Mathbox for Steve Rodriguez < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  seff Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem seff 38017
 Description: Let set 𝑆 be the real or complex numbers. Then the exponential function restricted to 𝑆 is a mapping from 𝑆 to 𝑆. (Contributed by Steve Rodriguez, 6-Nov-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
seff.s (𝜑𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
Assertion
Ref Expression
seff (𝜑 → (exp ↾ 𝑆):𝑆𝑆)

Proof of Theorem seff
StepHypRef Expression
1 seff.s . 2 (𝜑𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
2 elpri 4173 . 2 (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → (𝑆 = ℝ ∨ 𝑆 = ℂ))
3 reeff1 14782 . . . . . 6 (exp ↾ ℝ):ℝ–1-1→ℝ+
4 f1f 6063 . . . . . 6 ((exp ↾ ℝ):ℝ–1-1→ℝ+ → (exp ↾ ℝ):ℝ⟶ℝ+)
5 rpssre 11794 . . . . . . 7 + ⊆ ℝ
6 fss 6018 . . . . . . 7 (((exp ↾ ℝ):ℝ⟶ℝ+ ∧ ℝ+ ⊆ ℝ) → (exp ↾ ℝ):ℝ⟶ℝ)
75, 6mpan2 706 . . . . . 6 ((exp ↾ ℝ):ℝ⟶ℝ+ → (exp ↾ ℝ):ℝ⟶ℝ)
83, 4, 7mp2b 10 . . . . 5 (exp ↾ ℝ):ℝ⟶ℝ
9 feq23 5991 . . . . . 6 ((𝑆 = ℝ ∧ 𝑆 = ℝ) → ((exp ↾ ℝ):𝑆𝑆 ↔ (exp ↾ ℝ):ℝ⟶ℝ))
109anidms 676 . . . . 5 (𝑆 = ℝ → ((exp ↾ ℝ):𝑆𝑆 ↔ (exp ↾ ℝ):ℝ⟶ℝ))
118, 10mpbiri 248 . . . 4 (𝑆 = ℝ → (exp ↾ ℝ):𝑆𝑆)
12 reseq2 5356 . . . . 5 (𝑆 = ℝ → (exp ↾ 𝑆) = (exp ↾ ℝ))
1312feq1d 5992 . . . 4 (𝑆 = ℝ → ((exp ↾ 𝑆):𝑆𝑆 ↔ (exp ↾ ℝ):𝑆𝑆))
1411, 13mpbird 247 . . 3 (𝑆 = ℝ → (exp ↾ 𝑆):𝑆𝑆)
15 eff 14744 . . . . . 6 exp:ℂ⟶ℂ
16 frel 6012 . . . . . . . . 9 (exp:ℂ⟶ℂ → Rel exp)
17 resdm 5405 . . . . . . . . 9 (Rel exp → (exp ↾ dom exp) = exp)
1815, 16, 17mp2b 10 . . . . . . . 8 (exp ↾ dom exp) = exp
1915fdmi 6014 . . . . . . . . 9 dom exp = ℂ
2019reseq2i 5358 . . . . . . . 8 (exp ↾ dom exp) = (exp ↾ ℂ)
2118, 20eqtr3i 2645 . . . . . . 7 exp = (exp ↾ ℂ)
2221feq1i 5998 . . . . . 6 (exp:ℂ⟶ℂ ↔ (exp ↾ ℂ):ℂ⟶ℂ)
2315, 22mpbi 220 . . . . 5 (exp ↾ ℂ):ℂ⟶ℂ
24 feq23 5991 . . . . . 6 ((𝑆 = ℂ ∧ 𝑆 = ℂ) → ((exp ↾ ℂ):𝑆𝑆 ↔ (exp ↾ ℂ):ℂ⟶ℂ))
2524anidms 676 . . . . 5 (𝑆 = ℂ → ((exp ↾ ℂ):𝑆𝑆 ↔ (exp ↾ ℂ):ℂ⟶ℂ))
2623, 25mpbiri 248 . . . 4 (𝑆 = ℂ → (exp ↾ ℂ):𝑆𝑆)
27 reseq2 5356 . . . . 5 (𝑆 = ℂ → (exp ↾ 𝑆) = (exp ↾ ℂ))
2827feq1d 5992 . . . 4 (𝑆 = ℂ → ((exp ↾ 𝑆):𝑆𝑆 ↔ (exp ↾ ℂ):𝑆𝑆))
2926, 28mpbird 247 . . 3 (𝑆 = ℂ → (exp ↾ 𝑆):𝑆𝑆)
3014, 29jaoi 394 . 2 ((𝑆 = ℝ ∨ 𝑆 = ℂ) → (exp ↾ 𝑆):𝑆𝑆)
311, 2, 303syl 18 1 (𝜑 → (exp ↾ 𝑆):𝑆𝑆)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∨ wo 383   = wceq 1480   ∈ wcel 1987   ⊆ wss 3559  {cpr 4155  dom cdm 5079   ↾ cres 5081  Rel wrel 5084  ⟶wf 5848  –1-1→wf1 5849  ℂcc 9885  ℝcr 9886  ℝ+crp 11783  expce 14724 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-inf2 8489  ax-cnex 9943  ax-resscn 9944  ax-1cn 9945  ax-icn 9946  ax-addcl 9947  ax-addrcl 9948  ax-mulcl 9949  ax-mulrcl 9950  ax-mulcom 9951  ax-addass 9952  ax-mulass 9953  ax-distr 9954  ax-i2m1 9955  ax-1ne0 9956  ax-1rid 9957  ax-rnegex 9958  ax-rrecex 9959  ax-cnre 9960  ax-pre-lttri 9961  ax-pre-lttrn 9962  ax-pre-ltadd 9963  ax-pre-mulgt0 9964  ax-pre-sup 9965  ax-addf 9966  ax-mulf 9967 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-se 5039  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-isom 5861  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-om 7020  df-1st 7120  df-2nd 7121  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-1o 7512  df-oadd 7516  df-er 7694  df-pm 7812  df-en 7907  df-dom 7908  df-sdom 7909  df-fin 7910  df-sup 8299  df-inf 8300  df-oi 8366  df-card 8716  df-pnf 10027  df-mnf 10028  df-xr 10029  df-ltxr 10030  df-le 10031  df-sub 10219  df-neg 10220  df-div 10636  df-nn 10972  df-2 11030  df-3 11031  df-n0 11244  df-z 11329  df-uz 11639  df-rp 11784  df-ico 12130  df-fz 12276  df-fzo 12414  df-fl 12540  df-seq 12749  df-exp 12808  df-fac 13008  df-bc 13037  df-hash 13065  df-shft 13748  df-cj 13780  df-re 13781  df-im 13782  df-sqrt 13916  df-abs 13917  df-limsup 14143  df-clim 14160  df-rlim 14161  df-sum 14358  df-ef 14730 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator