MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prmgapprmolem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prmgapprmolem 15700
Description: Lemma for prmgapprmo 15701: The primorial of a number plus an integer greater than 1 and less then or equal to the number are not coprime. (Contributed by AV, 15-Aug-2020.) (Revised by AV, 29-Aug-2020.)
Assertion
Ref Expression
prmgapprmolem ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) → 1 < (((#p𝑁) + 𝐼) gcd 𝐼))

Proof of Theorem prmgapprmolem
Dummy variables 𝑝 𝑞 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prmuz2 15343 . . . . 5 (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ (ℤ‘2))
21ad2antlr 762 . . . 4 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑁𝑝𝐼𝑝 ∥ ((#p𝑁) + 𝐼))) → 𝑝 ∈ (ℤ‘2))
3 breq1 4621 . . . . . 6 (𝑞 = 𝑝 → (𝑞 ∥ ((#p𝑁) + 𝐼) ↔ 𝑝 ∥ ((#p𝑁) + 𝐼)))
4 breq1 4621 . . . . . 6 (𝑞 = 𝑝 → (𝑞𝐼𝑝𝐼))
53, 4anbi12d 746 . . . . 5 (𝑞 = 𝑝 → ((𝑞 ∥ ((#p𝑁) + 𝐼) ∧ 𝑞𝐼) ↔ (𝑝 ∥ ((#p𝑁) + 𝐼) ∧ 𝑝𝐼)))
65adantl 482 . . . 4 (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑁𝑝𝐼𝑝 ∥ ((#p𝑁) + 𝐼))) ∧ 𝑞 = 𝑝) → ((𝑞 ∥ ((#p𝑁) + 𝐼) ∧ 𝑞𝐼) ↔ (𝑝 ∥ ((#p𝑁) + 𝐼) ∧ 𝑝𝐼)))
7 pm3.22 465 . . . . . 6 ((𝑝𝐼𝑝 ∥ ((#p𝑁) + 𝐼)) → (𝑝 ∥ ((#p𝑁) + 𝐼) ∧ 𝑝𝐼))
873adant1 1077 . . . . 5 ((𝑝𝑁𝑝𝐼𝑝 ∥ ((#p𝑁) + 𝐼)) → (𝑝 ∥ ((#p𝑁) + 𝐼) ∧ 𝑝𝐼))
98adantl 482 . . . 4 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑁𝑝𝐼𝑝 ∥ ((#p𝑁) + 𝐼))) → (𝑝 ∥ ((#p𝑁) + 𝐼) ∧ 𝑝𝐼))
102, 6, 9rspcedvd 3305 . . 3 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑁𝑝𝐼𝑝 ∥ ((#p𝑁) + 𝐼))) → ∃𝑞 ∈ (ℤ‘2)(𝑞 ∥ ((#p𝑁) + 𝐼) ∧ 𝑞𝐼))
11 prmdvdsprmop 15682 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑁𝑝𝐼𝑝 ∥ ((#p𝑁) + 𝐼)))
1210, 11r19.29a 3072 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) → ∃𝑞 ∈ (ℤ‘2)(𝑞 ∥ ((#p𝑁) + 𝐼) ∧ 𝑞𝐼))
13 nnnn0 11251 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
14 prmocl 15673 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → (#p𝑁) ∈ ℕ)
1513, 14syl 17 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (#p𝑁) ∈ ℕ)
16 elfzuz 12288 . . . . 5 (𝐼 ∈ (2...𝑁) → 𝐼 ∈ (ℤ‘2))
17 eluz2nn 11678 . . . . 5 (𝐼 ∈ (ℤ‘2) → 𝐼 ∈ ℕ)
1816, 17syl 17 . . . 4 (𝐼 ∈ (2...𝑁) → 𝐼 ∈ ℕ)
19 nnaddcl 10994 . . . 4 (((#p𝑁) ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ ℕ) → ((#p𝑁) + 𝐼) ∈ ℕ)
2015, 18, 19syl2an 494 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) → ((#p𝑁) + 𝐼) ∈ ℕ)
2118adantl 482 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) → 𝐼 ∈ ℕ)
22 ncoprmgcdgt1b 15299 . . 3 ((((#p𝑁) + 𝐼) ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ ℕ) → (∃𝑞 ∈ (ℤ‘2)(𝑞 ∥ ((#p𝑁) + 𝐼) ∧ 𝑞𝐼) ↔ 1 < (((#p𝑁) + 𝐼) gcd 𝐼)))
2320, 21, 22syl2anc 692 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) → (∃𝑞 ∈ (ℤ‘2)(𝑞 ∥ ((#p𝑁) + 𝐼) ∧ 𝑞𝐼) ↔ 1 < (((#p𝑁) + 𝐼) gcd 𝐼)))
2412, 23mpbid 222 1 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) → 1 < (((#p𝑁) + 𝐼) gcd 𝐼))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  wrex 2908   class class class wbr 4618  cfv 5852  (class class class)co 6610  1c1 9889   + caddc 9891   < clt 10026  cle 10027  cn 10972  2c2 11022  0cn0 11244  cuz 11639  ...cfz 12276  cdvds 14918   gcd cgcd 15151  cprime 15320  #pcprmo 15670
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-inf2 8490  ax-cnex 9944  ax-resscn 9945  ax-1cn 9946  ax-icn 9947  ax-addcl 9948  ax-addrcl 9949  ax-mulcl 9950  ax-mulrcl 9951  ax-mulcom 9952  ax-addass 9953  ax-mulass 9954  ax-distr 9955  ax-i2m1 9956  ax-1ne0 9957  ax-1rid 9958  ax-rnegex 9959  ax-rrecex 9960  ax-cnre 9961  ax-pre-lttri 9962  ax-pre-lttrn 9963  ax-pre-ltadd 9964  ax-pre-mulgt0 9965  ax-pre-sup 9966
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-se 5039  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-isom 5861  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-om 7020  df-1st 7120  df-2nd 7121  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-1o 7512  df-2o 7513  df-oadd 7516  df-er 7694  df-en 7908  df-dom 7909  df-sdom 7910  df-fin 7911  df-sup 8300  df-inf 8301  df-oi 8367  df-card 8717  df-pnf 10028  df-mnf 10029  df-xr 10030  df-ltxr 10031  df-le 10032  df-sub 10220  df-neg 10221  df-div 10637  df-nn 10973  df-2 11031  df-3 11032  df-n0 11245  df-z 11330  df-uz 11640  df-rp 11785  df-fz 12277  df-fzo 12415  df-seq 12750  df-exp 12809  df-hash 13066  df-cj 13781  df-re 13782  df-im 13783  df-sqrt 13917  df-abs 13918  df-clim 14161  df-prod 14572  df-dvds 14919  df-gcd 15152  df-prm 15321  df-prmo 15671
This theorem is referenced by:  prmgapprmo  15701
  Copyright terms: Public domain W3C validator