MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pwsbas Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pwsbas 16071
Description: Base set of a structure power. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pwsbas.y 𝑌 = (𝑅s 𝐼)
pwsbas.f 𝐵 = (Base‘𝑅)
Assertion
Ref Expression
pwsbas ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → (𝐵𝑚 𝐼) = (Base‘𝑌))

Proof of Theorem pwsbas
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pwsbas.y . . . 4 𝑌 = (𝑅s 𝐼)
2 eqid 2621 . . . 4 (Scalar‘𝑅) = (Scalar‘𝑅)
31, 2pwsval 16070 . . 3 ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → 𝑌 = ((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))
43fveq2d 6154 . 2 ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → (Base‘𝑌) = (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))))
5 eqid 2621 . . . 4 ((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})) = ((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))
6 fvex 6160 . . . . 5 (Scalar‘𝑅) ∈ V
76a1i 11 . . . 4 ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → (Scalar‘𝑅) ∈ V)
8 simpr 477 . . . . 5 ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → 𝐼𝑊)
9 snex 4871 . . . . 5 {𝑅} ∈ V
10 xpexg 6916 . . . . 5 ((𝐼𝑊 ∧ {𝑅} ∈ V) → (𝐼 × {𝑅}) ∈ V)
118, 9, 10sylancl 693 . . . 4 ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → (𝐼 × {𝑅}) ∈ V)
12 eqid 2621 . . . 4 (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))) = (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))
13 snnzg 4280 . . . . . 6 (𝑅𝑉 → {𝑅} ≠ ∅)
1413adantr 481 . . . . 5 ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → {𝑅} ≠ ∅)
15 dmxp 5306 . . . . 5 ({𝑅} ≠ ∅ → dom (𝐼 × {𝑅}) = 𝐼)
1614, 15syl 17 . . . 4 ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → dom (𝐼 × {𝑅}) = 𝐼)
175, 7, 11, 12, 16prdsbas 16041 . . 3 ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))) = X𝑥𝐼 (Base‘((𝐼 × {𝑅})‘𝑥)))
18 fvconst2g 6424 . . . . . . 7 ((𝑅𝑉𝑥𝐼) → ((𝐼 × {𝑅})‘𝑥) = 𝑅)
1918fveq2d 6154 . . . . . 6 ((𝑅𝑉𝑥𝐼) → (Base‘((𝐼 × {𝑅})‘𝑥)) = (Base‘𝑅))
2019ralrimiva 2960 . . . . 5 (𝑅𝑉 → ∀𝑥𝐼 (Base‘((𝐼 × {𝑅})‘𝑥)) = (Base‘𝑅))
2120adantr 481 . . . 4 ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → ∀𝑥𝐼 (Base‘((𝐼 × {𝑅})‘𝑥)) = (Base‘𝑅))
22 ixpeq2 7869 . . . 4 (∀𝑥𝐼 (Base‘((𝐼 × {𝑅})‘𝑥)) = (Base‘𝑅) → X𝑥𝐼 (Base‘((𝐼 × {𝑅})‘𝑥)) = X𝑥𝐼 (Base‘𝑅))
2321, 22syl 17 . . 3 ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → X𝑥𝐼 (Base‘((𝐼 × {𝑅})‘𝑥)) = X𝑥𝐼 (Base‘𝑅))
2417, 23eqtrd 2655 . 2 ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))) = X𝑥𝐼 (Base‘𝑅))
25 fvex 6160 . . . 4 (Base‘𝑅) ∈ V
26 ixpconstg 7864 . . . 4 ((𝐼𝑊 ∧ (Base‘𝑅) ∈ V) → X𝑥𝐼 (Base‘𝑅) = ((Base‘𝑅) ↑𝑚 𝐼))
278, 25, 26sylancl 693 . . 3 ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → X𝑥𝐼 (Base‘𝑅) = ((Base‘𝑅) ↑𝑚 𝐼))
28 pwsbas.f . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑅)
2928oveq1i 6617 . . 3 (𝐵𝑚 𝐼) = ((Base‘𝑅) ↑𝑚 𝐼)
3027, 29syl6eqr 2673 . 2 ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → X𝑥𝐼 (Base‘𝑅) = (𝐵𝑚 𝐼))
314, 24, 303eqtrrd 2660 1 ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → (𝐵𝑚 𝐼) = (Base‘𝑌))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  wral 2907  Vcvv 3186  c0 3893  {csn 4150   × cxp 5074  dom cdm 5076  cfv 5849  (class class class)co 6607  𝑚 cmap 7805  Xcixp 7855  Basecbs 15784  Scalarcsca 15868  Xscprds 16030  s cpws 16031
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4743  ax-nul 4751  ax-pow 4805  ax-pr 4869  ax-un 6905  ax-cnex 9939  ax-resscn 9940  ax-1cn 9941  ax-icn 9942  ax-addcl 9943  ax-addrcl 9944  ax-mulcl 9945  ax-mulrcl 9946  ax-mulcom 9947  ax-addass 9948  ax-mulass 9949  ax-distr 9950  ax-i2m1 9951  ax-1ne0 9952  ax-1rid 9953  ax-rnegex 9954  ax-rrecex 9955  ax-cnre 9956  ax-pre-lttri 9957  ax-pre-lttrn 9958  ax-pre-ltadd 9959  ax-pre-mulgt0 9960
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3419  df-csb 3516  df-dif 3559  df-un 3561  df-in 3563  df-ss 3570  df-pss 3572  df-nul 3894  df-if 4061  df-pw 4134  df-sn 4151  df-pr 4153  df-tp 4155  df-op 4157  df-uni 4405  df-int 4443  df-iun 4489  df-br 4616  df-opab 4676  df-mpt 4677  df-tr 4715  df-eprel 4987  df-id 4991  df-po 4997  df-so 4998  df-fr 5035  df-we 5037  df-xp 5082  df-rel 5083  df-cnv 5084  df-co 5085  df-dm 5086  df-rn 5087  df-res 5088  df-ima 5089  df-pred 5641  df-ord 5687  df-on 5688  df-lim 5689  df-suc 5690  df-iota 5812  df-fun 5851  df-fn 5852  df-f 5853  df-f1 5854  df-fo 5855  df-f1o 5856  df-fv 5857  df-riota 6568  df-ov 6610  df-oprab 6611  df-mpt2 6612  df-om 7016  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-wrecs 7355  df-recs 7416  df-rdg 7454  df-1o 7508  df-oadd 7512  df-er 7690  df-map 7807  df-ixp 7856  df-en 7903  df-dom 7904  df-sdom 7905  df-fin 7906  df-sup 8295  df-pnf 10023  df-mnf 10024  df-xr 10025  df-ltxr 10026  df-le 10027  df-sub 10215  df-neg 10216  df-nn 10968  df-2 11026  df-3 11027  df-4 11028  df-5 11029  df-6 11030  df-7 11031  df-8 11032  df-9 11033  df-n0 11240  df-z 11325  df-dec 11441  df-uz 11635  df-fz 12272  df-struct 15786  df-ndx 15787  df-slot 15788  df-base 15789  df-plusg 15878  df-mulr 15879  df-sca 15881  df-vsca 15882  df-ip 15883  df-tset 15884  df-ple 15885  df-ds 15888  df-hom 15890  df-cco 15891  df-prds 16032  df-pws 16034
This theorem is referenced by:  pwselbasb  16072  pwssnf1o  16082  pwsdiagmhm  17293  pwsco1rhm  18662  pwsco2rhm  18663  evls1val  19607  evls1rhmlem  19608  evl1val  19615  frlmbas  20021  frlmsubgval  20030  repwsmet  33286  rrnequiv  33287  pwslnmlem0  37162
  Copyright terms: Public domain W3C validator