MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  max2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem max2 11961
Description: A number is less than or equal to the maximum of it and another. (Contributed by NM, 3-Apr-2005.)
Assertion
Ref Expression
max2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐵 ≤ if(𝐴𝐵, 𝐵, 𝐴))

Proof of Theorem max2
StepHypRef Expression
1 rexr 10029 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ*)
2 rexr 10029 . 2 (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℝ*)
3 xrmax2 11950 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → 𝐵 ≤ if(𝐴𝐵, 𝐵, 𝐴))
41, 2, 3syl2an 494 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐵 ≤ if(𝐴𝐵, 𝐵, 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  wcel 1987  ifcif 4058   class class class wbr 4613  cr 9879  *cxr 10017  cle 10019
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-op 4155  df-uni 4403  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024
This theorem is referenced by:  lemaxle  11969  z2ge  11972  ssfzunsnext  12328  uzsup  12602  expmulnbnd  12936  discr1  12940  rexuzre  14026  caubnd  14032  limsupgre  14146  limsupbnd2  14148  rlim3  14163  lo1bdd2  14189  o1lo1  14202  rlimclim1  14210  lo1mul  14292  rlimno1  14318  cvgrat  14540  ruclem10  14893  bitsfzo  15081  1arith  15555  evth  22666  ioombl1lem4  23236  itg2monolem3  23425  itgle  23482  ibladdlem  23492  plyaddlem1  23873  coeaddlem  23909  o1cxp  24601  cxp2lim  24603  cxploglim2  24605  ftalem1  24699  ftalem2  24700  chtppilim  25064  dchrisumlem3  25080  ostth2lem2  25223  ostth2lem3  25224  ostth2lem4  25225  ostth3  25227  knoppndvlem18  32159  ibladdnclem  33095  ftc1anclem5  33118  irrapxlem4  36866  irrapxlem5  36867  rexabslelem  39106  uzublem  39118  climsuse  39241  limsupubuzlem  39345  limsupmnfuzlem  39359  limsupequzmptlem  39361  limsupre3uzlem  39368  ioodvbdlimc1lem2  39450  ioodvbdlimc2lem  39452  hoidifhspdmvle  40138
  Copyright terms: Public domain W3C validator