MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dirith2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dirith2 25198
Description: Dirichlet's theorem: there are infinitely many primes in any arithmetic progression coprime to 𝑁. Theorem 9.4.1 of [Shapiro], p. 375. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Apr-2016.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 26-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpvmasum.z 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
rpvmasum.l 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
rpvmasum.a (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
rpvmasum.u 𝑈 = (Unit‘𝑍)
rpvmasum.b (𝜑𝐴𝑈)
rpvmasum.t 𝑇 = (𝐿 “ {𝐴})
Assertion
Ref Expression
dirith2 (𝜑 → (ℙ ∩ 𝑇) ≈ ℕ)

Proof of Theorem dirith2
Dummy variables 𝑛 𝑥 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnex 11011 . . . 4 ℕ ∈ V
2 inss1 3825 . . . . 5 (ℙ ∩ 𝑇) ⊆ ℙ
3 prmnn 15369 . . . . . 6 (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℕ)
43ssriv 3599 . . . . 5 ℙ ⊆ ℕ
52, 4sstri 3604 . . . 4 (ℙ ∩ 𝑇) ⊆ ℕ
6 ssdomg 7986 . . . 4 (ℕ ∈ V → ((ℙ ∩ 𝑇) ⊆ ℕ → (ℙ ∩ 𝑇) ≼ ℕ))
71, 5, 6mp2 9 . . 3 (ℙ ∩ 𝑇) ≼ ℕ
87a1i 11 . 2 (𝜑 → (ℙ ∩ 𝑇) ≼ ℕ)
9 logno1 24363 . . . 4 ¬ (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (log‘𝑥)) ∈ 𝑂(1)
10 rpvmasum.a . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
1110adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin) → 𝑁 ∈ ℕ)
1211phicld 15458 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin) → (ϕ‘𝑁) ∈ ℕ)
1312nnred 11020 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin) → (ϕ‘𝑁) ∈ ℝ)
1413adantr 481 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (ϕ‘𝑁) ∈ ℝ)
15 simpr 477 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin) → (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin)
16 inss2 3826 . . . . . . . . . 10 ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇)) ⊆ (ℙ ∩ 𝑇)
17 ssfi 8165 . . . . . . . . . 10 (((ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin ∧ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇)) ⊆ (ℙ ∩ 𝑇)) → ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇)) ∈ Fin)
1815, 16, 17sylancl 693 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin) → ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇)) ∈ Fin)
1916sseli 3591 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇)) → 𝑛 ∈ (ℙ ∩ 𝑇))
20 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin) ∧ 𝑛 ∈ (ℙ ∩ 𝑇)) → 𝑛 ∈ (ℙ ∩ 𝑇))
215, 20sseldi 3593 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin) ∧ 𝑛 ∈ (ℙ ∩ 𝑇)) → 𝑛 ∈ ℕ)
2221nnrpd 11855 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin) ∧ 𝑛 ∈ (ℙ ∩ 𝑇)) → 𝑛 ∈ ℝ+)
23 relogcl 24303 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℝ+ → (log‘𝑛) ∈ ℝ)
2422, 23syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin) ∧ 𝑛 ∈ (ℙ ∩ 𝑇)) → (log‘𝑛) ∈ ℝ)
2524, 21nndivred 11054 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin) ∧ 𝑛 ∈ (ℙ ∩ 𝑇)) → ((log‘𝑛) / 𝑛) ∈ ℝ)
2619, 25sylan2 491 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin) ∧ 𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇))) → ((log‘𝑛) / 𝑛) ∈ ℝ)
2718, 26fsumrecl 14446 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin) → Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇))((log‘𝑛) / 𝑛) ∈ ℝ)
2827adantr 481 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇))((log‘𝑛) / 𝑛) ∈ ℝ)
29 rpssre 11828 . . . . . . . 8 + ⊆ ℝ
3013recnd 10053 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin) → (ϕ‘𝑁) ∈ ℂ)
31 o1const 14331 . . . . . . . 8 ((ℝ+ ⊆ ℝ ∧ (ϕ‘𝑁) ∈ ℂ) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (ϕ‘𝑁)) ∈ 𝑂(1))
3229, 30, 31sylancr 694 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (ϕ‘𝑁)) ∈ 𝑂(1))
3329a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin) → ℝ+ ⊆ ℝ)
34 1red 10040 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin) → 1 ∈ ℝ)
3515, 25fsumrecl 14446 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin) → Σ𝑛 ∈ (ℙ ∩ 𝑇)((log‘𝑛) / 𝑛) ∈ ℝ)
36 log1 24313 . . . . . . . . . . . . 13 (log‘1) = 0
3721nnge1d 11048 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin) ∧ 𝑛 ∈ (ℙ ∩ 𝑇)) → 1 ≤ 𝑛)
38 1rp 11821 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 ∈ ℝ+
39 logleb 24330 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((1 ∈ ℝ+𝑛 ∈ ℝ+) → (1 ≤ 𝑛 ↔ (log‘1) ≤ (log‘𝑛)))
4038, 22, 39sylancr 694 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin) ∧ 𝑛 ∈ (ℙ ∩ 𝑇)) → (1 ≤ 𝑛 ↔ (log‘1) ≤ (log‘𝑛)))
4137, 40mpbid 222 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin) ∧ 𝑛 ∈ (ℙ ∩ 𝑇)) → (log‘1) ≤ (log‘𝑛))
4236, 41syl5eqbrr 4680 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin) ∧ 𝑛 ∈ (ℙ ∩ 𝑇)) → 0 ≤ (log‘𝑛))
4324, 22, 42divge0d 11897 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin) ∧ 𝑛 ∈ (ℙ ∩ 𝑇)) → 0 ≤ ((log‘𝑛) / 𝑛))
4416a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin) → ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇)) ⊆ (ℙ ∩ 𝑇))
4515, 25, 43, 44fsumless 14509 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin) → Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇))((log‘𝑛) / 𝑛) ≤ Σ𝑛 ∈ (ℙ ∩ 𝑇)((log‘𝑛) / 𝑛))
4645adantr 481 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇))((log‘𝑛) / 𝑛) ≤ Σ𝑛 ∈ (ℙ ∩ 𝑇)((log‘𝑛) / 𝑛))
4733, 28, 34, 35, 46ello1d 14235 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇))((log‘𝑛) / 𝑛)) ∈ ≤𝑂(1))
48 0red 10026 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin) → 0 ∈ ℝ)
4919, 43sylan2 491 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin) ∧ 𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇))) → 0 ≤ ((log‘𝑛) / 𝑛))
5018, 26, 49fsumge0 14508 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin) → 0 ≤ Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇))((log‘𝑛) / 𝑛))
5150adantr 481 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 0 ≤ Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇))((log‘𝑛) / 𝑛))
5228, 48, 51o1lo12 14250 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin) → ((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇))((log‘𝑛) / 𝑛)) ∈ 𝑂(1) ↔ (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇))((log‘𝑛) / 𝑛)) ∈ ≤𝑂(1)))
5347, 52mpbird 247 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇))((log‘𝑛) / 𝑛)) ∈ 𝑂(1))
5414, 28, 32, 53o1mul2 14336 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((ϕ‘𝑁) · Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇))((log‘𝑛) / 𝑛))) ∈ 𝑂(1))
5513, 27remulcld 10055 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin) → ((ϕ‘𝑁) · Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇))((log‘𝑛) / 𝑛)) ∈ ℝ)
5655recnd 10053 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin) → ((ϕ‘𝑁) · Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇))((log‘𝑛) / 𝑛)) ∈ ℂ)
5756adantr 481 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((ϕ‘𝑁) · Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇))((log‘𝑛) / 𝑛)) ∈ ℂ)
58 relogcl 24303 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ+ → (log‘𝑥) ∈ ℝ)
5958adantl 482 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (log‘𝑥) ∈ ℝ)
6059recnd 10053 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (log‘𝑥) ∈ ℂ)
61 rpvmasum.z . . . . . . . . 9 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
62 rpvmasum.l . . . . . . . . 9 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
63 rpvmasum.u . . . . . . . . 9 𝑈 = (Unit‘𝑍)
64 rpvmasum.b . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴𝑈)
65 rpvmasum.t . . . . . . . . 9 𝑇 = (𝐿 “ {𝐴})
6661, 62, 10, 63, 64, 65rplogsum 25197 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (((ϕ‘𝑁) · Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇))((log‘𝑛) / 𝑛)) − (log‘𝑥))) ∈ 𝑂(1))
6766adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (((ϕ‘𝑁) · Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇))((log‘𝑛) / 𝑛)) − (log‘𝑥))) ∈ 𝑂(1))
6857, 60, 67o1dif 14341 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin) → ((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((ϕ‘𝑁) · Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇))((log‘𝑛) / 𝑛))) ∈ 𝑂(1) ↔ (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (log‘𝑥)) ∈ 𝑂(1)))
6954, 68mpbid 222 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (log‘𝑥)) ∈ 𝑂(1))
7069ex 450 . . . 4 (𝜑 → ((ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (log‘𝑥)) ∈ 𝑂(1)))
719, 70mtoi 190 . . 3 (𝜑 → ¬ (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin)
72 nnenom 12762 . . . . 5 ℕ ≈ ω
73 sdomentr 8079 . . . . 5 (((ℙ ∩ 𝑇) ≺ ℕ ∧ ℕ ≈ ω) → (ℙ ∩ 𝑇) ≺ ω)
7472, 73mpan2 706 . . . 4 ((ℙ ∩ 𝑇) ≺ ℕ → (ℙ ∩ 𝑇) ≺ ω)
75 isfinite2 8203 . . . 4 ((ℙ ∩ 𝑇) ≺ ω → (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin)
7674, 75syl 17 . . 3 ((ℙ ∩ 𝑇) ≺ ℕ → (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin)
7771, 76nsyl 135 . 2 (𝜑 → ¬ (ℙ ∩ 𝑇) ≺ ℕ)
78 bren2 7971 . 2 ((ℙ ∩ 𝑇) ≈ ℕ ↔ ((ℙ ∩ 𝑇) ≼ ℕ ∧ ¬ (ℙ ∩ 𝑇) ≺ ℕ))
798, 77, 78sylanbrc 697 1 (𝜑 → (ℙ ∩ 𝑇) ≈ ℕ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1481  wcel 1988  Vcvv 3195  cin 3566  wss 3567  {csn 4168   class class class wbr 4644  cmpt 4720  ccnv 5103  cima 5107  cfv 5876  (class class class)co 6635  ωcom 7050  cen 7937  cdom 7938  csdm 7939  Fincfn 7940  cc 9919  cr 9920  0cc0 9921  1c1 9922   · cmul 9926  cle 10060  cmin 10251   / cdiv 10669  cn 11005  +crp 11817  ...cfz 12311  cfl 12574  𝑂(1)co1 14198  ≤𝑂(1)clo1 14199  Σcsu 14397  cprime 15366  ϕcphi 15450  Unitcui 18620  ℤRHomczrh 19829  ℤ/nczn 19832  logclog 24282
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-rep 4762  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934  ax-inf2 8523  ax-cnex 9977  ax-resscn 9978  ax-1cn 9979  ax-icn 9980  ax-addcl 9981  ax-addrcl 9982  ax-mulcl 9983  ax-mulrcl 9984  ax-mulcom 9985  ax-addass 9986  ax-mulass 9987  ax-distr 9988  ax-i2m1 9989  ax-1ne0 9990  ax-1rid 9991  ax-rnegex 9992  ax-rrecex 9993  ax-cnre 9994  ax-pre-lttri 9995  ax-pre-lttrn 9996  ax-pre-ltadd 9997  ax-pre-mulgt0 9998  ax-pre-sup 9999  ax-addf 10000  ax-mulf 10001
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-fal 1487  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-nel 2895  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rmo 2917  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-pss 3583  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-tp 4173  df-op 4175  df-uni 4428  df-int 4467  df-iun 4513  df-iin 4514  df-disj 4612  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-tr 4744  df-id 5014  df-eprel 5019  df-po 5025  df-so 5026  df-fr 5063  df-se 5064  df-we 5065  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-pred 5668  df-ord 5714  df-on 5715  df-lim 5716  df-suc 5717  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-isom 5885  df-riota 6596  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-mpt2 6640  df-of 6882  df-rpss 6922  df-om 7051  df-1st 7153  df-2nd 7154  df-supp 7281  df-tpos 7337  df-wrecs 7392  df-recs 7453  df-rdg 7491  df-1o 7545  df-2o 7546  df-oadd 7549  df-omul 7550  df-er 7727  df-ec 7729  df-qs 7733  df-map 7844  df-pm 7845  df-ixp 7894  df-en 7941  df-dom 7942  df-sdom 7943  df-fin 7944  df-fsupp 8261  df-fi 8302  df-sup 8333  df-inf 8334  df-oi 8400  df-card 8750  df-acn 8753  df-cda 8975  df-pnf 10061  df-mnf 10062  df-xr 10063  df-ltxr 10064  df-le 10065  df-sub 10253  df-neg 10254  df-div 10670  df-nn 11006  df-2 11064  df-3 11065  df-4 11066  df-5 11067  df-6 11068  df-7 11069  df-8 11070  df-9 11071  df-n0 11278  df-xnn0 11349  df-z 11363  df-dec 11479  df-uz 11673  df-q 11774  df-rp 11818  df-xneg 11931  df-xadd 11932  df-xmul 11933  df-ioo 12164  df-ioc 12165  df-ico 12166  df-icc 12167  df-fz 12312  df-fzo 12450  df-fl 12576  df-mod 12652  df-seq 12785  df-exp 12844  df-fac 13044  df-bc 13073  df-hash 13101  df-word 13282  df-concat 13284  df-s1 13285  df-shft 13788  df-cj 13820  df-re 13821  df-im 13822  df-sqrt 13956  df-abs 13957  df-limsup 14183  df-clim 14200  df-rlim 14201  df-o1 14202  df-lo1 14203  df-sum 14398  df-ef 14779  df-e 14780  df-sin 14781  df-cos 14782  df-tan 14783  df-pi 14784  df-dvds 14965  df-gcd 15198  df-prm 15367  df-numer 15424  df-denom 15425  df-phi 15452  df-pc 15523  df-struct 15840  df-ndx 15841  df-slot 15842  df-base 15844  df-sets 15845  df-ress 15846  df-plusg 15935  df-mulr 15936  df-starv 15937  df-sca 15938  df-vsca 15939  df-ip 15940  df-tset 15941  df-ple 15942  df-ds 15945  df-unif 15946  df-hom 15947  df-cco 15948  df-rest 16064  df-topn 16065  df-0g 16083  df-gsum 16084  df-topgen 16085  df-pt 16086  df-prds 16089  df-xrs 16143  df-qtop 16148  df-imas 16149  df-qus 16150  df-xps 16151  df-mre 16227  df-mrc 16228  df-acs 16230  df-mgm 17223  df-sgrp 17265  df-mnd 17276  df-mhm 17316  df-submnd 17317  df-grp 17406  df-minusg 17407  df-sbg 17408  df-mulg 17522  df-subg 17572  df-nsg 17573  df-eqg 17574  df-ghm 17639  df-gim 17682  df-ga 17704  df-cntz 17731  df-oppg 17757  df-od 17929  df-gex 17930  df-pgp 17931  df-lsm 18032  df-pj1 18033  df-cmn 18176  df-abl 18177  df-cyg 18261  df-dprd 18375  df-dpj 18376  df-mgp 18471  df-ur 18483  df-ring 18530  df-cring 18531  df-oppr 18604  df-dvdsr 18622  df-unit 18623  df-invr 18653  df-dvr 18664  df-rnghom 18696  df-drng 18730  df-subrg 18759  df-lmod 18846  df-lss 18914  df-lsp 18953  df-sra 19153  df-rgmod 19154  df-lidl 19155  df-rsp 19156  df-2idl 19213  df-psmet 19719  df-xmet 19720  df-met 19721  df-bl 19722  df-mopn 19723  df-fbas 19724  df-fg 19725  df-cnfld 19728  df-zring 19800  df-zrh 19833  df-zn 19836  df-top 20680  df-topon 20697  df-topsp 20718  df-bases 20731  df-cld 20804  df-ntr 20805  df-cls 20806  df-nei 20883  df-lp 20921  df-perf 20922  df-cn 21012  df-cnp 21013  df-haus 21100  df-cmp 21171  df-tx 21346  df-hmeo 21539  df-fil 21631  df-fm 21723  df-flim 21724  df-flf 21725  df-xms 22106  df-ms 22107  df-tms 22108  df-cncf 22662  df-0p 23418  df-limc 23611  df-dv 23612  df-ply 23925  df-idp 23926  df-coe 23927  df-dgr 23928  df-quot 24027  df-log 24284  df-cxp 24285  df-em 24700  df-cht 24804  df-vma 24805  df-chp 24806  df-ppi 24807  df-mu 24808  df-dchr 24939
This theorem is referenced by:  dirith  25199
  Copyright terms: Public domain W3C validator