MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eluzelre Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eluzelre 11910
Description: A member of an upper set of integers is a real. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2013.)
Assertion
Ref Expression
eluzelre (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑁 ∈ ℝ)

Proof of Theorem eluzelre
StepHypRef Expression
1 eluzelz 11909 . 2 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
21zred 11694 1 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑁 ∈ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2139  cfv 6049  cr 10147  cuz 11899
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-ral 3055  df-rex 3056  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-fv 6057  df-ov 6817  df-neg 10481  df-z 11590  df-uz 11900
This theorem is referenced by:  eluzelcn  11911  uzm1  11931  uzsplit  12625  fzneuz  12634  fzouzsplit  12717  fzouzdisj  12718  fzoun  12719  eluzgtdifelfzo  12744  elfzonelfzo  12784  fldiv4lem1div2uz2  12851  mulp1mod1  12925  m1modge3gt1  12931  om2uzlt2i  12964  bernneq3  13206  hashfzp1  13430  seqcoll  13460  seqcoll2  13461  rexuzre  14311  rlimclim1  14495  climrlim2  14497  isprm5  15641  isprm7  15642  ncoprmlnprm  15658  dfphi2  15701  pclem  15765  pcmpt  15818  pockthg  15832  prmlem1  16036  prmlem2  16049  setsstructOLD  16121  mtest  24377  logbleb  24741  isppw  25060  chtdif  25104  chtub  25157  fsumvma2  25159  chpval2  25163  bpos1lem  25227  bpos1  25228  gausslemma2dlem4  25314  chebbnd1lem1  25378  dchrisumlem2  25399  axlowdimlem16  26057  axlowdimlem17  26058  crctcshwlkn0lem5  26938  fzspl  29880  supfz  31941  nn0prpwlem  32644  rmspecsqrtnq  37990  rmspecsqrtnqOLD  37991  rmspecnonsq  37992  rmspecfund  37994  rmspecpos  38001  rmxypos  38034  ltrmynn0  38035  ltrmxnn0  38036  jm2.24nn  38046  jm2.17a  38047  jm2.17b  38048  jm2.17c  38049  jm3.1lem1  38104  jm3.1lem2  38105  climsuselem1  40360  climsuse  40361  limsupequzlem  40475  limsupmnfuzlem  40479  ioodvbdlimc1lem2  40668  ioodvbdlimc2lem  40670  itgspltprt  40716  stoweidlem14  40752  wallispilem3  40805  stirlinglem11  40822  fourierdlem103  40947  fourierdlem104  40948  iccpartigtl  41887  fmtnoprmfac2lem1  42006  fmtno4prmfac  42012  lighneallem4a  42053  gboge9  42180  nnsum3primesle9  42210  bgoldbnnsum3prm  42220  bgoldbtbndlem3  42223  bgoldbtbndlem4  42224  bgoldbtbnd  42225  expnegico01  42836  fllog2  42890  dignn0ldlem  42924  dignnld  42925  digexp  42929  dignn0flhalf  42940
  Copyright terms: Public domain W3C validator