Theorem max2 12581

Description: A number is less than or equal to the maximum of it and another. (Contributed by NM, 3-Apr-2005.)

Assertion

Ref	Expression
max2	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐵 ≤ if(𝐴 ≤ 𝐵, 𝐵, 𝐴))

Proof of Theorem max2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rexr 10687	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ*)
2		rexr 10687	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℝ*)
3		xrmax2 12570	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → 𝐵 ≤ if(𝐴 ≤ 𝐵, 𝐵, 𝐴))
4	1, 2, 3	syl2an 597	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐵 ≤ if(𝐴 ≤ 𝐵, 𝐵, 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   ∈ wcel 2114  ifcif 4467   class class class wbr 5066  ℝcr 10536  ℝ^*cxr 10674   ≤ cle 10676

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4839  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-id 5460  df-po 5474  df-so 5475  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-er 8289  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681

This theorem is referenced by:  lemaxle  12589  z2ge  12592  ssfzunsnext  12953  uzsup  13232  expmulnbnd  13597  discr1  13601  rexuzre  14712  caubnd  14718  limsupgre  14838  limsupbnd2  14840  rlim3  14855  lo1bdd2  14881  o1lo1  14894  rlimclim1  14902  lo1mul  14984  rlimno1  15010  cvgrat  15239  ruclem10  15592  bitsfzo  15784  1arith  16263  evth  23563  ioombl1lem4  24162  itg2monolem3  24353  itgle  24410  ibladdlem  24420  plyaddlem1  24803  coeaddlem  24839  o1cxp  25552  cxp2lim  25554  cxploglim2  25556  ftalem1  25650  ftalem2  25651  chtppilim  26051  dchrisumlem3  26067  ostth2lem2  26210  ostth2lem3  26211  ostth2lem4  26212  ostth3  26214  knoppndvlem18  33868  ibladdnclem  34963  ftc1anclem5  34986  irrapxlem4  39442  irrapxlem5  39443  rexabslelem  41712  uzublem  41724  max2d  41754  climsuse  41909  limsupubuzlem  42013  limsupmnfuzlem  42027  limsupequzmptlem  42029  limsupre3uzlem  42036  liminflelimsuplem  42076  ioodvbdlimc1lem2  42237  ioodvbdlimc2lem  42239  hoidifhspdmvle  42922