MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  max2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem max2 12182
Description: A number is less than or equal to the maximum of it and another. (Contributed by NM, 3-Apr-2005.)
Assertion
Ref Expression
max2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐵 ≤ if(𝐴𝐵, 𝐵, 𝐴))

Proof of Theorem max2
StepHypRef Expression
1 rexr 10248 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ*)
2 rexr 10248 . 2 (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℝ*)
3 xrmax2 12171 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → 𝐵 ≤ if(𝐴𝐵, 𝐵, 𝐴))
41, 2, 3syl2an 495 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐵 ≤ if(𝐴𝐵, 𝐵, 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  wcel 2127  ifcif 4218   class class class wbr 4792  cr 10098  *cxr 10236  cle 10238
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1859  ax-4 1874  ax-5 1976  ax-6 2042  ax-7 2078  ax-8 2129  ax-9 2136  ax-10 2156  ax-11 2171  ax-12 2184  ax-13 2379  ax-ext 2728  ax-sep 4921  ax-nul 4929  ax-pow 4980  ax-pr 5043  ax-un 7102  ax-cnex 10155  ax-resscn 10156  ax-pre-lttri 10173  ax-pre-lttrn 10174
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1623  df-ex 1842  df-nf 1847  df-sb 2035  df-eu 2599  df-mo 2600  df-clab 2735  df-cleq 2741  df-clel 2744  df-nfc 2879  df-ne 2921  df-nel 3024  df-ral 3043  df-rex 3044  df-rab 3047  df-v 3330  df-sbc 3565  df-csb 3663  df-dif 3706  df-un 3708  df-in 3710  df-ss 3717  df-nul 4047  df-if 4219  df-pw 4292  df-sn 4310  df-pr 4312  df-op 4316  df-uni 4577  df-br 4793  df-opab 4853  df-mpt 4870  df-id 5162  df-po 5175  df-so 5176  df-xp 5260  df-rel 5261  df-cnv 5262  df-co 5263  df-dm 5264  df-rn 5265  df-res 5266  df-ima 5267  df-iota 6000  df-fun 6039  df-fn 6040  df-f 6041  df-f1 6042  df-fo 6043  df-f1o 6044  df-fv 6045  df-er 7899  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-pnf 10239  df-mnf 10240  df-xr 10241  df-ltxr 10242  df-le 10243
This theorem is referenced by:  lemaxle  12190  z2ge  12193  ssfzunsnext  12550  uzsup  12827  expmulnbnd  13161  discr1  13165  rexuzre  14262  caubnd  14268  limsupgre  14382  limsupbnd2  14384  rlim3  14399  lo1bdd2  14425  o1lo1  14438  rlimclim1  14446  lo1mul  14528  rlimno1  14554  cvgrat  14785  ruclem10  15138  bitsfzo  15330  1arith  15804  evth  22930  ioombl1lem4  23500  itg2monolem3  23689  itgle  23746  ibladdlem  23756  plyaddlem1  24139  coeaddlem  24175  o1cxp  24871  cxp2lim  24873  cxploglim2  24875  ftalem1  24969  ftalem2  24970  chtppilim  25334  dchrisumlem3  25350  ostth2lem2  25493  ostth2lem3  25494  ostth2lem4  25495  ostth3  25497  knoppndvlem18  32797  ibladdnclem  33748  ftc1anclem5  33771  irrapxlem4  37860  irrapxlem5  37861  rexabslelem  40112  uzublem  40124  max2d  40155  climsuse  40312  limsupubuzlem  40416  limsupmnfuzlem  40430  limsupequzmptlem  40432  limsupre3uzlem  40439  liminflelimsuplem  40479  ioodvbdlimc1lem2  40619  ioodvbdlimc2lem  40621  hoidifhspdmvle  41309
  Copyright terms: Public domain W3C validator