Theorem psrbagev1 20290

Description: A bag of multipliers provides the conditions for a valid sum. (Contributed by Stefan O'Rear, 9-Mar-2015.) (Revised by AV, 18-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
psrbagev1.d	⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
psrbagev1.c	⊢ 𝐶 = (Base‘𝑇)
psrbagev1.x	⊢ · = (.g‘𝑇)
psrbagev1.z	⊢ 0 = (0g‘𝑇)
psrbagev1.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ CMnd)
psrbagev1.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐷)
psrbagev1.g	⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐼⟶𝐶)
psrbagev1.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ V)

Assertion

Ref	Expression
psrbagev1	⊢ (𝜑 → ((𝐵 ∘f · 𝐺):𝐼⟶𝐶 ∧ (𝐵 ∘f · 𝐺) finSupp 0 ))

Distinct variable groups:   𝐵,ℎ   ℎ,𝐼

Allowed substitution hints:   𝜑(ℎ)   𝐶(ℎ)   𝐷(ℎ)   𝑇(ℎ)   · (ℎ)   𝐺(ℎ)   0 (ℎ)

Proof of Theorem psrbagev1

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psrbagev1.t	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ CMnd)
2		cmnmnd 18922	. . . . 5 ⊢ (𝑇 ∈ CMnd → 𝑇 ∈ Mnd)
3	1, 2	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ Mnd)
4		psrbagev1.c	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 = (Base‘𝑇)
5		psrbagev1.x	. . . . . 6 ⊢ · = (.g‘𝑇)
6	4, 5	mulgnn0cl 18244	. . . . 5 ⊢ ((𝑇 ∈ Mnd ∧ 𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶) → (𝑦 · 𝑧) ∈ 𝐶)
7	6	3expb 1116	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ Mnd ∧ (𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶)) → (𝑦 · 𝑧) ∈ 𝐶)
8	3, 7	sylan 582	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶)) → (𝑦 · 𝑧) ∈ 𝐶)
9		psrbagev1.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ V)
10		psrbagev1.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐷)
11		psrbagev1.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
12	11	psrbagf 20145	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → 𝐵:𝐼⟶ℕ0)
13	9, 10, 12	syl2anc 586	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵:𝐼⟶ℕ0)
14		psrbagev1.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐼⟶𝐶)
15		inidm 4195	. . 3 ⊢ (𝐼 ∩ 𝐼) = 𝐼
16	8, 13, 14, 9, 9, 15	off 7424	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∘f · 𝐺):𝐼⟶𝐶)
17		ovexd 7191	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∘f · 𝐺) ∈ V)
18	13	ffnd 6515	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 Fn 𝐼)
19	14	ffnd 6515	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 Fn 𝐼)
20	18, 19, 9, 9, 15	offn 7420	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∘f · 𝐺) Fn 𝐼)
21		fnfun 6453	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∘f · 𝐺) Fn 𝐼 → Fun (𝐵 ∘f · 𝐺))
22	20, 21	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → Fun (𝐵 ∘f · 𝐺))
23		psrbagev1.z	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑇)
24	23	fvexi 6684	. . . 4 ⊢ 0 ∈ V
25	24	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ V)
26	11	psrbagfsupp 20289	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐼 ∈ V) → 𝐵 finSupp 0)
27	10, 9, 26	syl2anc 586	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 finSupp 0)
28	27	fsuppimpd 8840	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 supp 0) ∈ Fin)
29		ssidd 3990	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 supp 0) ⊆ (𝐵 supp 0))
30	4, 23, 5	mulg0 18231	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐶 → (0 · 𝑧) = 0 )
31	30	adantl 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶) → (0 · 𝑧) = 0 )
32		c0ex 10635	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ V
33	32	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ V)
34	29, 31, 13, 14, 9, 33	suppssof1 7863	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 ∘f · 𝐺) supp 0 ) ⊆ (𝐵 supp 0))
35		suppssfifsupp 8848	. . 3 ⊢ ((((𝐵 ∘f · 𝐺) ∈ V ∧ Fun (𝐵 ∘f · 𝐺) ∧ 0 ∈ V) ∧ ((𝐵 supp 0) ∈ Fin ∧ ((𝐵 ∘f · 𝐺) supp 0 ) ⊆ (𝐵 supp 0))) → (𝐵 ∘f · 𝐺) finSupp 0 )
36	17, 22, 25, 28, 34, 35	syl32anc 1374	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∘f · 𝐺) finSupp 0 )
37	16, 36	jca 514	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 ∘f · 𝐺):𝐼⟶𝐶 ∧ (𝐵 ∘f · 𝐺) finSupp 0 ))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  {crab 3142  Vcvv 3494   ⊆ wss 3936   class class class wbr 5066  ^◡ccnv 5554   “ cima 5558  Fun wfun 6349   Fn wfn 6350  ⟶wf 6351  ‘cfv 6355  (class class class)co 7156   ∘_f cof 7407   supp csupp 7830   ↑_m cmap 8406  Fincfn 8509   finSupp cfsupp 8833  0cc0 10537  ℕcn 11638  ℕ₀cn0 11898  Basecbs 16483  0_gc0g 16713  Mndcmnd 17911  ._gcmg 18224  CMndccmn 18906

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-rep 5190  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-iun 4921  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-pred 6148  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-of 7409  df-om 7581  df-1st 7689  df-2nd 7690  df-supp 7831  df-wrecs 7947  df-recs 8008  df-rdg 8046  df-er 8289  df-map 8408  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-fin 8513  df-fsupp 8834  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-nn 11639  df-n0 11899  df-z 11983  df-uz 12245  df-fz 12894  df-seq 13371  df-0g 16715  df-mgm 17852  df-sgrp 17901  df-mnd 17912  df-mulg 18225  df-cmn 18908

This theorem is referenced by:  psrbagev2  20291  evlslem1  20295