Theorem resspsrvsca 19466

Description: A restricted power series algebra has the same scalar multiplication operation. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jul-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
resspsr.s	⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
resspsr.h	⊢ 𝐻 = (𝑅 ↾s 𝑇)
resspsr.u	⊢ 𝑈 = (𝐼 mPwSer 𝐻)
resspsr.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑈)
resspsr.p	⊢ 𝑃 = (𝑆 ↾s 𝐵)
resspsr.2	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅))

Assertion

Ref	Expression
resspsrvsca	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝑇 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑋( ·𝑠 ‘𝑈)𝑌) = (𝑋( ·𝑠 ‘𝑃)𝑌))

Proof of Theorem resspsrvsca

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resspsr.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = (𝐼 mPwSer 𝐻)
2		eqid 2651	. . 3 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑈) = ( ·𝑠 ‘𝑈)
3		eqid 2651	. . 3 ⊢ (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻)
4		resspsr.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑈)
5		eqid 2651	. . 3 ⊢ (.r‘𝐻) = (.r‘𝐻)
6		eqid 2651	. . 3 ⊢ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
7		simprl 809	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝑇 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → 𝑋 ∈ 𝑇)
8		resspsr.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅))
9	8	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝑇 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → 𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅))
10		resspsr.h	. . . . . 6 ⊢ 𝐻 = (𝑅 ↾s 𝑇)
11	10	subrgbas 18837	. . . . 5 ⊢ (𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑇 = (Base‘𝐻))
12	9, 11	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝑇 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → 𝑇 = (Base‘𝐻))
13	7, 12	eleqtrd 2732	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝑇 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐻))
14		simprr 811	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝑇 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → 𝑌 ∈ 𝐵)
15	1, 2, 3, 4, 5, 6, 13, 14	psrvsca 19439	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝑇 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑋( ·𝑠 ‘𝑈)𝑌) = (({𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} × {𝑋}) ∘𝑓 (.r‘𝐻)𝑌))
16		resspsr.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
17		eqid 2651	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑆) = ( ·𝑠 ‘𝑆)
18		eqid 2651	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
19		eqid 2651	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
20		eqid 2651	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
21	18	subrgss 18829	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑇 ⊆ (Base‘𝑅))
22	9, 21	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝑇 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → 𝑇 ⊆ (Base‘𝑅))
23	22, 7	sseldd 3637	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝑇 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑅))
24		resspsr.p	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑃 = (𝑆 ↾s 𝐵)
25	16, 10, 1, 4, 24, 8	resspsrbas 19463	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑃))
26	24, 19	ressbasss 15979	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑃) ⊆ (Base‘𝑆)
27	25, 26	syl6eqss 3688	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ (Base‘𝑆))
28	27	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝑇 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → 𝐵 ⊆ (Base‘𝑆))
29	28, 14	sseldd 3637	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝑇 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → 𝑌 ∈ (Base‘𝑆))
30	16, 17, 18, 19, 20, 6, 23, 29	psrvsca 19439	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝑇 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑋( ·𝑠 ‘𝑆)𝑌) = (({𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} × {𝑋}) ∘𝑓 (.r‘𝑅)𝑌))
31	10, 20	ressmulr 16053	. . . . 5 ⊢ (𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅) → (.r‘𝑅) = (.r‘𝐻))
32		ofeq 6941	. . . . 5 ⊢ ((.r‘𝑅) = (.r‘𝐻) → ∘𝑓 (.r‘𝑅) = ∘𝑓 (.r‘𝐻))
33	9, 31, 32	3syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝑇 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ∘𝑓 (.r‘𝑅) = ∘𝑓 (.r‘𝐻))
34	33	oveqd 6707	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝑇 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (({𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} × {𝑋}) ∘𝑓 (.r‘𝑅)𝑌) = (({𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} × {𝑋}) ∘𝑓 (.r‘𝐻)𝑌))
35	30, 34	eqtrd 2685	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝑇 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑋( ·𝑠 ‘𝑆)𝑌) = (({𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} × {𝑋}) ∘𝑓 (.r‘𝐻)𝑌))
36		fvex 6239	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑈) ∈ V
37	4, 36	eqeltri 2726	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ V
38	24, 17	ressvsca 16079	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ V → ( ·𝑠 ‘𝑆) = ( ·𝑠 ‘𝑃))
39	37, 38	mp1i 13	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝑇 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ( ·𝑠 ‘𝑆) = ( ·𝑠 ‘𝑃))
40	39	oveqd 6707	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝑇 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑋( ·𝑠 ‘𝑆)𝑌) = (𝑋( ·𝑠 ‘𝑃)𝑌))
41	15, 35, 40	3eqtr2d 2691	1 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝑇 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑋( ·𝑠 ‘𝑈)𝑌) = (𝑋( ·𝑠 ‘𝑃)𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1523   ∈ wcel 2030  {crab 2945  Vcvv 3231   ⊆ wss 3607  {csn 4210   × cxp 5141  ^◡ccnv 5142   “ cima 5146  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690   ∘_𝑓 cof 6937   ↑_𝑚 cmap 7899  Fincfn 7997  ℕcn 11058  ℕ₀cn0 11330  Basecbs 15904   ↾_s cress 15905  ._rcmulr 15989   ·_𝑠 cvsca 15992  SubRingcsubrg 18824   mPwSer cmps 19399

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-supp 7341  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fsupp 8317  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-fz 12365  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-tset 16007  df-subg 17638  df-ring 18595  df-subrg 18826  df-psr 19404

This theorem is referenced by:  ressmplvsca  19507