MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psrbagev1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem psrbagev1 19601
Description: A bag of multipliers provides the conditions for a valid sum. (Contributed by Stefan O'Rear, 9-Mar-2015.) (Revised by AV, 18-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
psrbagev1.d 𝐷 = { ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin}
psrbagev1.c 𝐶 = (Base‘𝑇)
psrbagev1.x · = (.g𝑇)
psrbagev1.z 0 = (0g𝑇)
psrbagev1.t (𝜑𝑇 ∈ CMnd)
psrbagev1.b (𝜑𝐵𝐷)
psrbagev1.g (𝜑𝐺:𝐼𝐶)
psrbagev1.i (𝜑𝐼 ∈ V)
Assertion
Ref Expression
psrbagev1 (𝜑 → ((𝐵𝑓 · 𝐺):𝐼𝐶 ∧ (𝐵𝑓 · 𝐺) finSupp 0 ))
Distinct variable groups:   𝐵,   ,𝐼
Allowed substitution hints:   𝜑()   𝐶()   𝐷()   𝑇()   · ()   𝐺()   0 ()

Proof of Theorem psrbagev1
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 psrbagev1.t . . . . 5 (𝜑𝑇 ∈ CMnd)
2 cmnmnd 18297 . . . . 5 (𝑇 ∈ CMnd → 𝑇 ∈ Mnd)
31, 2syl 17 . . . 4 (𝜑𝑇 ∈ Mnd)
4 psrbagev1.c . . . . . 6 𝐶 = (Base‘𝑇)
5 psrbagev1.x . . . . . 6 · = (.g𝑇)
64, 5mulgnn0cl 17648 . . . . 5 ((𝑇 ∈ Mnd ∧ 𝑦 ∈ ℕ0𝑧𝐶) → (𝑦 · 𝑧) ∈ 𝐶)
763expb 1113 . . . 4 ((𝑇 ∈ Mnd ∧ (𝑦 ∈ ℕ0𝑧𝐶)) → (𝑦 · 𝑧) ∈ 𝐶)
83, 7sylan 489 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℕ0𝑧𝐶)) → (𝑦 · 𝑧) ∈ 𝐶)
9 psrbagev1.i . . . 4 (𝜑𝐼 ∈ V)
10 psrbagev1.b . . . 4 (𝜑𝐵𝐷)
11 psrbagev1.d . . . . 5 𝐷 = { ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin}
1211psrbagf 19456 . . . 4 ((𝐼 ∈ V ∧ 𝐵𝐷) → 𝐵:𝐼⟶ℕ0)
139, 10, 12syl2anc 696 . . 3 (𝜑𝐵:𝐼⟶ℕ0)
14 psrbagev1.g . . 3 (𝜑𝐺:𝐼𝐶)
15 inidm 3898 . . 3 (𝐼𝐼) = 𝐼
168, 13, 14, 9, 9, 15off 6997 . 2 (𝜑 → (𝐵𝑓 · 𝐺):𝐼𝐶)
17 ovexd 6763 . . 3 (𝜑 → (𝐵𝑓 · 𝐺) ∈ V)
18 ffn 6126 . . . . . 6 (𝐵:𝐼⟶ℕ0𝐵 Fn 𝐼)
1913, 18syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐵 Fn 𝐼)
20 ffn 6126 . . . . . 6 (𝐺:𝐼𝐶𝐺 Fn 𝐼)
2114, 20syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐺 Fn 𝐼)
2219, 21, 9, 9, 15offn 6993 . . . 4 (𝜑 → (𝐵𝑓 · 𝐺) Fn 𝐼)
23 fnfun 6069 . . . 4 ((𝐵𝑓 · 𝐺) Fn 𝐼 → Fun (𝐵𝑓 · 𝐺))
2422, 23syl 17 . . 3 (𝜑 → Fun (𝐵𝑓 · 𝐺))
25 psrbagev1.z . . . . 5 0 = (0g𝑇)
26 fvex 6282 . . . . 5 (0g𝑇) ∈ V
2725, 26eqeltri 2767 . . . 4 0 ∈ V
2827a1i 11 . . 3 (𝜑0 ∈ V)
2911psrbagfsupp 19600 . . . . 5 ((𝐵𝐷𝐼 ∈ V) → 𝐵 finSupp 0)
3010, 9, 29syl2anc 696 . . . 4 (𝜑𝐵 finSupp 0)
3130fsuppimpd 8366 . . 3 (𝜑 → (𝐵 supp 0) ∈ Fin)
32 ssid 3698 . . . . 5 (𝐵 supp 0) ⊆ (𝐵 supp 0)
3332a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (𝐵 supp 0) ⊆ (𝐵 supp 0))
344, 25, 5mulg0 17636 . . . . 5 (𝑧𝐶 → (0 · 𝑧) = 0 )
3534adantl 473 . . . 4 ((𝜑𝑧𝐶) → (0 · 𝑧) = 0 )
36 c0ex 10115 . . . . 5 0 ∈ V
3736a1i 11 . . . 4 (𝜑 → 0 ∈ V)
3833, 35, 13, 14, 9, 37suppssof1 7416 . . 3 (𝜑 → ((𝐵𝑓 · 𝐺) supp 0 ) ⊆ (𝐵 supp 0))
39 suppssfifsupp 8374 . . 3 ((((𝐵𝑓 · 𝐺) ∈ V ∧ Fun (𝐵𝑓 · 𝐺) ∧ 0 ∈ V) ∧ ((𝐵 supp 0) ∈ Fin ∧ ((𝐵𝑓 · 𝐺) supp 0 ) ⊆ (𝐵 supp 0))) → (𝐵𝑓 · 𝐺) finSupp 0 )
4017, 24, 28, 31, 38, 39syl32anc 1415 . 2 (𝜑 → (𝐵𝑓 · 𝐺) finSupp 0 )
4116, 40jca 555 1 (𝜑 → ((𝐵𝑓 · 𝐺):𝐼𝐶 ∧ (𝐵𝑓 · 𝐺) finSupp 0 ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1564  wcel 2071  {crab 2986  Vcvv 3272  wss 3648   class class class wbr 4728  ccnv 5185  cima 5189  Fun wfun 5963   Fn wfn 5964  wf 5965  cfv 5969  (class class class)co 6733  𝑓 cof 6980   supp csupp 7383  𝑚 cmap 7942  Fincfn 8040   finSupp cfsupp 8359  0cc0 10017  cn 11101  0cn0 11373  Basecbs 15948  0gc0g 16191  Mndcmnd 17384  .gcmg 17630  CMndccmn 18282
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1818  ax-5 1920  ax-6 1986  ax-7 2022  ax-8 2073  ax-9 2080  ax-10 2100  ax-11 2115  ax-12 2128  ax-13 2323  ax-ext 2672  ax-rep 4847  ax-sep 4857  ax-nul 4865  ax-pow 4916  ax-pr 4979  ax-un 7034  ax-inf2 8619  ax-cnex 10073  ax-resscn 10074  ax-1cn 10075  ax-icn 10076  ax-addcl 10077  ax-addrcl 10078  ax-mulcl 10079  ax-mulrcl 10080  ax-mulcom 10081  ax-addass 10082  ax-mulass 10083  ax-distr 10084  ax-i2m1 10085  ax-1ne0 10086  ax-1rid 10087  ax-rnegex 10088  ax-rrecex 10089  ax-cnre 10090  ax-pre-lttri 10091  ax-pre-lttrn 10092  ax-pre-ltadd 10093  ax-pre-mulgt0 10094
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1567  df-ex 1786  df-nf 1791  df-sb 1979  df-eu 2543  df-mo 2544  df-clab 2679  df-cleq 2685  df-clel 2688  df-nfc 2823  df-ne 2865  df-nel 2968  df-ral 2987  df-rex 2988  df-reu 2989  df-rmo 2990  df-rab 2991  df-v 3274  df-sbc 3510  df-csb 3608  df-dif 3651  df-un 3653  df-in 3655  df-ss 3662  df-pss 3664  df-nul 3992  df-if 4163  df-pw 4236  df-sn 4254  df-pr 4256  df-tp 4258  df-op 4260  df-uni 4513  df-iun 4598  df-br 4729  df-opab 4789  df-mpt 4806  df-tr 4829  df-id 5096  df-eprel 5101  df-po 5107  df-so 5108  df-fr 5145  df-we 5147  df-xp 5192  df-rel 5193  df-cnv 5194  df-co 5195  df-dm 5196  df-rn 5197  df-res 5198  df-ima 5199  df-pred 5761  df-ord 5807  df-on 5808  df-lim 5809  df-suc 5810  df-iota 5932  df-fun 5971  df-fn 5972  df-f 5973  df-f1 5974  df-fo 5975  df-f1o 5976  df-fv 5977  df-riota 6694  df-ov 6736  df-oprab 6737  df-mpt2 6738  df-of 6982  df-om 7151  df-1st 7253  df-2nd 7254  df-supp 7384  df-wrecs 7495  df-recs 7556  df-rdg 7594  df-er 7830  df-map 7944  df-en 8041  df-dom 8042  df-sdom 8043  df-fin 8044  df-fsupp 8360  df-pnf 10157  df-mnf 10158  df-xr 10159  df-ltxr 10160  df-le 10161  df-sub 10349  df-neg 10350  df-nn 11102  df-n0 11374  df-z 11459  df-uz 11769  df-fz 12409  df-seq 12885  df-0g 16193  df-mgm 17332  df-sgrp 17374  df-mnd 17385  df-mulg 17631  df-cmn 18284
This theorem is referenced by:  psrbagev2  19602  evlslem1  19606
  Copyright terms: Public domain W3C validator