MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sdomentr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sdomentr 8644
Description: Transitivity of strict dominance and equinumerosity. Exercise 11 of [Suppes] p. 98. (Contributed by NM, 26-Oct-2003.)
Assertion
Ref Expression
sdomentr ((𝐴𝐵𝐵𝐶) → 𝐴𝐶)

Proof of Theorem sdomentr
StepHypRef Expression
1 endom 8529 . 2 (𝐵𝐶𝐵𝐶)
2 sdomdomtr 8643 . 2 ((𝐴𝐵𝐵𝐶) → 𝐴𝐶)
31, 2sylan2 594 1 ((𝐴𝐵𝐵𝐶) → 𝐴𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 398   class class class wbr 5059  cen 8499  cdom 8500  csdm 8501
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2792  ax-sep 5196  ax-nul 5203  ax-pow 5259  ax-pr 5323  ax-un 7454
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1084  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2892  df-nfc 2962  df-ral 3142  df-rex 3143  df-rab 3146  df-v 3493  df-dif 3932  df-un 3934  df-in 3936  df-ss 3945  df-nul 4285  df-if 4461  df-pw 4534  df-sn 4561  df-pr 4563  df-op 4567  df-uni 4832  df-br 5060  df-opab 5122  df-id 5453  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-er 8282  df-en 8503  df-dom 8504  df-sdom 8505
This theorem is referenced by:  sdomen2  8655  unxpdom2  8719  sucxpdom  8720  findcard3  8754  fofinf1o  8792  sdomsdomcardi  9393  cardsdomel  9396  cardmin2  9420  alephnbtwn2  9491  pwsdompw  9619  infdif2  9625  fin23lem27  9743  axcclem  9872  numthcor  9909  sdomsdomcard  9975  pwcfsdom  9998  cfpwsdom  9999  inawinalem  10104  inatsk  10193  r1tskina  10197  tskuni  10198  rucALT  15578  iunmbl2  24153  dirith2  26102  erdszelem10  32468  mblfinlem1  34964  pellex  39508  rp-isfinite6  39958  harval3  39978
  Copyright terms: Public domain W3C validator