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Theorem rexuzre 14026
Description: Convert an upper real quantifier to an upper integer quantifier. (Contributed by Mario Carneiro, 7-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
rexuz3.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
Assertion
Ref Expression
rexuzre (𝑀 ∈ ℤ → (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜑 ↔ ∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘𝑍 (𝑗𝑘𝜑)))
Distinct variable groups:   𝑗,𝑀   𝜑,𝑗   𝑗,𝑘,𝑍   𝑘,𝑀
Allowed substitution hint:   𝜑(𝑘)

Proof of Theorem rexuzre
Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eluzelre 11642 . . . . . 6 (𝑗 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑗 ∈ ℝ)
2 rexuz3.1 . . . . . 6 𝑍 = (ℤ𝑀)
31, 2eleq2s 2716 . . . . 5 (𝑗𝑍𝑗 ∈ ℝ)
43adantr 481 . . . 4 ((𝑗𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜑) → 𝑗 ∈ ℝ)
5 eluzelz 11641 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑗 ∈ ℤ)
65, 2eleq2s 2716 . . . . . . . . . . 11 (𝑗𝑍𝑗 ∈ ℤ)
7 eluzelz 11641 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑘 ∈ ℤ)
87, 2eleq2s 2716 . . . . . . . . . . 11 (𝑘𝑍𝑘 ∈ ℤ)
9 eluz 11645 . . . . . . . . . . 11 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ (ℤ𝑗) ↔ 𝑗𝑘))
106, 8, 9syl2an 494 . . . . . . . . . 10 ((𝑗𝑍𝑘𝑍) → (𝑘 ∈ (ℤ𝑗) ↔ 𝑗𝑘))
1110biimprd 238 . . . . . . . . 9 ((𝑗𝑍𝑘𝑍) → (𝑗𝑘𝑘 ∈ (ℤ𝑗)))
1211expimpd 628 . . . . . . . 8 (𝑗𝑍 → ((𝑘𝑍𝑗𝑘) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)))
1312imim1d 82 . . . . . . 7 (𝑗𝑍 → ((𝑘 ∈ (ℤ𝑗) → 𝜑) → ((𝑘𝑍𝑗𝑘) → 𝜑)))
1413exp4a 632 . . . . . 6 (𝑗𝑍 → ((𝑘 ∈ (ℤ𝑗) → 𝜑) → (𝑘𝑍 → (𝑗𝑘𝜑))))
1514ralimdv2 2955 . . . . 5 (𝑗𝑍 → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜑 → ∀𝑘𝑍 (𝑗𝑘𝜑)))
1615imp 445 . . . 4 ((𝑗𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜑) → ∀𝑘𝑍 (𝑗𝑘𝜑))
174, 16jca 554 . . 3 ((𝑗𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜑) → (𝑗 ∈ ℝ ∧ ∀𝑘𝑍 (𝑗𝑘𝜑)))
1817reximi2 3004 . 2 (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜑 → ∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘𝑍 (𝑗𝑘𝜑))
19 simpl 473 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → 𝑀 ∈ ℤ)
20 flcl 12536 . . . . . . . . . 10 (𝑗 ∈ ℝ → (⌊‘𝑗) ∈ ℤ)
2120adantl 482 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → (⌊‘𝑗) ∈ ℤ)
2221peano2zd 11429 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → ((⌊‘𝑗) + 1) ∈ ℤ)
2322, 19ifcld 4103 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀) ∈ ℤ)
24 zre 11325 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
25 reflcl 12537 . . . . . . . . 9 (𝑗 ∈ ℝ → (⌊‘𝑗) ∈ ℝ)
26 peano2re 10153 . . . . . . . . 9 ((⌊‘𝑗) ∈ ℝ → ((⌊‘𝑗) + 1) ∈ ℝ)
2725, 26syl 17 . . . . . . . 8 (𝑗 ∈ ℝ → ((⌊‘𝑗) + 1) ∈ ℝ)
28 max1 11959 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ ((⌊‘𝑗) + 1) ∈ ℝ) → 𝑀 ≤ if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀))
2924, 27, 28syl2an 494 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → 𝑀 ≤ if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀))
30 eluz2 11637 . . . . . . 7 (if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀) ∈ (ℤ𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀)))
3119, 23, 29, 30syl3anbrc 1244 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀) ∈ (ℤ𝑀))
3231, 2syl6eleqr 2709 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀) ∈ 𝑍)
33 impexp 462 . . . . . . 7 (((𝑘𝑍𝑗𝑘) → 𝜑) ↔ (𝑘𝑍 → (𝑗𝑘𝜑)))
34 uzss 11652 . . . . . . . . . . . . 13 (if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀) ∈ (ℤ𝑀) → (ℤ‘if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀)) ⊆ (ℤ𝑀))
3531, 34syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → (ℤ‘if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀)) ⊆ (ℤ𝑀))
3635, 2syl6sseqr 3631 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → (ℤ‘if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀)) ⊆ 𝑍)
3736sselda 3583 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀))) → 𝑘𝑍)
38 simplr 791 . . . . . . . . . . 11 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀))) → 𝑗 ∈ ℝ)
3923adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀))) → if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀) ∈ ℤ)
4039zred 11426 . . . . . . . . . . 11 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀))) → if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀) ∈ ℝ)
41 eluzelre 11642 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ (ℤ‘if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀)) → 𝑘 ∈ ℝ)
4241adantl 482 . . . . . . . . . . 11 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀))) → 𝑘 ∈ ℝ)
43 simpr 477 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → 𝑗 ∈ ℝ)
4427adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → ((⌊‘𝑗) + 1) ∈ ℝ)
4523zred 11426 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀) ∈ ℝ)
46 fllep1 12542 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 ∈ ℝ → 𝑗 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1))
4746adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → 𝑗 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1))
48 max2 11961 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ ((⌊‘𝑗) + 1) ∈ ℝ) → ((⌊‘𝑗) + 1) ≤ if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀))
4924, 27, 48syl2an 494 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → ((⌊‘𝑗) + 1) ≤ if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀))
5043, 44, 45, 47, 49letrd 10138 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → 𝑗 ≤ if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀))
5150adantr 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀))) → 𝑗 ≤ if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀))
52 eluzle 11644 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ (ℤ‘if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀)) → if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀) ≤ 𝑘)
5352adantl 482 . . . . . . . . . . 11 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀))) → if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀) ≤ 𝑘)
5438, 40, 42, 51, 53letrd 10138 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀))) → 𝑗𝑘)
5537, 54jca 554 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀))) → (𝑘𝑍𝑗𝑘))
5655ex 450 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → (𝑘 ∈ (ℤ‘if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀)) → (𝑘𝑍𝑗𝑘)))
5756imim1d 82 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → (((𝑘𝑍𝑗𝑘) → 𝜑) → (𝑘 ∈ (ℤ‘if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀)) → 𝜑)))
5833, 57syl5bir 233 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → ((𝑘𝑍 → (𝑗𝑘𝜑)) → (𝑘 ∈ (ℤ‘if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀)) → 𝜑)))
5958ralimdv2 2955 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → (∀𝑘𝑍 (𝑗𝑘𝜑) → ∀𝑘 ∈ (ℤ‘if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀))𝜑))
60 fveq2 6148 . . . . . . 7 (𝑚 = if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀) → (ℤ𝑚) = (ℤ‘if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀)))
6160raleqdv 3133 . . . . . 6 (𝑚 = if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑚)𝜑 ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ‘if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀))𝜑))
6261rspcev 3295 . . . . 5 ((if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀) ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ‘if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀))𝜑) → ∃𝑚𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑚)𝜑)
6332, 59, 62syl6an 567 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → (∀𝑘𝑍 (𝑗𝑘𝜑) → ∃𝑚𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑚)𝜑))
6463rexlimdva 3024 . . 3 (𝑀 ∈ ℤ → (∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘𝑍 (𝑗𝑘𝜑) → ∃𝑚𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑚)𝜑))
65 fveq2 6148 . . . . 5 (𝑚 = 𝑗 → (ℤ𝑚) = (ℤ𝑗))
6665raleqdv 3133 . . . 4 (𝑚 = 𝑗 → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑚)𝜑 ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜑))
6766cbvrexv 3160 . . 3 (∃𝑚𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑚)𝜑 ↔ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜑)
6864, 67syl6ib 241 . 2 (𝑀 ∈ ℤ → (∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘𝑍 (𝑗𝑘𝜑) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜑))
6918, 68impbid2 216 1 (𝑀 ∈ ℤ → (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜑 ↔ ∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘𝑍 (𝑗𝑘𝜑)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wral 2907  wrex 2908  wss 3555  ifcif 4058   class class class wbr 4613  cfv 5847  (class class class)co 6604  cr 9879  1c1 9881   + caddc 9883  cle 10019  cz 11321  cuz 11631  cfl 12531
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-sup 8292  df-inf 8293  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-nn 10965  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-fl 12533
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