MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elfznn0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elfznn0 12254
Description: A member of a finite set of sequential nonnegative integers is a nonnegative integer. (Contributed by NM, 5-Aug-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
elfznn0 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝐾 ∈ ℕ0)

Proof of Theorem elfznn0
StepHypRef Expression
1 elfz2nn0 12252 . 2 (𝐾 ∈ (0...𝑁) ↔ (𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝐾𝑁))
21simp1bi 1068 1 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝐾 ∈ ℕ0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 1976   class class class wbr 4574  (class class class)co 6524  0cc0 9789  cle 9928  0cn0 11136  ...cfz 12149
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2032  ax-13 2229  ax-ext 2586  ax-sep 4700  ax-nul 4709  ax-pow 4761  ax-pr 4825  ax-un 6821  ax-cnex 9845  ax-resscn 9846  ax-1cn 9847  ax-icn 9848  ax-addcl 9849  ax-addrcl 9850  ax-mulcl 9851  ax-mulrcl 9852  ax-mulcom 9853  ax-addass 9854  ax-mulass 9855  ax-distr 9856  ax-i2m1 9857  ax-1ne0 9858  ax-1rid 9859  ax-rnegex 9860  ax-rrecex 9861  ax-cnre 9862  ax-pre-lttri 9863  ax-pre-lttrn 9864  ax-pre-ltadd 9865  ax-pre-mulgt0 9866
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2458  df-mo 2459  df-clab 2593  df-cleq 2599  df-clel 2602  df-nfc 2736  df-ne 2778  df-nel 2779  df-ral 2897  df-rex 2898  df-reu 2899  df-rab 2901  df-v 3171  df-sbc 3399  df-csb 3496  df-dif 3539  df-un 3541  df-in 3543  df-ss 3550  df-pss 3552  df-nul 3871  df-if 4033  df-pw 4106  df-sn 4122  df-pr 4124  df-tp 4126  df-op 4128  df-uni 4364  df-iun 4448  df-br 4575  df-opab 4635  df-mpt 4636  df-tr 4672  df-eprel 4936  df-id 4940  df-po 4946  df-so 4947  df-fr 4984  df-we 4986  df-xp 5031  df-rel 5032  df-cnv 5033  df-co 5034  df-dm 5035  df-rn 5036  df-res 5037  df-ima 5038  df-pred 5580  df-ord 5626  df-on 5627  df-lim 5628  df-suc 5629  df-iota 5751  df-fun 5789  df-fn 5790  df-f 5791  df-f1 5792  df-fo 5793  df-f1o 5794  df-fv 5795  df-riota 6486  df-ov 6527  df-oprab 6528  df-mpt2 6529  df-om 6932  df-1st 7033  df-2nd 7034  df-wrecs 7268  df-recs 7329  df-rdg 7367  df-er 7603  df-en 7816  df-dom 7817  df-sdom 7818  df-pnf 9929  df-mnf 9930  df-xr 9931  df-ltxr 9932  df-le 9933  df-sub 10116  df-neg 10117  df-nn 10865  df-n0 11137  df-z 11208  df-uz 11517  df-fz 12150
This theorem is referenced by:  fz0ssnn0  12256  fz0fzdiffz0  12269  difelfzle  12273  fzo0ssnn0OLD  12368  bcrpcl  12909  bccmpl  12910  bcp1n  12917  bcp1nk  12918  bcval5  12919  permnn  12927  swrd0len  13217  swrd0f  13222  swrd0fv  13234  swrd0swrd  13256  swrdswrd0  13257  swrd0swrd0  13258  swrd0swrdid  13259  wrdcctswrd  13260  swrdccat3  13286  swrdccat3a  13288  swrdccat3blem  13289  splfv2a  13301  2cshwcshw  13365  cshwcsh2id  13368  binomlem  14343  binom1p  14345  binom1dif  14347  bcxmas  14349  climcnds  14365  arisum  14374  arisum2  14375  pwm1geoser  14382  geolim  14383  geo2sum  14386  mertenslem1  14398  mertenslem2  14399  mertens  14400  risefacval2  14523  fallfacval2  14524  fallfacval3  14525  risefaccllem  14526  fallfaccllem  14527  risefacp1  14542  fallfacp1  14543  fallfacfwd  14549  binomfallfaclem1  14552  binomfallfaclem2  14553  binomrisefac  14555  bcfallfac  14557  bpolylem  14561  bpolysum  14566  bpolydiflem  14567  fsumkthpow  14569  bpoly4  14572  efcvgfsum  14598  efcj  14604  efaddlem  14605  effsumlt  14623  eirrlem  14714  3dvds  14833  3dvdsOLD  14834  pwp1fsum  14895  prmdiveq  15272  hashgcdlem  15274  pcbc  15385  vdwapf  15457  vdwlem2  15467  vdwlem6  15471  vdwlem8  15473  psgnunilem2  17681  efgcpbllemb  17934  srgbinomlem3  18308  srgbinomlem4  18309  srgbinomlem  18310  coe1mul2  19403  coe1tmmul2  19410  coe1tmmul  19411  cply1mul  19428  gsummoncoe1  19438  m2pmfzgsumcl  20311  decpmatmul  20335  pmatcollpw3fi1lem1  20349  mp2pm2mplem4  20372  pm2mpmhmlem2  20382  chpscmatgsumbin  20407  chpscmatgsummon  20408  chfacfscmulgsum  20423  chfacfpmmulgsum  20427  cpmadugsumlemB  20437  cpmadugsumlemC  20438  cpmadugsumlemF  20439  cpmadugsumfi  20440  mbfi1fseqlem3  23204  mbfi1fseqlem4  23205  itg0  23266  itgz  23267  itgcl  23270  iblabsr  23316  iblmulc2  23317  itgsplit  23322  dvn2bss  23413  coe1mul3  23577  elply2  23670  plyf  23672  elplyd  23676  ply1termlem  23677  plyeq0lem  23684  plypf1  23686  plyaddlem1  23687  plymullem1  23688  plyaddlem  23689  plymullem  23690  coeeulem  23698  coeidlem  23711  coeid3  23714  plyco  23715  coeeq2  23716  dgreq  23718  coefv0  23722  coeaddlem  23723  coemullem  23724  coemulhi  23728  coemulc  23729  coe1termlem  23732  plycn  23735  plycjlem  23750  plycj  23751  plyrecj  23753  dvply1  23757  dvply2g  23758  vieta1lem2  23784  elqaalem2  23793  elqaalem3  23794  aareccl  23799  aalioulem1  23805  taylply2  23840  taylply  23841  dvtaylp  23842  dvntaylp0  23844  taylthlem2  23846  pserulm  23894  psercn2  23895  pserdvlem2  23900  abelthlem6  23908  abelthlem7  23910  abelthlem8  23911  advlogexp  24115  cxpeq  24212  log2tlbnd  24386  log2ublem2  24388  log2ub  24390  birthdaylem2  24393  birthdaylem3  24394  ftalem1  24513  ftalem5  24517  basellem2  24522  basellem3  24523  dvdsppwf1o  24626  musum  24631  sgmppw  24636  1sgmprm  24638  logexprlim  24664  mersenne  24666  lgseisenlem1  24814  dchrisum0flblem1  24911  pntpbnd2  24990  eupares  26265  bcm1n  28744  plymulx0  29753  signsplypnf  29756  signstres  29781  subfacval2  30226  subfaclim  30227  cvmliftlem7  30330  bccolsum  30681  knoppcnlem7  31462  knoppcnlem8  31463  knoppndvlem5  31480  knoppndvlem11  31486  knoppndvlem14  31489  knoppndvlem15  31490  poimirlem3  32382  poimirlem4  32383  poimirlem12  32391  poimirlem15  32394  poimirlem16  32395  poimirlem17  32396  poimirlem19  32398  poimirlem20  32399  poimirlem23  32402  poimirlem24  32403  poimirlem25  32404  poimirlem28  32407  poimirlem29  32408  poimirlem31  32410  iblmulc2nc  32445  jm2.22  36380  jm2.23  36381  hbt  36519  cnsrplycl  36556  bcc0  37361  binomcxplemnn0  37370  binomcxplemfrat  37372  binomcxplemradcnv  37373  dvnmptdivc  38629  dvnmul  38634  dvnprodlem1  38637  dvnprodlem2  38638  dvnprodlem3  38639  iblsplit  38659  elaa2lem  38927  etransclem2  38930  etransclem23  38951  etransclem28  38956  etransclem29  38957  etransclem32  38960  etransclem33  38961  etransclem35  38963  etransclem38  38966  etransclem39  38967  etransclem43  38971  etransclem44  38972  etransclem45  38973  etransclem46  38974  etransclem47  38975  etransclem48  38976  fmtnorec2lem  39794  fmtnodvds  39796  fmtnorec3  39800  pwdif  39841  lighneallem3  39864  lighneallem4b  39866  lighneallem4  39867  pfxmpt  40052  pfxlen  40056  addlenpfx  40063  pfxfv  40064  pfxswrd  40078  swrdpfx  40079  pfxpfx  40080  pfxpfxid  40081  pfxccat3  40091  pfxccatpfx1  40092  pfxccat3a  40094  repswpfx  40101  pfxco  40103  2elfz3nn0  40177  fz0addcom  40178  2elfz2melfz  40179  fz0addge0  40180  crctcsh1wlkn0  41023  altgsumbc  41922  altgsumbcALT  41923  ply1mulgsumlem2  41968  ply1mulgsum  41971  nn0sumshdiglemA  42210  nn0sumshdiglemB  42211  aacllem  42316
  Copyright terms: Public domain W3C validator