MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psrbagev1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem psrbagev1 19424
Description: A bag of multipliers provides the conditions for a valid sum. (Contributed by Stefan O'Rear, 9-Mar-2015.) (Revised by AV, 18-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
psrbagev1.d 𝐷 = { ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin}
psrbagev1.c 𝐶 = (Base‘𝑇)
psrbagev1.x · = (.g𝑇)
psrbagev1.z 0 = (0g𝑇)
psrbagev1.t (𝜑𝑇 ∈ CMnd)
psrbagev1.b (𝜑𝐵𝐷)
psrbagev1.g (𝜑𝐺:𝐼𝐶)
psrbagev1.i (𝜑𝐼 ∈ V)
Assertion
Ref Expression
psrbagev1 (𝜑 → ((𝐵𝑓 · 𝐺):𝐼𝐶 ∧ (𝐵𝑓 · 𝐺) finSupp 0 ))
Distinct variable groups:   𝐵,   ,𝐼
Allowed substitution hints:   𝜑()   𝐶()   𝐷()   𝑇()   · ()   𝐺()   0 ()

Proof of Theorem psrbagev1
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 psrbagev1.t . . . . 5 (𝜑𝑇 ∈ CMnd)
2 cmnmnd 18124 . . . . 5 (𝑇 ∈ CMnd → 𝑇 ∈ Mnd)
31, 2syl 17 . . . 4 (𝜑𝑇 ∈ Mnd)
4 psrbagev1.c . . . . . 6 𝐶 = (Base‘𝑇)
5 psrbagev1.x . . . . . 6 · = (.g𝑇)
64, 5mulgnn0cl 17474 . . . . 5 ((𝑇 ∈ Mnd ∧ 𝑦 ∈ ℕ0𝑧𝐶) → (𝑦 · 𝑧) ∈ 𝐶)
763expb 1263 . . . 4 ((𝑇 ∈ Mnd ∧ (𝑦 ∈ ℕ0𝑧𝐶)) → (𝑦 · 𝑧) ∈ 𝐶)
83, 7sylan 488 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℕ0𝑧𝐶)) → (𝑦 · 𝑧) ∈ 𝐶)
9 psrbagev1.i . . . 4 (𝜑𝐼 ∈ V)
10 psrbagev1.b . . . 4 (𝜑𝐵𝐷)
11 psrbagev1.d . . . . 5 𝐷 = { ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin}
1211psrbagf 19279 . . . 4 ((𝐼 ∈ V ∧ 𝐵𝐷) → 𝐵:𝐼⟶ℕ0)
139, 10, 12syl2anc 692 . . 3 (𝜑𝐵:𝐼⟶ℕ0)
14 psrbagev1.g . . 3 (𝜑𝐺:𝐼𝐶)
15 inidm 3805 . . 3 (𝐼𝐼) = 𝐼
168, 13, 14, 9, 9, 15off 6866 . 2 (𝜑 → (𝐵𝑓 · 𝐺):𝐼𝐶)
17 ovex 6633 . . . 4 (𝐵𝑓 · 𝐺) ∈ V
1817a1i 11 . . 3 (𝜑 → (𝐵𝑓 · 𝐺) ∈ V)
19 ffn 6004 . . . . . 6 (𝐵:𝐼⟶ℕ0𝐵 Fn 𝐼)
2013, 19syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐵 Fn 𝐼)
21 ffn 6004 . . . . . 6 (𝐺:𝐼𝐶𝐺 Fn 𝐼)
2214, 21syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐺 Fn 𝐼)
2320, 22, 9, 9, 15offn 6862 . . . 4 (𝜑 → (𝐵𝑓 · 𝐺) Fn 𝐼)
24 fnfun 5948 . . . 4 ((𝐵𝑓 · 𝐺) Fn 𝐼 → Fun (𝐵𝑓 · 𝐺))
2523, 24syl 17 . . 3 (𝜑 → Fun (𝐵𝑓 · 𝐺))
26 psrbagev1.z . . . . 5 0 = (0g𝑇)
27 fvex 6160 . . . . 5 (0g𝑇) ∈ V
2826, 27eqeltri 2700 . . . 4 0 ∈ V
2928a1i 11 . . 3 (𝜑0 ∈ V)
3011psrbagfsupp 19423 . . . . 5 ((𝐵𝐷𝐼 ∈ V) → 𝐵 finSupp 0)
3110, 9, 30syl2anc 692 . . . 4 (𝜑𝐵 finSupp 0)
3231fsuppimpd 8227 . . 3 (𝜑 → (𝐵 supp 0) ∈ Fin)
33 ssid 3608 . . . . 5 (𝐵 supp 0) ⊆ (𝐵 supp 0)
3433a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (𝐵 supp 0) ⊆ (𝐵 supp 0))
354, 26, 5mulg0 17462 . . . . 5 (𝑧𝐶 → (0 · 𝑧) = 0 )
3635adantl 482 . . . 4 ((𝜑𝑧𝐶) → (0 · 𝑧) = 0 )
37 c0ex 9979 . . . . 5 0 ∈ V
3837a1i 11 . . . 4 (𝜑 → 0 ∈ V)
3934, 36, 13, 14, 9, 38suppssof1 7274 . . 3 (𝜑 → ((𝐵𝑓 · 𝐺) supp 0 ) ⊆ (𝐵 supp 0))
40 suppssfifsupp 8235 . . 3 ((((𝐵𝑓 · 𝐺) ∈ V ∧ Fun (𝐵𝑓 · 𝐺) ∧ 0 ∈ V) ∧ ((𝐵 supp 0) ∈ Fin ∧ ((𝐵𝑓 · 𝐺) supp 0 ) ⊆ (𝐵 supp 0))) → (𝐵𝑓 · 𝐺) finSupp 0 )
4118, 25, 29, 32, 39, 40syl32anc 1331 . 2 (𝜑 → (𝐵𝑓 · 𝐺) finSupp 0 )
4216, 41jca 554 1 (𝜑 → ((𝐵𝑓 · 𝐺):𝐼𝐶 ∧ (𝐵𝑓 · 𝐺) finSupp 0 ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wcel 1992  {crab 2916  Vcvv 3191  wss 3560   class class class wbr 4618  ccnv 5078  cima 5082  Fun wfun 5844   Fn wfn 5845  wf 5846  cfv 5850  (class class class)co 6605  𝑓 cof 6849   supp csupp 7241  𝑚 cmap 7803  Fincfn 7900   finSupp cfsupp 8220  0cc0 9881  cn 10965  0cn0 11237  Basecbs 15776  0gc0g 16016  Mndcmnd 17210  .gcmg 17456  CMndccmn 18109
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-inf2 8483  ax-cnex 9937  ax-resscn 9938  ax-1cn 9939  ax-icn 9940  ax-addcl 9941  ax-addrcl 9942  ax-mulcl 9943  ax-mulrcl 9944  ax-mulcom 9945  ax-addass 9946  ax-mulass 9947  ax-distr 9948  ax-i2m1 9949  ax-1ne0 9950  ax-1rid 9951  ax-rnegex 9952  ax-rrecex 9953  ax-cnre 9954  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956  ax-pre-ltadd 9957  ax-pre-mulgt0 9958
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5642  df-ord 5688  df-on 5689  df-lim 5690  df-suc 5691  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-riota 6566  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-of 6851  df-om 7014  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-supp 7242  df-wrecs 7353  df-recs 7414  df-rdg 7452  df-er 7688  df-map 7805  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-fin 7904  df-fsupp 8221  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-xr 10023  df-ltxr 10024  df-le 10025  df-sub 10213  df-neg 10214  df-nn 10966  df-n0 11238  df-z 11323  df-uz 11632  df-fz 12266  df-seq 12739  df-0g 16018  df-mgm 17158  df-sgrp 17200  df-mnd 17211  df-mulg 17457  df-cmn 18111
This theorem is referenced by:  psrbagev2  19425  evlslem1  19429
  Copyright terms: Public domain W3C validator