MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dirith2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dirith2 24930
Description: Dirichlet's theorem: there are infinitely many primes in any arithmetic progression coprime to 𝑁. Theorem 9.4.1 of [Shapiro], p. 375. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Apr-2016.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 26-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpvmasum.z 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
rpvmasum.l 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
rpvmasum.a (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
rpvmasum.u 𝑈 = (Unit‘𝑍)
rpvmasum.b (𝜑𝐴𝑈)
rpvmasum.t 𝑇 = (𝐿 “ {𝐴})
Assertion
Ref Expression
dirith2 (𝜑 → (ℙ ∩ 𝑇) ≈ ℕ)

Proof of Theorem dirith2
Dummy variables 𝑛 𝑥 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnex 10869 . . . 4 ℕ ∈ V
2 inss1 3790 . . . . 5 (ℙ ∩ 𝑇) ⊆ ℙ
3 prmnn 15168 . . . . . 6 (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℕ)
43ssriv 3567 . . . . 5 ℙ ⊆ ℕ
52, 4sstri 3572 . . . 4 (ℙ ∩ 𝑇) ⊆ ℕ
6 ssdomg 7860 . . . 4 (ℕ ∈ V → ((ℙ ∩ 𝑇) ⊆ ℕ → (ℙ ∩ 𝑇) ≼ ℕ))
71, 5, 6mp2 9 . . 3 (ℙ ∩ 𝑇) ≼ ℕ
87a1i 11 . 2 (𝜑 → (ℙ ∩ 𝑇) ≼ ℕ)
9 logno1 24095 . . . 4 ¬ (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (log‘𝑥)) ∈ 𝑂(1)
10 rpvmasum.a . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
1110adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin) → 𝑁 ∈ ℕ)
1211phicld 15257 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin) → (ϕ‘𝑁) ∈ ℕ)
1312nnred 10878 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin) → (ϕ‘𝑁) ∈ ℝ)
1413adantr 479 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (ϕ‘𝑁) ∈ ℝ)
15 simpr 475 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin) → (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin)
16 inss2 3791 . . . . . . . . . 10 ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇)) ⊆ (ℙ ∩ 𝑇)
17 ssfi 8038 . . . . . . . . . 10 (((ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin ∧ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇)) ⊆ (ℙ ∩ 𝑇)) → ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇)) ∈ Fin)
1815, 16, 17sylancl 692 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin) → ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇)) ∈ Fin)
1916sseli 3559 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇)) → 𝑛 ∈ (ℙ ∩ 𝑇))
20 simpr 475 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin) ∧ 𝑛 ∈ (ℙ ∩ 𝑇)) → 𝑛 ∈ (ℙ ∩ 𝑇))
215, 20sseldi 3561 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin) ∧ 𝑛 ∈ (ℙ ∩ 𝑇)) → 𝑛 ∈ ℕ)
2221nnrpd 11698 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin) ∧ 𝑛 ∈ (ℙ ∩ 𝑇)) → 𝑛 ∈ ℝ+)
23 relogcl 24039 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℝ+ → (log‘𝑛) ∈ ℝ)
2422, 23syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin) ∧ 𝑛 ∈ (ℙ ∩ 𝑇)) → (log‘𝑛) ∈ ℝ)
2524, 21nndivred 10912 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin) ∧ 𝑛 ∈ (ℙ ∩ 𝑇)) → ((log‘𝑛) / 𝑛) ∈ ℝ)
2619, 25sylan2 489 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin) ∧ 𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇))) → ((log‘𝑛) / 𝑛) ∈ ℝ)
2718, 26fsumrecl 14254 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin) → Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇))((log‘𝑛) / 𝑛) ∈ ℝ)
2827adantr 479 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇))((log‘𝑛) / 𝑛) ∈ ℝ)
29 rpssre 11671 . . . . . . . 8 + ⊆ ℝ
3013recnd 9920 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin) → (ϕ‘𝑁) ∈ ℂ)
31 o1const 14140 . . . . . . . 8 ((ℝ+ ⊆ ℝ ∧ (ϕ‘𝑁) ∈ ℂ) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (ϕ‘𝑁)) ∈ 𝑂(1))
3229, 30, 31sylancr 693 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (ϕ‘𝑁)) ∈ 𝑂(1))
3329a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin) → ℝ+ ⊆ ℝ)
34 1red 9907 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin) → 1 ∈ ℝ)
3515, 25fsumrecl 14254 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin) → Σ𝑛 ∈ (ℙ ∩ 𝑇)((log‘𝑛) / 𝑛) ∈ ℝ)
36 log1 24049 . . . . . . . . . . . . 13 (log‘1) = 0
3721nnge1d 10906 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin) ∧ 𝑛 ∈ (ℙ ∩ 𝑇)) → 1 ≤ 𝑛)
38 1rp 11664 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 ∈ ℝ+
39 logleb 24066 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((1 ∈ ℝ+𝑛 ∈ ℝ+) → (1 ≤ 𝑛 ↔ (log‘1) ≤ (log‘𝑛)))
4038, 22, 39sylancr 693 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin) ∧ 𝑛 ∈ (ℙ ∩ 𝑇)) → (1 ≤ 𝑛 ↔ (log‘1) ≤ (log‘𝑛)))
4137, 40mpbid 220 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin) ∧ 𝑛 ∈ (ℙ ∩ 𝑇)) → (log‘1) ≤ (log‘𝑛))
4236, 41syl5eqbrr 4609 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin) ∧ 𝑛 ∈ (ℙ ∩ 𝑇)) → 0 ≤ (log‘𝑛))
4324, 22, 42divge0d 11740 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin) ∧ 𝑛 ∈ (ℙ ∩ 𝑇)) → 0 ≤ ((log‘𝑛) / 𝑛))
4416a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin) → ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇)) ⊆ (ℙ ∩ 𝑇))
4515, 25, 43, 44fsumless 14311 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin) → Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇))((log‘𝑛) / 𝑛) ≤ Σ𝑛 ∈ (ℙ ∩ 𝑇)((log‘𝑛) / 𝑛))
4645adantr 479 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇))((log‘𝑛) / 𝑛) ≤ Σ𝑛 ∈ (ℙ ∩ 𝑇)((log‘𝑛) / 𝑛))
4733, 28, 34, 35, 46ello1d 14044 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇))((log‘𝑛) / 𝑛)) ∈ ≤𝑂(1))
48 0red 9893 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin) → 0 ∈ ℝ)
4919, 43sylan2 489 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin) ∧ 𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇))) → 0 ≤ ((log‘𝑛) / 𝑛))
5018, 26, 49fsumge0 14310 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin) → 0 ≤ Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇))((log‘𝑛) / 𝑛))
5150adantr 479 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 0 ≤ Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇))((log‘𝑛) / 𝑛))
5228, 48, 51o1lo12 14059 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin) → ((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇))((log‘𝑛) / 𝑛)) ∈ 𝑂(1) ↔ (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇))((log‘𝑛) / 𝑛)) ∈ ≤𝑂(1)))
5347, 52mpbird 245 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇))((log‘𝑛) / 𝑛)) ∈ 𝑂(1))
5414, 28, 32, 53o1mul2 14145 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((ϕ‘𝑁) · Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇))((log‘𝑛) / 𝑛))) ∈ 𝑂(1))
5513, 27remulcld 9922 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin) → ((ϕ‘𝑁) · Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇))((log‘𝑛) / 𝑛)) ∈ ℝ)
5655recnd 9920 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin) → ((ϕ‘𝑁) · Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇))((log‘𝑛) / 𝑛)) ∈ ℂ)
5756adantr 479 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((ϕ‘𝑁) · Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇))((log‘𝑛) / 𝑛)) ∈ ℂ)
58 relogcl 24039 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ+ → (log‘𝑥) ∈ ℝ)
5958adantl 480 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (log‘𝑥) ∈ ℝ)
6059recnd 9920 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (log‘𝑥) ∈ ℂ)
61 rpvmasum.z . . . . . . . . 9 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
62 rpvmasum.l . . . . . . . . 9 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
63 rpvmasum.u . . . . . . . . 9 𝑈 = (Unit‘𝑍)
64 rpvmasum.b . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴𝑈)
65 rpvmasum.t . . . . . . . . 9 𝑇 = (𝐿 “ {𝐴})
6661, 62, 10, 63, 64, 65rplogsum 24929 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (((ϕ‘𝑁) · Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇))((log‘𝑛) / 𝑛)) − (log‘𝑥))) ∈ 𝑂(1))
6766adantr 479 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (((ϕ‘𝑁) · Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇))((log‘𝑛) / 𝑛)) − (log‘𝑥))) ∈ 𝑂(1))
6857, 60, 67o1dif 14150 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin) → ((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((ϕ‘𝑁) · Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇))((log‘𝑛) / 𝑛))) ∈ 𝑂(1) ↔ (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (log‘𝑥)) ∈ 𝑂(1)))
6954, 68mpbid 220 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (log‘𝑥)) ∈ 𝑂(1))
7069ex 448 . . . 4 (𝜑 → ((ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (log‘𝑥)) ∈ 𝑂(1)))
719, 70mtoi 188 . . 3 (𝜑 → ¬ (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin)
72 nnenom 12592 . . . . 5 ℕ ≈ ω
73 sdomentr 7952 . . . . 5 (((ℙ ∩ 𝑇) ≺ ℕ ∧ ℕ ≈ ω) → (ℙ ∩ 𝑇) ≺ ω)
7472, 73mpan2 702 . . . 4 ((ℙ ∩ 𝑇) ≺ ℕ → (ℙ ∩ 𝑇) ≺ ω)
75 isfinite2 8076 . . . 4 ((ℙ ∩ 𝑇) ≺ ω → (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin)
7674, 75syl 17 . . 3 ((ℙ ∩ 𝑇) ≺ ℕ → (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin)
7771, 76nsyl 133 . 2 (𝜑 → ¬ (ℙ ∩ 𝑇) ≺ ℕ)
78 bren2 7845 . 2 ((ℙ ∩ 𝑇) ≈ ℕ ↔ ((ℙ ∩ 𝑇) ≼ ℕ ∧ ¬ (ℙ ∩ 𝑇) ≺ ℕ))
798, 77, 78sylanbrc 694 1 (𝜑 → (ℙ ∩ 𝑇) ≈ ℕ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 194  wa 382   = wceq 1474  wcel 1975  Vcvv 3168  cin 3534  wss 3535  {csn 4120   class class class wbr 4573  cmpt 4633  ccnv 5023  cima 5027  cfv 5786  (class class class)co 6523  ωcom 6930  cen 7811  cdom 7812  csdm 7813  Fincfn 7814  cc 9786  cr 9787  0cc0 9788  1c1 9789   · cmul 9793  cle 9927  cmin 10113   / cdiv 10529  cn 10863  +crp 11660  ...cfz 12148  cfl 12404  𝑂(1)co1 14007  ≤𝑂(1)clo1 14008  Σcsu 14206  cprime 15165  ϕcphi 15249  Unitcui 18404  ℤRHomczrh 19608  ℤ/nczn 19611  logclog 24018
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1711  ax-4 1726  ax-5 1825  ax-6 1873  ax-7 1920  ax-8 1977  ax-9 1984  ax-10 2004  ax-11 2019  ax-12 2031  ax-13 2228  ax-ext 2585  ax-rep 4689  ax-sep 4699  ax-nul 4708  ax-pow 4760  ax-pr 4824  ax-un 6820  ax-inf2 8394  ax-cnex 9844  ax-resscn 9845  ax-1cn 9846  ax-icn 9847  ax-addcl 9848  ax-addrcl 9849  ax-mulcl 9850  ax-mulrcl 9851  ax-mulcom 9852  ax-addass 9853  ax-mulass 9854  ax-distr 9855  ax-i2m1 9856  ax-1ne0 9857  ax-1rid 9858  ax-rnegex 9859  ax-rrecex 9860  ax-cnre 9861  ax-pre-lttri 9862  ax-pre-lttrn 9863  ax-pre-ltadd 9864  ax-pre-mulgt0 9865  ax-pre-sup 9866  ax-addf 9867  ax-mulf 9868
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-fal 1480  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1866  df-eu 2457  df-mo 2458  df-clab 2592  df-cleq 2598  df-clel 2601  df-nfc 2735  df-ne 2777  df-nel 2778  df-ral 2896  df-rex 2897  df-reu 2898  df-rmo 2899  df-rab 2900  df-v 3170  df-sbc 3398  df-csb 3495  df-dif 3538  df-un 3540  df-in 3542  df-ss 3549  df-pss 3551  df-nul 3870  df-if 4032  df-pw 4105  df-sn 4121  df-pr 4123  df-tp 4125  df-op 4127  df-uni 4363  df-int 4401  df-iun 4447  df-iin 4448  df-disj 4544  df-br 4574  df-opab 4634  df-mpt 4635  df-tr 4671  df-eprel 4935  df-id 4939  df-po 4945  df-so 4946  df-fr 4983  df-se 4984  df-we 4985  df-xp 5030  df-rel 5031  df-cnv 5032  df-co 5033  df-dm 5034  df-rn 5035  df-res 5036  df-ima 5037  df-pred 5579  df-ord 5625  df-on 5626  df-lim 5627  df-suc 5628  df-iota 5750  df-fun 5788  df-fn 5789  df-f 5790  df-f1 5791  df-fo 5792  df-f1o 5793  df-fv 5794  df-isom 5795  df-riota 6485  df-ov 6526  df-oprab 6527  df-mpt2 6528  df-of 6768  df-rpss 6808  df-om 6931  df-1st 7032  df-2nd 7033  df-supp 7156  df-tpos 7212  df-wrecs 7267  df-recs 7328  df-rdg 7366  df-1o 7420  df-2o 7421  df-oadd 7424  df-omul 7425  df-er 7602  df-ec 7604  df-qs 7608  df-map 7719  df-pm 7720  df-ixp 7768  df-en 7815  df-dom 7816  df-sdom 7817  df-fin 7818  df-fsupp 8132  df-fi 8173  df-sup 8204  df-inf 8205  df-oi 8271  df-card 8621  df-acn 8624  df-cda 8846  df-pnf 9928  df-mnf 9929  df-xr 9930  df-ltxr 9931  df-le 9932  df-sub 10115  df-neg 10116  df-div 10530  df-nn 10864  df-2 10922  df-3 10923  df-4 10924  df-5 10925  df-6 10926  df-7 10927  df-8 10928  df-9 10929  df-n0 11136  df-z 11207  df-dec 11322  df-uz 11516  df-q 11617  df-rp 11661  df-xneg 11774  df-xadd 11775  df-xmul 11776  df-ioo 12002  df-ioc 12003  df-ico 12004  df-icc 12005  df-fz 12149  df-fzo 12286  df-fl 12406  df-mod 12482  df-seq 12615  df-exp 12674  df-fac 12874  df-bc 12903  df-hash 12931  df-word 13096  df-concat 13098  df-s1 13099  df-shft 13597  df-cj 13629  df-re 13630  df-im 13631  df-sqrt 13765  df-abs 13766  df-limsup 13992  df-clim 14009  df-rlim 14010  df-o1 14011  df-lo1 14012  df-sum 14207  df-ef 14579  df-e 14580  df-sin 14581  df-cos 14582  df-tan 14583  df-pi 14584  df-dvds 14764  df-gcd 14997  df-prm 15166  df-numer 15223  df-denom 15224  df-phi 15251  df-pc 15322  df-struct 15639  df-ndx 15640  df-slot 15641  df-base 15642  df-sets 15643  df-ress 15644  df-plusg 15723  df-mulr 15724  df-starv 15725  df-sca 15726  df-vsca 15727  df-ip 15728  df-tset 15729  df-ple 15730  df-ds 15733  df-unif 15734  df-hom 15735  df-cco 15736  df-rest 15848  df-topn 15849  df-0g 15867  df-gsum 15868  df-topgen 15869  df-pt 15870  df-prds 15873  df-xrs 15927  df-qtop 15932  df-imas 15933  df-qus 15934  df-xps 15935  df-mre 16011  df-mrc 16012  df-acs 16014  df-mgm 17007  df-sgrp 17049  df-mnd 17060  df-mhm 17100  df-submnd 17101  df-grp 17190  df-minusg 17191  df-sbg 17192  df-mulg 17306  df-subg 17356  df-nsg 17357  df-eqg 17358  df-ghm 17423  df-gim 17466  df-ga 17488  df-cntz 17515  df-oppg 17541  df-od 17713  df-gex 17714  df-pgp 17715  df-lsm 17816  df-pj1 17817  df-cmn 17960  df-abl 17961  df-cyg 18045  df-dprd 18159  df-dpj 18160  df-mgp 18255  df-ur 18267  df-ring 18314  df-cring 18315  df-oppr 18388  df-dvdsr 18406  df-unit 18407  df-invr 18437  df-dvr 18448  df-rnghom 18480  df-drng 18514  df-subrg 18543  df-lmod 18630  df-lss 18696  df-lsp 18735  df-sra 18935  df-rgmod 18936  df-lidl 18937  df-rsp 18938  df-2idl 18995  df-psmet 19501  df-xmet 19502  df-met 19503  df-bl 19504  df-mopn 19505  df-fbas 19506  df-fg 19507  df-cnfld 19510  df-zring 19580  df-zrh 19612  df-zn 19615  df-top 20459  df-bases 20460  df-topon 20461  df-topsp 20462  df-cld 20571  df-ntr 20572  df-cls 20573  df-nei 20650  df-lp 20688  df-perf 20689  df-cn 20779  df-cnp 20780  df-haus 20867  df-cmp 20938  df-tx 21113  df-hmeo 21306  df-fil 21398  df-fm 21490  df-flim 21491  df-flf 21492  df-xms 21872  df-ms 21873  df-tms 21874  df-cncf 22416  df-0p 23156  df-limc 23349  df-dv 23350  df-ply 23661  df-idp 23662  df-coe 23663  df-dgr 23664  df-quot 23763  df-log 24020  df-cxp 24021  df-em 24432  df-cht 24536  df-vma 24537  df-chp 24538  df-ppi 24539  df-mu 24540  df-dchr 24671
This theorem is referenced by:  dirith  24931
  Copyright terms: Public domain W3C validator