Theorem plyeq0 24803

Description: If a polynomial is zero at every point (or even just zero at the positive integers), then all the coefficients must be zero. This is the basis for the method of equating coefficients of equal polynomials, and ensures that df-coe 24782 is well-defined. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
plyeq0.1	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ)
plyeq0.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
plyeq0.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m ℕ0))
plyeq0.4	⊢ (𝜑 → (𝐴 “ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) = {0})
plyeq0.5	⊢ (𝜑 → 0𝑝 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴‘𝑘) · (𝑧↑𝑘))))

Assertion

Ref	Expression
plyeq0	⊢ (𝜑 → 𝐴 = (ℕ0 × {0}))

Distinct variable groups:   𝑧,𝑘,𝐴   𝑘,𝑁,𝑧   𝜑,𝑘,𝑧   𝑆,𝑘,𝑧

Proof of Theorem plyeq0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		plyeq0.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m ℕ0))
2		plyeq0.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ)
3		0cnd 10636	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℂ)
4	3	snssd 4744	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → {0} ⊆ ℂ)
5	2, 4	unssd 4164	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∪ {0}) ⊆ ℂ)
6		cnex 10620	. . . . . . 7 ⊢ ℂ ∈ V
7		ssexg 5229	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 ∪ {0}) ⊆ ℂ ∧ ℂ ∈ V) → (𝑆 ∪ {0}) ∈ V)
8	5, 6, 7	sylancl 588	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∪ {0}) ∈ V)
9		nn0ex 11906	. . . . . 6 ⊢ ℕ0 ∈ V
10		elmapg 8421	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ∪ {0}) ∈ V ∧ ℕ0 ∈ V) → (𝐴 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m ℕ0) ↔ 𝐴:ℕ0⟶(𝑆 ∪ {0})))
11	8, 9, 10	sylancl 588	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m ℕ0) ↔ 𝐴:ℕ0⟶(𝑆 ∪ {0})))
12	1, 11	mpbid 234	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴:ℕ0⟶(𝑆 ∪ {0}))
13	12	ffnd 6517	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 Fn ℕ0)
14		imadmrn 5941	. . . 4 ⊢ (𝐴 “ dom 𝐴) = ran 𝐴
15		fdm 6524	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴:ℕ0⟶(𝑆 ∪ {0}) → dom 𝐴 = ℕ0)
16		fimacnv 6841	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴:ℕ0⟶(𝑆 ∪ {0}) → (◡𝐴 “ (𝑆 ∪ {0})) = ℕ0)
17	15, 16	eqtr4d 2861	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴:ℕ0⟶(𝑆 ∪ {0}) → dom 𝐴 = (◡𝐴 “ (𝑆 ∪ {0})))
18	12, 17	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → dom 𝐴 = (◡𝐴 “ (𝑆 ∪ {0})))
19		simpr 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (◡𝐴 “ (𝑆 ∖ {0})) = ∅) → (◡𝐴 “ (𝑆 ∖ {0})) = ∅)
20	2	adantr 483	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (◡𝐴 “ (𝑆 ∖ {0})) ≠ ∅) → 𝑆 ⊆ ℂ)
21		plyeq0.2	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
22	21	adantr 483	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (◡𝐴 “ (𝑆 ∖ {0})) ≠ ∅) → 𝑁 ∈ ℕ0)
23	1	adantr 483	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (◡𝐴 “ (𝑆 ∖ {0})) ≠ ∅) → 𝐴 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m ℕ0))
24		plyeq0.4	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐴 “ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) = {0})
25	24	adantr 483	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (◡𝐴 “ (𝑆 ∖ {0})) ≠ ∅) → (𝐴 “ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) = {0})
26		plyeq0.5	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 0𝑝 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴‘𝑘) · (𝑧↑𝑘))))
27	26	adantr 483	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (◡𝐴 “ (𝑆 ∖ {0})) ≠ ∅) → 0𝑝 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴‘𝑘) · (𝑧↑𝑘))))
28		eqid 2823	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ sup((◡𝐴 “ (𝑆 ∖ {0})), ℝ, < ) = sup((◡𝐴 “ (𝑆 ∖ {0})), ℝ, < )
29		simpr 487	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (◡𝐴 “ (𝑆 ∖ {0})) ≠ ∅) → (◡𝐴 “ (𝑆 ∖ {0})) ≠ ∅)
30	20, 22, 23, 25, 27, 28, 29	plyeq0lem 24802	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ¬ (𝜑 ∧ (◡𝐴 “ (𝑆 ∖ {0})) ≠ ∅)
31	30	pm2.21i 119	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (◡𝐴 “ (𝑆 ∖ {0})) ≠ ∅) → (◡𝐴 “ (𝑆 ∖ {0})) = ∅)
32	19, 31	pm2.61dane 3106	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (◡𝐴 “ (𝑆 ∖ {0})) = ∅)
33	32	uneq1d 4140	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((◡𝐴 “ (𝑆 ∖ {0})) ∪ (◡𝐴 “ {0})) = (∅ ∪ (◡𝐴 “ {0})))
34		undif1 4426	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑆 ∖ {0}) ∪ {0}) = (𝑆 ∪ {0})
35	34	imaeq2i 5929	. . . . . . . . 9 ⊢ (◡𝐴 “ ((𝑆 ∖ {0}) ∪ {0})) = (◡𝐴 “ (𝑆 ∪ {0}))
36		imaundi 6010	. . . . . . . . 9 ⊢ (◡𝐴 “ ((𝑆 ∖ {0}) ∪ {0})) = ((◡𝐴 “ (𝑆 ∖ {0})) ∪ (◡𝐴 “ {0}))
37	35, 36	eqtr3i 2848	. . . . . . . 8 ⊢ (◡𝐴 “ (𝑆 ∪ {0})) = ((◡𝐴 “ (𝑆 ∖ {0})) ∪ (◡𝐴 “ {0}))
38		un0 4346	. . . . . . . . 9 ⊢ ((◡𝐴 “ {0}) ∪ ∅) = (◡𝐴 “ {0})
39		uncom 4131	. . . . . . . . 9 ⊢ ((◡𝐴 “ {0}) ∪ ∅) = (∅ ∪ (◡𝐴 “ {0}))
40	38, 39	eqtr3i 2848	. . . . . . . 8 ⊢ (◡𝐴 “ {0}) = (∅ ∪ (◡𝐴 “ {0}))
41	33, 37, 40	3eqtr4g 2883	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (◡𝐴 “ (𝑆 ∪ {0})) = (◡𝐴 “ {0}))
42	18, 41	eqtrd 2858	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → dom 𝐴 = (◡𝐴 “ {0}))
43		eqimss 4025	. . . . . 6 ⊢ (dom 𝐴 = (◡𝐴 “ {0}) → dom 𝐴 ⊆ (◡𝐴 “ {0}))
44	42, 43	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom 𝐴 ⊆ (◡𝐴 “ {0}))
45	12	ffund 6520	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐴)
46		ssid 3991	. . . . . 6 ⊢ dom 𝐴 ⊆ dom 𝐴
47		funimass3 6826	. . . . . 6 ⊢ ((Fun 𝐴 ∧ dom 𝐴 ⊆ dom 𝐴) → ((𝐴 “ dom 𝐴) ⊆ {0} ↔ dom 𝐴 ⊆ (◡𝐴 “ {0})))
48	45, 46, 47	sylancl 588	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 “ dom 𝐴) ⊆ {0} ↔ dom 𝐴 ⊆ (◡𝐴 “ {0})))
49	44, 48	mpbird 259	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 “ dom 𝐴) ⊆ {0})
50	14, 49	eqsstrrid 4018	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran 𝐴 ⊆ {0})
51		df-f 6361	. . 3 ⊢ (𝐴:ℕ0⟶{0} ↔ (𝐴 Fn ℕ0 ∧ ran 𝐴 ⊆ {0}))
52	13, 50, 51	sylanbrc 585	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴:ℕ0⟶{0})
53		c0ex 10637	. . 3 ⊢ 0 ∈ V
54	53	fconst2 6969	. 2 ⊢ (𝐴:ℕ0⟶{0} ↔ 𝐴 = (ℕ0 × {0}))
55	52, 54	sylib 220	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = (ℕ0 × {0}))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   ≠ wne 3018  Vcvv 3496   ∖ cdif 3935   ∪ cun 3936   ⊆ wss 3938  ∅c0 4293  {csn 4569   ↦ cmpt 5148   × cxp 5555  ^◡ccnv 5556  dom cdm 5557  ran crn 5558   “ cima 5560  Fun wfun 6351   Fn wfn 6352  ⟶wf 6353  ‘cfv 6357  (class class class)co 7158   ↑_m cmap 8408  supcsup 8906  ℂcc 10537  ℝcr 10538  0cc0 10539  1c1 10540   + caddc 10542   · cmul 10544   < clt 10677  ℕ₀cn0 11900  ℤ_≥cuz 12246  ...cfz 12895  ↑cexp 13432  Σcsu 15044  0_𝑝c0p 24272

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-rep 5192  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-inf2 9106  ax-cnex 10595  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615  ax-pre-mulgt0 10616  ax-pre-sup 10617  ax-addf 10618

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rmo 3148  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-int 4879  df-iun 4923  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-se 5517  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-pred 6150  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-isom 6366  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-om 7583  df-1st 7691  df-2nd 7692  df-wrecs 7949  df-recs 8010  df-rdg 8048  df-1o 8104  df-oadd 8108  df-er 8291  df-map 8410  df-pm 8411  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-fin 8515  df-sup 8908  df-inf 8909  df-oi 8976  df-card 9370  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-sub 10874  df-neg 10875  df-div 11300  df-nn 11641  df-2 11703  df-3 11704  df-n0 11901  df-z 11985  df-uz 12247  df-rp 12393  df-fz 12896  df-fzo 13037  df-fl 13165  df-seq 13373  df-exp 13433  df-hash 13694  df-cj 14460  df-re 14461  df-im 14462  df-sqrt 14596  df-abs 14597  df-clim 14847  df-rlim 14848  df-sum 15045  df-0p 24273

This theorem is referenced by:  coeeulem  24816