  15407  bpolydiflem  15408  fsumkthpow  15410  bpoly4  15413  efcvgfsum  15439  efcj  15445  efaddlem  15446  effsumlt  15464  eirrlem  15557  3dvds  15680  pwp1fsum  15742  prmdiveq  16123  hashgcdlem  16125  pcbc  16236  vdwapf  16308  vdwlem2  16318  vdwlem6  16322  vdwlem8  16324  psgnunilem2  18623  efgcpbllemb  18881  srgbinomlem3  19292  srgbinomlem4  19293  srgbinomlem  19294  coe1mul2  20437  coe1tmmul2  20444  coe1tmmul  20445  cply1mul  20462  gsummoncoe1  20472  m2pmfzgsumcl  21356  decpmatmul  21380  pmatcollpw3fi1lem1  21394  mp2pm2mplem4  21417  pm2mpmhmlem2  21427  chpscmatgsumbin  21452  chpscmatgsummon  21453  chfacfscmulgsum  21468  chfacfpmmulgsum  21472  cpmadugsumlemB  21482  cpmadugsumlemC  21483  cpmadugsumlemF  21484  cpmadugsumfi  21485  mbfi1fseqlem3  24318  mbfi1fseqlem4  24319  itg0  24380  itgz  24381  itgcl  24384  iblabsr  24430  iblmulc2  24431  itgsplit  24436  dvn2bss  24527  coe1mul3  24693  elply2  24786  plyf  24788  elplyd  24792  ply1termlem  24793  plyeq0lem  24800  plypf1  24802  plyaddlem1  24803  plymullem1  24804  plyaddlem  24805  plymullem  24806  coeeulem  24814  coeidlem  24827  coeid3  24830  plyco  24831  coeeq2  24832  dgreq  24834  coefv0  24838  coeaddlem  24839  coemullem  24840  coemulhi  24844  coemulc  24845  coe1termlem  24848  plycn  24851  plycjlem  24866  plycj  24867  plyrecj  24869  dvply1  24873  dvply2g  24874  vieta1lem2  24900  elqaalem2  24909  elqaalem3  24910  aareccl  24915  aalioulem1  24921  taylply2  24956  taylply  24957  dvtaylp  24958  dvntaylp0  24960  taylthlem2  24962  pserulm  25010  psercn2  25011  pserdvlem2  25016  abelthlem6  25024  abelthlem7  25026  abelthlem8  25027  advlogexp  25238  cxpeq  25338  log2tlbnd  25523  log2ublem2  25525  log2ub  25527  birthdaylem2  25530  birthdaylem3  25531  ftalem1  25650  ftalem5  25654  basellem2  25659  basellem3  25660  dvdsppwf1o  25763  musum  25768  sgmppw  25773  1sgmprm  25775  logexprlim  25801  mersenne  25803  lgseisenlem1  25951  dchrisum0flblem1  26084  pntpbnd2  26163  crctcshwlkn0  27599  bcm1n  30518  freshmansdream  30859  plymulx0  31817  signsplypnf  31820  signstres  31845  subfacval2  32434  subfaclim  32435  cvmliftlem7  32538  bccolsum  32971  knoppcnlem7  33838  knoppcnlem8  33839  knoppndvlem5  33855  knoppndvlem11  33861  knoppndvlem14  33864  knoppndvlem15  33865  poimirlem3  34910  poimirlem4  34911  poimirlem12  34919  poimirlem15  34922  poimirlem16  34923  poimirlem17  34924  poimirlem19  34926  poimirlem20  34927  poimirlem23  34930  poimirlem24  34931  poimirlem25  34932  poimirlem28  34935  poimirlem29  34936  poimirlem31  34938  iblmulc2nc  34972  jm2.22  39641  jm2.23  39642  hbt  39779  cnsrplycl  39816  bcc0  40721  binomcxplemnn0  40730  binomcxplemfrat  40732  binomcxplemradcnv  40733  dvnmptdivc  42272  dvnmul  42277  dvnprodlem1  42280  dvnprodlem2  42281  dvnprodlem3  42282  iblsplit  42300  elaa2lem  42567  etransclem2  42570  etransclem23  42591  etransclem28  42596  etransclem29  42597  etransclem32  42600  etransclem33  42601  etransclem35  42603  etransclem38  42606  etransclem39  42607  etransclem43  42611  etransclem44  42612  etransclem45  42613  etransclem46  42614  etransclem47  42615  etransclem48  42616  2elfz3nn0  43565  fz0addcom  43566  2elfz2melfz  43567  fz0addge0  43568  fmtnorec2lem  43753  fmtnodvds  43755  fmtnorec3  43759  lighneallem3  43821  lighneallem4b  43823  lighneallem4  43824  altgsumbc  44449  altgsumbcALT  44450  ply1mulgsumlem2  44490  ply1mulgsum  44493  nn0sumshdiglemA  44728  nn0sumshdiglemB  44729  aacllem  44951