Theorem psrbagev1 19601

Description: A bag of multipliers provides the conditions for a valid sum. (Contributed by Stefan O'Rear, 9-Mar-2015.) (Revised by AV, 18-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
psrbagev1.d	⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
psrbagev1.c	⊢ 𝐶 = (Base‘𝑇)
psrbagev1.x	⊢ · = (.g‘𝑇)
psrbagev1.z	⊢ 0 = (0g‘𝑇)
psrbagev1.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ CMnd)
psrbagev1.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐷)
psrbagev1.g	⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐼⟶𝐶)
psrbagev1.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ V)

Assertion

Ref	Expression
psrbagev1	⊢ (𝜑 → ((𝐵 ∘𝑓 · 𝐺):𝐼⟶𝐶 ∧ (𝐵 ∘𝑓 · 𝐺) finSupp 0 ))

Distinct variable groups:   𝐵,ℎ   ℎ,𝐼

Allowed substitution hints:   𝜑(ℎ)   𝐶(ℎ)   𝐷(ℎ)   𝑇(ℎ)   · (ℎ)   𝐺(ℎ)   0 (ℎ)

Proof of Theorem psrbagev1

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psrbagev1.t	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ CMnd)
2		cmnmnd 18297	. . . . 5 ⊢ (𝑇 ∈ CMnd → 𝑇 ∈ Mnd)
3	1, 2	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ Mnd)
4		psrbagev1.c	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 = (Base‘𝑇)
5		psrbagev1.x	. . . . . 6 ⊢ · = (.g‘𝑇)
6	4, 5	mulgnn0cl 17648	. . . . 5 ⊢ ((𝑇 ∈ Mnd ∧ 𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶) → (𝑦 · 𝑧) ∈ 𝐶)
7	6	3expb 1113	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ Mnd ∧ (𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶)) → (𝑦 · 𝑧) ∈ 𝐶)
8	3, 7	sylan 489	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶)) → (𝑦 · 𝑧) ∈ 𝐶)
9		psrbagev1.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ V)
10		psrbagev1.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐷)
11		psrbagev1.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
12	11	psrbagf 19456	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → 𝐵:𝐼⟶ℕ0)
13	9, 10, 12	syl2anc 696	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵:𝐼⟶ℕ0)
14		psrbagev1.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐼⟶𝐶)
15		inidm 3898	. . 3 ⊢ (𝐼 ∩ 𝐼) = 𝐼
16	8, 13, 14, 9, 9, 15	off 6997	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∘𝑓 · 𝐺):𝐼⟶𝐶)
17		ovexd 6763	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∘𝑓 · 𝐺) ∈ V)
18		ffn 6126	. . . . . 6 ⊢ (𝐵:𝐼⟶ℕ0 → 𝐵 Fn 𝐼)
19	13, 18	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 Fn 𝐼)
20		ffn 6126	. . . . . 6 ⊢ (𝐺:𝐼⟶𝐶 → 𝐺 Fn 𝐼)
21	14, 20	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 Fn 𝐼)
22	19, 21, 9, 9, 15	offn 6993	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∘𝑓 · 𝐺) Fn 𝐼)
23		fnfun 6069	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∘𝑓 · 𝐺) Fn 𝐼 → Fun (𝐵 ∘𝑓 · 𝐺))
24	22, 23	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → Fun (𝐵 ∘𝑓 · 𝐺))
25		psrbagev1.z	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑇)
26		fvex 6282	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝑇) ∈ V
27	25, 26	eqeltri 2767	. . . 4 ⊢ 0 ∈ V
28	27	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ V)
29	11	psrbagfsupp 19600	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐼 ∈ V) → 𝐵 finSupp 0)
30	10, 9, 29	syl2anc 696	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 finSupp 0)
31	30	fsuppimpd 8366	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 supp 0) ∈ Fin)
32		ssid 3698	. . . . 5 ⊢ (𝐵 supp 0) ⊆ (𝐵 supp 0)
33	32	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 supp 0) ⊆ (𝐵 supp 0))
34	4, 25, 5	mulg0 17636	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐶 → (0 · 𝑧) = 0 )
35	34	adantl 473	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶) → (0 · 𝑧) = 0 )
36		c0ex 10115	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ V
37	36	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ V)
38	33, 35, 13, 14, 9, 37	suppssof1 7416	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 ∘𝑓 · 𝐺) supp 0 ) ⊆ (𝐵 supp 0))
39		suppssfifsupp 8374	. . 3 ⊢ ((((𝐵 ∘𝑓 · 𝐺) ∈ V ∧ Fun (𝐵 ∘𝑓 · 𝐺) ∧ 0 ∈ V) ∧ ((𝐵 supp 0) ∈ Fin ∧ ((𝐵 ∘𝑓 · 𝐺) supp 0 ) ⊆ (𝐵 supp 0))) → (𝐵 ∘𝑓 · 𝐺) finSupp 0 )
40	17, 24, 28, 31, 38, 39	syl32anc 1415	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∘𝑓 · 𝐺) finSupp 0 )
41	16, 40	jca 555	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 ∘𝑓 · 𝐺):𝐼⟶𝐶 ∧ (𝐵 ∘𝑓 · 𝐺) finSupp 0 ))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1564   ∈ wcel 2071  {crab 2986  Vcvv 3272   ⊆ wss 3648   class class class wbr 4728  ^◡ccnv 5185   “ cima 5189  Fun wfun 5963   Fn wfn 5964  ⟶wf 5965  ‘cfv 5969  (class class class)co 6733   ∘_𝑓 cof 6980   supp csupp 7383   ↑_𝑚 cmap 7942  Fincfn 8040   finSupp cfsupp 8359  0cc0 10017  ℕcn 11101  ℕ₀cn0 11373  Basecbs 15948  0_gc0g 16191  Mndcmnd 17384  ._gcmg 17630  CMndccmn 18282

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1818  ax-5 1920  ax-6 1986  ax-7 2022  ax-8 2073  ax-9 2080  ax-10 2100  ax-11 2115  ax-12 2128  ax-13 2323  ax-ext 2672  ax-rep 4847  ax-sep 4857  ax-nul 4865  ax-pow 4916  ax-pr 4979  ax-un 7034  ax-inf2 8619  ax-cnex 10073  ax-resscn 10074  ax-1cn 10075  ax-icn 10076  ax-addcl 10077  ax-addrcl 10078  ax-mulcl 10079  ax-mulrcl 10080  ax-mulcom 10081  ax-addass 10082  ax-mulass 10083  ax-distr 10084  ax-i2m1 10085  ax-1ne0 10086  ax-1rid 10087  ax-rnegex 10088  ax-rrecex 10089  ax-cnre 10090  ax-pre-lttri 10091  ax-pre-lttrn 10092  ax-pre-ltadd 10093  ax-pre-mulgt0 10094

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1567  df-ex 1786  df-nf 1791  df-sb 1979  df-eu 2543  df-mo 2544  df-clab 2679  df-cleq 2685  df-clel 2688  df-nfc 2823  df-ne 2865  df-nel 2968  df-ral 2987  df-rex 2988  df-reu 2989  df-rmo 2990  df-rab 2991  df-v 3274  df-sbc 3510  df-csb 3608  df-dif 3651  df-un 3653  df-in 3655  df-ss 3662  df-pss 3664  df-nul 3992  df-if 4163  df-pw 4236  df-sn 4254  df-pr 4256  df-tp 4258  df-op 4260  df-uni 4513  df-iun 4598  df-br 4729  df-opab 4789  df-mpt 4806  df-tr 4829  df-id 5096  df-eprel 5101  df-po 5107  df-so 5108  df-fr 5145  df-we 5147  df-xp 5192  df-rel 5193  df-cnv 5194  df-co 5195  df-dm 5196  df-rn 5197  df-res 5198  df-ima 5199  df-pred 5761  df-ord 5807  df-on 5808  df-lim 5809  df-suc 5810  df-iota 5932  df-fun 5971  df-fn 5972  df-f 5973  df-f1 5974  df-fo 5975  df-f1o 5976  df-fv 5977  df-riota 6694  df-ov 6736  df-oprab 6737  df-mpt2 6738  df-of 6982  df-om 7151  df-1st 7253  df-2nd 7254  df-supp 7384  df-wrecs 7495  df-recs 7556  df-rdg 7594  df-er 7830  df-map 7944  df-en 8041  df-dom 8042  df-sdom 8043  df-fin 8044  df-fsupp 8360  df-pnf 10157  df-mnf 10158  df-xr 10159  df-ltxr 10160  df-le 10161  df-sub 10349  df-neg 10350  df-nn 11102  df-n0 11374  df-z 11459  df-uz 11769  df-fz 12409  df-seq 12885  df-0g 16193  df-mgm 17332  df-sgrp 17374  df-mnd 17385  df-mulg 17631  df-cmn 18284

This theorem is referenced by:  psrbagev2  19602  evlslem1  19606