Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fprodsplit Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fprodsplit 14740
 Description: Split a finite product into two parts. (Contributed by Scott Fenton, 16-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
fprodsplit.1 (𝜑 → (𝐴𝐵) = ∅)
fprodsplit.2 (𝜑𝑈 = (𝐴𝐵))
fprodsplit.3 (𝜑𝑈 ∈ Fin)
fprodsplit.4 ((𝜑𝑘𝑈) → 𝐶 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
fprodsplit (𝜑 → ∏𝑘𝑈 𝐶 = (∏𝑘𝐴 𝐶 · ∏𝑘𝐵 𝐶))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝜑,𝑘   𝑈,𝑘
Allowed substitution hint:   𝐶(𝑘)

Proof of Theorem fprodsplit
StepHypRef Expression
1 iftrue 4125 . . . . 5 (𝑘𝐴 → if(𝑘𝐴, 𝐶, 1) = 𝐶)
21prodeq2i 14693 . . . 4 𝑘𝐴 if(𝑘𝐴, 𝐶, 1) = ∏𝑘𝐴 𝐶
3 ssun1 3809 . . . . . 6 𝐴 ⊆ (𝐴𝐵)
4 fprodsplit.2 . . . . . 6 (𝜑𝑈 = (𝐴𝐵))
53, 4syl5sseqr 3687 . . . . 5 (𝜑𝐴𝑈)
61adantl 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐴) → if(𝑘𝐴, 𝐶, 1) = 𝐶)
75sselda 3636 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝑘𝑈)
8 fprodsplit.4 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑈) → 𝐶 ∈ ℂ)
97, 8syldan 486 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
106, 9eqeltrd 2730 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐴) → if(𝑘𝐴, 𝐶, 1) ∈ ℂ)
11 eldifn 3766 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (𝑈𝐴) → ¬ 𝑘𝐴)
1211iffalsed 4130 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (𝑈𝐴) → if(𝑘𝐴, 𝐶, 1) = 1)
1312adantl 481 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑈𝐴)) → if(𝑘𝐴, 𝐶, 1) = 1)
14 fprodsplit.3 . . . . 5 (𝜑𝑈 ∈ Fin)
155, 10, 13, 14fprodss 14722 . . . 4 (𝜑 → ∏𝑘𝐴 if(𝑘𝐴, 𝐶, 1) = ∏𝑘𝑈 if(𝑘𝐴, 𝐶, 1))
162, 15syl5eqr 2699 . . 3 (𝜑 → ∏𝑘𝐴 𝐶 = ∏𝑘𝑈 if(𝑘𝐴, 𝐶, 1))
17 iftrue 4125 . . . . 5 (𝑘𝐵 → if(𝑘𝐵, 𝐶, 1) = 𝐶)
1817prodeq2i 14693 . . . 4 𝑘𝐵 if(𝑘𝐵, 𝐶, 1) = ∏𝑘𝐵 𝐶
19 ssun2 3810 . . . . . 6 𝐵 ⊆ (𝐴𝐵)
2019, 4syl5sseqr 3687 . . . . 5 (𝜑𝐵𝑈)
2117adantl 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐵) → if(𝑘𝐵, 𝐶, 1) = 𝐶)
2220sselda 3636 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐵) → 𝑘𝑈)
2322, 8syldan 486 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐵) → 𝐶 ∈ ℂ)
2421, 23eqeltrd 2730 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐵) → if(𝑘𝐵, 𝐶, 1) ∈ ℂ)
25 eldifn 3766 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (𝑈𝐵) → ¬ 𝑘𝐵)
2625iffalsed 4130 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (𝑈𝐵) → if(𝑘𝐵, 𝐶, 1) = 1)
2726adantl 481 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑈𝐵)) → if(𝑘𝐵, 𝐶, 1) = 1)
2820, 24, 27, 14fprodss 14722 . . . 4 (𝜑 → ∏𝑘𝐵 if(𝑘𝐵, 𝐶, 1) = ∏𝑘𝑈 if(𝑘𝐵, 𝐶, 1))
2918, 28syl5eqr 2699 . . 3 (𝜑 → ∏𝑘𝐵 𝐶 = ∏𝑘𝑈 if(𝑘𝐵, 𝐶, 1))
3016, 29oveq12d 6708 . 2 (𝜑 → (∏𝑘𝐴 𝐶 · ∏𝑘𝐵 𝐶) = (∏𝑘𝑈 if(𝑘𝐴, 𝐶, 1) · ∏𝑘𝑈 if(𝑘𝐵, 𝐶, 1)))
31 ax-1cn 10032 . . . 4 1 ∈ ℂ
32 ifcl 4163 . . . 4 ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → if(𝑘𝐴, 𝐶, 1) ∈ ℂ)
338, 31, 32sylancl 695 . . 3 ((𝜑𝑘𝑈) → if(𝑘𝐴, 𝐶, 1) ∈ ℂ)
34 ifcl 4163 . . . 4 ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → if(𝑘𝐵, 𝐶, 1) ∈ ℂ)
358, 31, 34sylancl 695 . . 3 ((𝜑𝑘𝑈) → if(𝑘𝐵, 𝐶, 1) ∈ ℂ)
3614, 33, 35fprodmul 14734 . 2 (𝜑 → ∏𝑘𝑈 (if(𝑘𝐴, 𝐶, 1) · if(𝑘𝐵, 𝐶, 1)) = (∏𝑘𝑈 if(𝑘𝐴, 𝐶, 1) · ∏𝑘𝑈 if(𝑘𝐵, 𝐶, 1)))
374eleq2d 2716 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑘𝑈𝑘 ∈ (𝐴𝐵)))
38 elun 3786 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (𝐴𝐵) ↔ (𝑘𝐴𝑘𝐵))
3937, 38syl6bb 276 . . . . 5 (𝜑 → (𝑘𝑈 ↔ (𝑘𝐴𝑘𝐵)))
4039biimpa 500 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑈) → (𝑘𝐴𝑘𝐵))
41 fprodsplit.1 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴𝐵) = ∅)
42 disjel 4056 . . . . . . . . 9 (((𝐴𝐵) = ∅ ∧ 𝑘𝐴) → ¬ 𝑘𝐵)
4341, 42sylan 487 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝐴) → ¬ 𝑘𝐵)
4443iffalsed 4130 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐴) → if(𝑘𝐵, 𝐶, 1) = 1)
456, 44oveq12d 6708 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐴) → (if(𝑘𝐴, 𝐶, 1) · if(𝑘𝐵, 𝐶, 1)) = (𝐶 · 1))
469mulid1d 10095 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝐶 · 1) = 𝐶)
4745, 46eqtrd 2685 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐴) → (if(𝑘𝐴, 𝐶, 1) · if(𝑘𝐵, 𝐶, 1)) = 𝐶)
4843ex 449 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑘𝐴 → ¬ 𝑘𝐵))
4948con2d 129 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑘𝐵 → ¬ 𝑘𝐴))
5049imp 444 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝐵) → ¬ 𝑘𝐴)
5150iffalsed 4130 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐵) → if(𝑘𝐴, 𝐶, 1) = 1)
5251, 21oveq12d 6708 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐵) → (if(𝑘𝐴, 𝐶, 1) · if(𝑘𝐵, 𝐶, 1)) = (1 · 𝐶))
5323mulid2d 10096 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐵) → (1 · 𝐶) = 𝐶)
5452, 53eqtrd 2685 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐵) → (if(𝑘𝐴, 𝐶, 1) · if(𝑘𝐵, 𝐶, 1)) = 𝐶)
5547, 54jaodan 843 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑘𝐴𝑘𝐵)) → (if(𝑘𝐴, 𝐶, 1) · if(𝑘𝐵, 𝐶, 1)) = 𝐶)
5640, 55syldan 486 . . 3 ((𝜑𝑘𝑈) → (if(𝑘𝐴, 𝐶, 1) · if(𝑘𝐵, 𝐶, 1)) = 𝐶)
5756prodeq2dv 14697 . 2 (𝜑 → ∏𝑘𝑈 (if(𝑘𝐴, 𝐶, 1) · if(𝑘𝐵, 𝐶, 1)) = ∏𝑘𝑈 𝐶)
5830, 36, 573eqtr2rd 2692 1 (𝜑 → ∏𝑘𝑈 𝐶 = (∏𝑘𝐴 𝐶 · ∏𝑘𝐵 𝐶))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∨ wo 382   ∧ wa 383   = wceq 1523   ∈ wcel 2030   ∖ cdif 3604   ∪ cun 3605   ∩ cin 3606  ∅c0 3948  ifcif 4119  (class class class)co 6690  Fincfn 7997  ℂcc 9972  1c1 9975   · cmul 9979  ∏cprod 14679 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-sup 8389  df-oi 8456  df-card 8803  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-rp 11871  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-seq 12842  df-exp 12901  df-hash 13158  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-clim 14263  df-prod 14680 This theorem is referenced by:  fprodm1  14741  fprod1p  14742  fprodeq0  14749  fprod2dlem  14754  fprodsplitf  14763  fallfacval4  14818  fprodfvdvdsd  15105  prmdvdsprmo  15793  gausslemma2dlem4  25139  gausslemma2dlem6  25142  fprodeq02  29697  prodpr  29700  prodtp  29701  prodfzo03  30809
 Copyright terms: Public domain W3C validator