Theorem psrbagev1 19424

Description: A bag of multipliers provides the conditions for a valid sum. (Contributed by Stefan O'Rear, 9-Mar-2015.) (Revised by AV, 18-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
psrbagev1.d	⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
psrbagev1.c	⊢ 𝐶 = (Base‘𝑇)
psrbagev1.x	⊢ · = (.g‘𝑇)
psrbagev1.z	⊢ 0 = (0g‘𝑇)
psrbagev1.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ CMnd)
psrbagev1.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐷)
psrbagev1.g	⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐼⟶𝐶)
psrbagev1.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ V)

Assertion

Ref	Expression
psrbagev1	⊢ (𝜑 → ((𝐵 ∘𝑓 · 𝐺):𝐼⟶𝐶 ∧ (𝐵 ∘𝑓 · 𝐺) finSupp 0 ))

Distinct variable groups:   𝐵,ℎ   ℎ,𝐼

Allowed substitution hints:   𝜑(ℎ)   𝐶(ℎ)   𝐷(ℎ)   𝑇(ℎ)   · (ℎ)   𝐺(ℎ)   0 (ℎ)

Proof of Theorem psrbagev1

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psrbagev1.t	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ CMnd)
2		cmnmnd 18124	. . . . 5 ⊢ (𝑇 ∈ CMnd → 𝑇 ∈ Mnd)
3	1, 2	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ Mnd)
4		psrbagev1.c	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 = (Base‘𝑇)
5		psrbagev1.x	. . . . . 6 ⊢ · = (.g‘𝑇)
6	4, 5	mulgnn0cl 17474	. . . . 5 ⊢ ((𝑇 ∈ Mnd ∧ 𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶) → (𝑦 · 𝑧) ∈ 𝐶)
7	6	3expb 1263	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ Mnd ∧ (𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶)) → (𝑦 · 𝑧) ∈ 𝐶)
8	3, 7	sylan 488	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶)) → (𝑦 · 𝑧) ∈ 𝐶)
9		psrbagev1.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ V)
10		psrbagev1.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐷)
11		psrbagev1.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
12	11	psrbagf 19279	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → 𝐵:𝐼⟶ℕ0)
13	9, 10, 12	syl2anc 692	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵:𝐼⟶ℕ0)
14		psrbagev1.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐼⟶𝐶)
15		inidm 3805	. . 3 ⊢ (𝐼 ∩ 𝐼) = 𝐼
16	8, 13, 14, 9, 9, 15	off 6866	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∘𝑓 · 𝐺):𝐼⟶𝐶)
17		ovex 6633	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∘𝑓 · 𝐺) ∈ V
18	17	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∘𝑓 · 𝐺) ∈ V)
19		ffn 6004	. . . . . 6 ⊢ (𝐵:𝐼⟶ℕ0 → 𝐵 Fn 𝐼)
20	13, 19	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 Fn 𝐼)
21		ffn 6004	. . . . . 6 ⊢ (𝐺:𝐼⟶𝐶 → 𝐺 Fn 𝐼)
22	14, 21	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 Fn 𝐼)
23	20, 22, 9, 9, 15	offn 6862	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∘𝑓 · 𝐺) Fn 𝐼)
24		fnfun 5948	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∘𝑓 · 𝐺) Fn 𝐼 → Fun (𝐵 ∘𝑓 · 𝐺))
25	23, 24	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → Fun (𝐵 ∘𝑓 · 𝐺))
26		psrbagev1.z	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑇)
27		fvex 6160	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝑇) ∈ V
28	26, 27	eqeltri 2700	. . . 4 ⊢ 0 ∈ V
29	28	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ V)
30	11	psrbagfsupp 19423	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐼 ∈ V) → 𝐵 finSupp 0)
31	10, 9, 30	syl2anc 692	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 finSupp 0)
32	31	fsuppimpd 8227	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 supp 0) ∈ Fin)
33		ssid 3608	. . . . 5 ⊢ (𝐵 supp 0) ⊆ (𝐵 supp 0)
34	33	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 supp 0) ⊆ (𝐵 supp 0))
35	4, 26, 5	mulg0 17462	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐶 → (0 · 𝑧) = 0 )
36	35	adantl 482	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶) → (0 · 𝑧) = 0 )
37		c0ex 9979	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ V
38	37	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ V)
39	34, 36, 13, 14, 9, 38	suppssof1 7274	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 ∘𝑓 · 𝐺) supp 0 ) ⊆ (𝐵 supp 0))
40		suppssfifsupp 8235	. . 3 ⊢ ((((𝐵 ∘𝑓 · 𝐺) ∈ V ∧ Fun (𝐵 ∘𝑓 · 𝐺) ∧ 0 ∈ V) ∧ ((𝐵 supp 0) ∈ Fin ∧ ((𝐵 ∘𝑓 · 𝐺) supp 0 ) ⊆ (𝐵 supp 0))) → (𝐵 ∘𝑓 · 𝐺) finSupp 0 )
41	18, 25, 29, 32, 39, 40	syl32anc 1331	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∘𝑓 · 𝐺) finSupp 0 )
42	16, 41	jca 554	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 ∘𝑓 · 𝐺):𝐼⟶𝐶 ∧ (𝐵 ∘𝑓 · 𝐺) finSupp 0 ))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1480   ∈ wcel 1992  {crab 2916  Vcvv 3191   ⊆ wss 3560   class class class wbr 4618  ^◡ccnv 5078   “ cima 5082  Fun wfun 5844   Fn wfn 5845  ⟶wf 5846  ‘cfv 5850  (class class class)co 6605   ∘_𝑓 cof 6849   supp csupp 7241   ↑_𝑚 cmap 7803  Fincfn 7900   finSupp cfsupp 8220  0cc0 9881  ℕcn 10965  ℕ₀cn0 11237  Basecbs 15776  0_gc0g 16016  Mndcmnd 17210  ._gcmg 17456  CMndccmn 18109

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-inf2 8483  ax-cnex 9937  ax-resscn 9938  ax-1cn 9939  ax-icn 9940  ax-addcl 9941  ax-addrcl 9942  ax-mulcl 9943  ax-mulrcl 9944  ax-mulcom 9945  ax-addass 9946  ax-mulass 9947  ax-distr 9948  ax-i2m1 9949  ax-1ne0 9950  ax-1rid 9951  ax-rnegex 9952  ax-rrecex 9953  ax-cnre 9954  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956  ax-pre-ltadd 9957  ax-pre-mulgt0 9958

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5642  df-ord 5688  df-on 5689  df-lim 5690  df-suc 5691  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-riota 6566  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-of 6851  df-om 7014  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-supp 7242  df-wrecs 7353  df-recs 7414  df-rdg 7452  df-er 7688  df-map 7805  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-fin 7904  df-fsupp 8221  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-xr 10023  df-ltxr 10024  df-le 10025  df-sub 10213  df-neg 10214  df-nn 10966  df-n0 11238  df-z 11323  df-uz 11632  df-fz 12266  df-seq 12739  df-0g 16018  df-mgm 17158  df-sgrp 17200  df-mnd 17211  df-mulg 17457  df-cmn 18111

This theorem is referenced by:  psrbagev2  19425  evlslem1  19429